Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 3

М. Эфроса, 336, 764 — — Э.Бореля, 336, 711-715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 — Четаева о неустойчивости, 275, 612 †6 точка †разветвлен многозначной функции, 342 — системы двух д. у. первого порядка особая, 293 — функции особая — — однозначного характера, 340 — — устранимая, 340 — функции существенно особая, 340 траектории — изогональные, 106 — на фазовой плоскости.

305 — ортогональные, 106 У узел, 293 — вырожденный, 293 — дикритический, 293 уравнение †Бернул, 39, 115, 97, 99, 101, 103, 106, 168, 265, 447 — в частных производных — — гиперболического типа, 366 — — квазилинейное 1-го порядка, 212 — — нелинейное 1-го порядка, 228 — — параболического типа, 366 — дифференциальное — — в-го порядка, 4 — — — каноническое, 4 — — в полных дифференциалах, 53 — — для интегрирующего множителя, 54 — линейное — — 1-го порядка, 39 — — 2-го порядка, 152 — — —, инвариант, 152 — — —, канонический вид, 152 — — —, самосопряженная форма, 152 — — и-го порядка, 135, 150 — — — неоднородное, 135 — — — однородное, 135 — не разрешенное относительно производной, 73 — обобщенно-однородное, 30, 122 — однородное, 29 — однородное относительно функции и ее производных, 122 — с разделяющимися переменными, 11 — интегральное — — Абеля, 359 — — Вольтерра линейное — — — 1-го рода, 358 — — — 2-го рода, 358 — — — особое, 359 — — Фредгольма — — — 1-го рода„357 — — — 2-го рода, 357 — — — однородное, 357 — — — особое, 359 — Клеро, 78, 191, 194 — Лаграюка, 78, 192, 193 — — второго рода, 438-440, 629, 630, 750 — Миндинга — Дарбу, 40, 106-109 — Пфаффа, 213, 233, 491-500, 503, 505- 508, 511, 517 — Риккати специальное, 67, 70-71, 164-167, 169-171 — характеристическое, 136, 184 — Чебышева, 152 — Эйлера, 152, 371„372, 391 — Эйлера — Риккати, 67, 152, 163, 282 — — каноническое, 67, 172 условие Липшица, 82, 240 Ф фокус, 293 форма — векторная системы линейных д.

у., 182 — самосопряженная линейного д. у. 2- го порядка,152 — симметрическая нормальной системы д. у., 201 формула — Абеля, 159, 363, 364 — Коши о вычетах, 341 — обращения Римана — Меллина, 339 †3 †Остроградского †Лиув, 151, 362, 363 — Циолковского, 29 формулы Дюамеля, 337, 347, 721, 742- 744, 766 Фредгольма уравнение интегральное линейное — 1-го рода, 357 — 2-го рода, 357 — однородное, 357 — особое, 359 Френеля — косинус-интеграл, 334, 707, 712, 713, 763 †син-интеграл, 334, 707, 712, 713, 763 фундаментальная матрица векторного д.

у., 182 фундаментальная система решений однородного д. у., 151 функции — линейно зависимые, 151 — линейно независимые, 151 — собственные задачи Штурма— Лиувилля, 170 функция †аналитическ в области, 340 — влияния для задачи Коши, 137 — голоморфная, 340 — Грина краевой задачи, 170, 393-406 — дробная, 340 — Лагранжа, 582, 629, 630 — Ляпунова, 275, 606-615, 630 — мероморфная, 340 — моногенная в области, 340 — однородная степени т, 29 †регулярн в области, 340 — Хевисайда, 323, 679, 733 — — обобщенная, 329, 690-694, 728 — целая, 340 функция-изображение преобразования Лапласа, 324 — обобщенная, 326 функция-оригинал преобразования Лапласа, 323 — обобщенная, 326 Фурье ряд, Б56-БББ, 728 Х характеристическое уравнение, 136, 184 Хевисайда функция, 323, 679, 733 — обобщенная, 329, 690-694, 728 центр, 293 цепная линия, 110 цикл предельный, 306 — неустойчивый, 306 — полуустойчивый, 306 — устойчивый, 306 циклоида, 111 Циолковского формула, 29 Ч часть ряда Лорана — главная, 340 — правильная, 340 Чебышева уравнение, 152 Четаева теорема о неустойчивости, 275, 612 — 614 Ш Штермера метод численного решения д у,267,575 — 577 Штурма — Лиувилля задача, 170 —, собственные значения, 170 Предисловие Предлагаемая вниманию читателей книга по замыслу авторов призвана способствовать глубокому усвоению теории обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью подробно решенных нетривиальных примеров и задач.

Своеобразие предмета теории дифференциальных уравнений — его обширность и тесная связь с теорией пределов, теорией функций, дифференциальным и интегральным исчислениями, теорией рядов и другими разделами математики — определяет соответствующую специфику ее метода. Суть этой специфики состоит в том, что метод теории дифференциальных уравнений есть метод математического анализа.

В связи с этим теорию дифференциюгьных уравнений не без оснований считают дальнейшим обобщением и развитием математического анализа на класс неявных функций, запанных уравнениями, содержащими независимую переменную, функцию и ее производные. Так, интегральное исчисление функции одной переменной фактически есть теория интегрирования в элементарных функциях простейшего класса дифференциальных уравнений вида у' = Г(х). Пособие охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Каждый параграф шпиги снабжен необходимым минимумом теоретических сведений, используемых при решении соответствующих примеров. Кроме того, в книге разобраны нетрадиционные для такого рода пособий примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений, на применение признаков существования предельных циклов на фазовой плоскости.

Кюкдая глава снабжена упражнениями дпя самостоятельной работы. Книга содержит порядка семисот подробно решенных примеров и задач, взятых из следующих учебников и сборников задач по дифференциальным уравнениям; Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1950; Поитрлгии Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961; Эльсгальц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1998; Гудимгика Ф. С., Павлюк БА,, Вилкова В. О. Зб!рник задач з диференц!апьних р!внянь.

К., 1972; Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т. И, 1958; Филиалов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М,, 1973; Гречко Л Г., Сугакав В Я., Гамасгвич О Ф., Фгдсрчгиха А М Сборник задач по теоретической физике. М., !972; Мартмигика В, С. Операционное исчисление. К., !968; Краснов М Л., Киселев А. И., Макаренко Г )Г Сборник задач по обыкновенным дифференциальнымым уравнениям. М., 1978; Ляшко Б У., Боярчук О. Х., Гай Я.

Г., Каладда О. Ф. Диференциальн! р1вняння. К,, 1981; Галавач Г. ГГ., Халайда О. Ф. Зб!рник задач з диференшшгьних та нпегральних р!внянь. К., 1997. Введение Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений 1. Основные определещш. Обыкновенным дифференциальным уравнением п-га порядка называется уравнение вида ! » (»)'! и'(х!у!у!у! "!у )=б! где гг — известная функция, заданная в некоторой области Р координат)юго пространства переменных х, у, у', ..., У("), х Е (хо, х,) — ар)умент, у, у', ..., у(ю — неизвестная функция и ее производные, о — порядок уравнения, Под решением уравнения (1) будем понимать любую функцию у = 2(х), х Е (хо, е,), которая: а) имеет и производных на интервале (хо, х,), причем Ухб (хо, х,) (х, ~(х), 2'(х)! ..., ~"'(х)) ЕВ; б) удовлетворяет уравнению (!), т, е.

обращает его в тождество Р(х! У(х)! М'(х) .", У'")(х)) ы 0 уа' Е (хо! х(). Уравнение (1) называется праинтвгрираваннин, если найдены все его решения. Уравнение (1), разрешенное относительно старшей производной у("', называется каноническимм и имеет вид ( ) ( ! (»-и) (2) 2. Задача Коши. Пуси функция )з(х, у, у' ..., У(" и) непрерывна в области В координатного пространства переменных х, у, у', ..., У(" ). Требуется найти интерщл Х, содержащий точку хо, и такую п- кратно непрерывно дифференцируемую функцию у = у(х), что (х, 1'(х), г'(х),..., 2'(" ')(х)) е В, когда х Е Х, и выполняются условия: 1) )гх Е Х гп (х) = 1)(х, г(х), г (х), ..., УЫ (х)); 2) 2(хо) = уз! У(хо) = уз! ' '! Уы (хо) = уз ! ( -И! где (хо! уо, уо, ", уо ) Е В.

Формвьно задача Каши дяя уравнения (2) записывается в виде у(") = у((х! у', ..., У(" ')), где уо, уь, ..., Уо(" " — заданные числа. )хая(дое конкретное решение задачи (3) называется частным решением задачи «оши миаже (» — 1) Еньиишрвшвнивм, ство частных решений, зависящее от параметров хо, уо, уы "°, уо задачи Каши. В едевве р(х, д, С„..., С„) = О, (4) где С, (1 = 1, и) — произвольные постоянные, принадлежащие некоторой области С, следует: 1) н раз продифференцировать равенство (4), считая у и раз непрерывно дифференцируемой функцией переменной х, т.е.

дй дй, дзб дзф, д'Р р дф „ — + — у = О, + 2 — у'+ — у' + — у" = О, да ' дх' дхдр дуз (5) дай др — +...+ — р" =О. дх" ду 2) Из соотношений (4) и (5) исключить произвольные постоянные Сп Сз, ..., С . Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. 1. х'+ Су~ — 2у = О. м Пусть у = у(х) — непрерывно дифференцнруемое решение данного уравнения, где С— параметр, не зависящий от х.