Метода поверхности (О.А. Бархатова, Г.С. Садыхова - Поверхности второго порядка)

Р имени Н.Э. Баумана О.А. Блрхлтовл, Г.С. Слдыхов ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ Будем рассматривать вещественные числа х, у, г как произвольные переменные величины в декартовой прямоугольной системе координат Охуг. Пусть Г(х, у, г) — некоторая заданная функция. Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению вида Р'(х, у, г) = О. В общем случае это есть равенство, верное не для любых троек чисел х, у, г. Такое уравнение может определять поверхность, линию в пространстве, отдельные точки или не определять никакого геометрического образа, если не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяют уравнению. Уравнением поверхности называют уравнение вида В(х, у, г)=О, а„х +аму +амг +2апху+2аыхг+ г +2амуг+ 2а~х+ 2агу+ 2азг+ ас — — О, (2) которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Поверхность, определяемая уравнением (1), есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Уравнение поверхности (1) называют алгебраическим, если Р'(х, у, г) — целый многочлен от переменных х, у, г, Все неалгебраические уравнения поверхностей называют трансцендентными. Поверхность, которая определяется алгебраическим уравнением степени л, называют алгебраической поверхностью к-го порядка. Общий вид алгебраического уравнения первой степени, содержащего трн переменные величины: Ах+ Ву+Сг+ Р = О, где А + В + Сг ~ О. Это уравнение алгебраической поверхности первого порядка (плоскостн).

Общий внд алгебраического уравнения второй степени, содержащего три переменные величины: где хотя бы один нз козффнцнентов а,, ! = 1,3, 1 =1,3, отличается от нуля, т. е. уравнение содержит члены второй степени. Уравнение (2) представляет собой уравнение нлн произвольно расположенной алгебраической поверхности второго порядка, нлн ее вырожденной формы, нлн мнимого геометрического объекта. Если функция Р'(х, у, г) в уравнении (1) есть произведение и функций Р;(х,у,г), гг(х,у,г), „ Р'„,(х,у,г): г'(х,у,г) = Г1 У;(х,у,г), то уравнение (1) распадется на совокупность т уравнений: Р~(х,у,г)=0, гг(х,у,г)=0,..., Р'„(х,у,г)=0.

Это уравнения объединения и поверхностей, Пример 1. Определить, какие точки пространства Охуг геометрнческнзаданыуравненнем 4х -у +2уг-г =О. г г г Решение. После преобразования к виду 4х -(у-г) =О, (2х-у+г)(2х+у — г)=0 заданное уравнение второй степени распадается на два уравнения первой степени. '2х — у+г = 0 н 2х+у-г =О. Это уравнения двух плоскостей, проходящих через начало координат. Линия в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей с уравнениями Р',(х,у,г)=0 н гг(х,у,г) =О, Тогда система уравнений < Р'~(х,у,г) =О, гг(хэузг) =0 (3) определяетданную линию. Поскольку линия в пространстве может быть получена как пересечение различных пар поверхностей, то существует бесконечно много способов задания каждой линии. Прн исследовании поверхностей решают две основные задачи аналитической геометрии: 1) по известному свойству множества точек поверхности выводят уравнение поверхности; 2) по известному уравнению поверхности исследовать свойства множества точек этой поверхности Пример 2.

Сферой называюг геометрическое место точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центра сферы). Вывести уравнение сферы по известному радиусу н координатам центра. Решение. Выведем уравнение сферы, центр которой находится в начале координат, а радиус равен а, По определению, расстояние любой точки М(х,у,г) сферической поверхности от начала координат равно а, что можно записать в виде равенства х +у +г =а, которое после возведения в квадрат принимает вид х + у + г = а . Это искомое уравнение сферы.

з Для исследования свойств множества точек поверхности по ее уравнению (1) удобно использовать метод сечений. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Поверхностью вращении называют поверхность, любое сечение которой плоскостью, проходящей через точку поверхности и перпендикулярной к некоторой прямой (оси вращения), содержит окружность, проходящую через взятую точку и имеющую центр на этой прямой.

Поверхность вращения (рис. 1) образована вращением плоской кривой С вокруг прямой с1 (оси вращения), расположенной в ее плоскости. При этом каждая точка М кривой с описывает окружность. Чтобы найти уравнение поверхности, образованной вращением линии, прннадлелащей координатной плоскости, вокруг координатной осн этой пяоскоспь нужно в уравнении линии оставнть без изменения переменную, соответствующую осн вращения, а другую переменную заменить квадратным корнем нз суммы квадратов этой переменной н переменной, не входящей в уравнение линии.

1Р'(х,у) = О, Пусть плоская кривая задана в полуплоскости (г=О у ~ О, Поверхность образована вращением этой кривой вокруг оси Ох. Чтобы составить уравнение этой поверхности, нужно в уравнении кривой х оставить без изменения, а вместо у подставить 2 2 у + х . Получаем уравнение поверхности вращения вокруг оси Ох в виде Р'(х, ~уз + гз) = О.

3 ам е ч в н и е . Если кривая задана для полуплоскости у < О, то уравнение поверхности вращения имеет вид л (х, -~у~ + г~ ) = О. Рис. 1 Пример 3. В плоскости Охуг задана окрулсность (х — Ь) +у =а, Ь > а > О. Составить уравнение поверхности, образованной вращением этой окружности вокруг оси 0)~. Решение. В уравнении окружности у оставим без изменения, а х заменим на ./х +у~. Тогда уравнение поверхности вращения можно записать в виде (~/х +г — Ь~)+у =а~. После преобразования получим х +у'+г'+Ь -а =2Ьс/х~+~г, что эквивалентно уравнению (х +уз+г~+Ь~ — а ) =4Ьз(х +гз).

3ту поверхность называют тором. Пример 4. В плоскости г=О задана кривая у=зш х. Составить уравнение поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ох, Решение. В уравнении кривой оставим х без изменения, а узаменнм на 1~~у +г . Получим уравнение поверхности вращення хну +г =а|ах нлн у +г =аш х Гг з 2 2 ° 2 При вращении крнвых второго порядка вокруг их осей симметрии образуются поверхности вращения второго порядка.

Если осью вращения какой-либо поверхности является координатная ось, то в уравнение такой поверхности две переменные величины входят только в виде суммы их квадратов, а третья переменная определяет ось вращения. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Цилиндрической называют поверхность, образованную прямой (образующей), которая при перемещении в пространстве не меняет направления н пересекает определенную линию (направлякицую) (рис, 2). В общем случае уравнение цилиндрической поверхности может быть составлено по заданным в виде (3) уравнениям направляющей линии и направле/,н l нню образующей. Если образую/ щие цилиндрической поверхности / параллельны одной из координатных осей, то уравнение такой поверхности не содержит переменную, соответствующую зтой осн. Уравнения направляющей могут Рвс.

2 быль заданы как уравнения линии пересечения двух поверхностей вида(3), расположенной в плоскости координат, Уравнение вида Р'(х,у)=0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ог, и с направ- (Р'(х,у)=0, ляющей ~ Уравнение вида Р(х,г)=0 определяет цилин- ~ г=0. дрнческую поверхность с образующими, параллельными оси Оу, ГР(х,г)=0, н с направляющей ~ Уравнение вида г"(у,г)=0 опреде- '(у=0. ляет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельны- ~Р(у,г)=0, ми оси Ох, и с направляющей ~ ~х=0. Цилиндры второго порядка — зто цилиндрические поверхности, направляющими которых являются кривые второго порядка, а образующими являются прямые, перпендикулярные плоскостям, в которых расположены соответствующие кривые, Если направляющая лежит в одной из координатных плоскостей, то образующая параляельна третьей координатной оси, Название цилиндра второго порядка определяется названием соответствующей направляющей.

Основные типы цилиндров второго порядка и случаи нх вырождения представлены в табл. 1, Таблица ! Лродояхсеиие ялабл 1 Замеча- ния Случаи Прям ая ь у=х-х а х у — — =О аз Оз хз-аз О х=ха хз+ аз = о < х' уз — + — =-1 аз Оз з з — +л- О аз оз одозкен обркзуло- щей Название и уравнения направ- лякнцей Название Поверхности Мнимый эллипти- ческий цилиндр Две мнимы пересеивал. щиеся Две пере- секаощнеся плоскости Две парал- лельные плоскости Две мнимые араллельны плоскости Рисунок поверхности <*-о Окончание е»аоа. ! Замечания. 1, В табл. 1 уравнения записаны в каноническом виде на примере цилиндров с образующими, параллельными оси Ог., Для поверхностей, смещенных относительно начала координат уравнение следует привести к каноническому виду, как это делают для кривых второго порядка. Случай поворота осей координат в данном пособии не рассматривается (он будет рассмотрен при изучении темы «Квадратичные формы»).

2. Различных типов цилиндров второго порядка три (эллиптический, гиперболический и параболический), т.е. столько, сколько и кривых второго порядка. В каждом типе возможны различные сочетания знаков и переменных. 3, Для цилиндров с образующими, параллельнь»ми осям Ох и Оу, соответственно изменится состав переменных в уравнении н положение поверхности относительно осей координат. Пример 5. Определить тнп поверхности, заданной уравнением г -х =4, и построитьее. 2 2 Решение. Заданное уравнение поверхности второго порядка не содержит одну компоненту, следовательно, это уравнение цилиндрической поверхности. Отсутствующая координата у означает, что образующая цилиндра параллельна оси О)», На- правляющая может быть определена как линия пересечения ~г -х =4, ( 2 поверхности заданного цилиндра и плоскости Охг: ~ ' ~у=О, Кривая в сечении — гипербола, следовательно, заданная поверх- ность — гиперболический цилиндр.

Чтобы поверхность была ог- 11 раничена, строим гиперболу в плоскости у=О и в плоскости у=Ь. Проводим образующие цилиндра параллельно оси Оу (рис. 3). Пример 6. Построить поверхность по ее уравнению у=хз. Решение. В уравнении поверхности третьего порядка не содержится координата г, значит это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ог. Кривая у=х в плоскости г=О является направляющей. Строим направляющую в плоскости г=О и г=л, проводим образующие параллельно оси Ог (рис.