АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 5

Следовательно, но заданным проекциялг прямой АВ находим ее профильную проекцию (а"Ь"), проводим в системе УОУ прямую у = 2з и на пх пересечении получаем профильную проекцию (с") тачки С. Затем уже по с" находим горизонтальную и вертикальную проекции искомой точки на одноименных проекппях пряыой АВ. ЗАДАЧИ 27. Найти па прях!ой АВ точку, ссди дано ее рассгояйие от какой- либо плоскосги проекций (фиг. 89 — 91). 28.

Найти на прямой .АВ ~очку С, одна из проекций которой известна (фиг. 92, 93). 29. Что харак!врио на зпюре ддя всех точек, лежащих на ! оризонтальнопроекшгрующей прямой, на вертикально-проектнру>ощсй прямой, на профильно-просктирунзщей прямой? 30. Всегда ли по одной проекции точки, лежащей на прямой, мо:кно найти другую ее проекцию в системе (Н, Г); (Н, $', И:)? 31. Найти на прямой АВ точку С с отношением координат — = ш У (фиг. 94, 95). 20 иг. 30 32.

Провести через точку С прямую АВ параллельно горизонтальной плоскости проекций (фиг. 96), параллельно вертикальной плоскости проекций (фиг. 97), параллельно профильной плоскости проекций (фиг. 98). Глава 71 слеДы пРЯмОЙ Следами прямой называют точки ее пересечения с плоскостями проекций. Горн во нта льны м следом л ря мои называют точку ее пересечения с горнзонтальнол плоскостью проекю~й. Вертикальным следом прямой называют точку ее пересечения с вертикальной плоскостью проекций. Горизонтальный след прямой обозначают буквой Н, а его проекции буквами (ь, 11). Вертикальный след прямой обозначают буквой г', а его проекции — буквами (ц с') Правило.

Для нахо:кдення горизонтального следа прямой поступаем так: прололжаем вертикальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ в точке Ь'; в этой точке восставляем перпендикуляр к осп проекций до пересечения с горнзонтальной проекцией пря»ой в точхе Ь (Н). Эта точка и является горизонтальны» следом прямой. Нля того чтобы найти вертикальный след прямой, поступаем так: продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ в точке с. В этой точке восставлясм перпендикуляр к оси проекций до пересечения с вертикальнон проекцией примой в точке с' (Р). Эта точка и является вертикальным следом прямой.

Примечание. По указанному правилу для профильной прямой можно найти только точки Ь' и е. 1(ля нахождения Ь и с' необходимо сначала найти Ь" и е" на пересечении а"6" с осями ОУи ОУ, а затем по Ь' и Ь" найти Ь (Н) и по с и с" найти с' (г'). ПРИМЕРЫ Пример 19 Построить проскцпв прямой, зная ее следы (фиг.

99). Решение. Искомая прямая проходзн через следы — точки Н и Г. Следовательно, проекции пря»ой должны пройти через одноименные проекции этих точек. Находим проекции (Ь, Ь'1 н (о, ь') этих точек и проводим горизонтальную проекцию прямой через точки 1~ и с и вертикальную проекцию прямой — через точки с' н )С Пример 20 Найти следы прямой АВ и отделить видимую ее часть от невидимой (фиг.

100). Решение. Продолжаем горизонтальную проекцию (аЬ) прямой до пересечения с осью ОХ в точке с. В этой точке восставзяем лерпенднкуляр к оси проекций до пересечения с вертикальной проекцией прямой в точке И (И). Получаем вертикальный след пряыой. Затем продолжаем вертикальную проекцию (айи) прямой до пересечения с осью проекций в точке Ь'.

В этой точке восставляем перпендикуляр к оси проекций до пересечения с горизонтальной проекцией прямой в точке Ь (Н). Получаем горизонтальный след прямой. Следовательно, искомая прямая имеет горизонтальный след на заднем поле горизонтальной штоскостн проекций и вертикальный след — на верхнем поле вертикальной плоскости проекций. Такая прямая проходит через первую, вторую и третью четверти пространства. Отрезок ее между следами невидим. После вертикального следа прямая видима, а после горизонтального следа — невидима У п' 1 ! лч ь 6 ! ! ! $ х ух и йч о ~! Ь Фвг. 100 Пример 21 Дана профильная прямая АВ.

Найти ее следы (фиг. 101). Решение. Продолжаем заданные проекции ло пересечения с осью проекций в точках я' н с. Строим профильную проекцию заданной прямой н продолжаем ло пересечения с осью ОУ в точке а" и с осью 02 в точке с", а затем по Ь' и и" находим и (Н) и по с и с" находим е' (У). Пример 22 Построить проекции прямой, зная следы — точки Н и Ит.

Найти верттухальный след прямой и отделить видимую ее часть от невидимой (фиг. 102). Решение. По заданным следам — точкам Н и И'- находим их проекции и затем проводим проекции искомой прямой через одноименные проекции точек Ни И'. 2 Аруетамав Х, А. Фнг. 102 Для то~о чтобы получить вертнкальнншб стел прямой, находим точку г на пересечении горизонтальной проекции прямой с осью ОХ и восссавляем в зтоп точке перпендикуляр к осн до йересечення в тачке е' с верпжальной проекцией прямой. Получаем вертикальный след пряьюй. Прямая — невидана. ЗАДАЧИ 33.

Перечислить прямые, имеюпгие в системе плоскостей ЕЕ и г' только один след, и назва~ь — какой. 34. Перечислить прямые, имеюьппе в системе плоскостей ЕЕ, 1' и И': 1) только один след гнвзвать — какой), 2) два следа (назвать — какие). 3бз Что характерно иа эпюре для следов профильной прямой". 3б. В каких случаях возможно совпадение на эпюре следов профичьной прямой? 37. Привести пример, когда прямая не определяется горизонтальным и вертикальным следами, и указать, какие нужно задать дополнительные условия для полного определения этой прямой. .ю 'м е 1)Е) Фвг. 103 Фиг.

104 Фиг. 105 Фиг. 106 Фиг. 107 Фиг. 10$ а'и' х ' а ! ! ! ! аЬ Фяг. 110 Фиг. 109 38., Перечислить случаи совпадения следа прямой с какой-либо из ее проекций. 39. Построить проекции прямой по заданным ее следам (фиг, 103, 104). 46. Найгг! следы прямой, проходящей через точки А и В (фиг. 105, 10б). '35 ае ! ! а'~ х .ь ! ! ! ! о ! ! ! ! ! ! ! ! ьь' а'а х о Фяг. 11 Фяг, 112 а Ф .11З о ! и'7 Фяг. 114 Фиг. 11и 4!.

Найги следы прямой АВ (фиг. !07 — 1!3). 42, Даны следы !пли след и отдельная проекция кагкдого из дву других следов) прямой. Построить три проекции искомой прямо~ (фпг. 1!4 — !!7). Фяг. 11б 'Фпг Пл Глава И1 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ Если в пространстве ао на аиюре' 1) прямые цересекмозся, одноименные проекций прямых пересекаются н точхи Нк пересечения лежат на одном перпендикуляра к оси проекций; 2) пряыые параллелыиа, одноименные проекции прямых парал- лельны. В частном случае пересекающиеся прямыс могут быть перпендикулярны между собой.

Теорему о проектнровапип двух перпендикулярных прямых см. в гл. Х Если прямыс пс пересекаются н не параллельны, то они скрсгцнваются, Примечание. Взаимное расположение двух прямых прн наличии хотя бы одной профильной прялюй устанавливается по третьей проекции. Например, две профильные прямые параллельны, если их профильные проекции между собой параллельны. ПРИМЕРЫ Пример 23 Выяснить взаимное расположение прямых АВ н С0 в прострйнстве (фиг.

118). ' См. сноску на стр. 6. Р е ш е н и е. Точки пересечення одноименных проекций заланных прямых лежат на олпом перпендикупяре к оси проехций. Обозначаем пересечение горизонтальных проекиий прямых через )г и пересечение вертикальных их проекций — через и, Точка (1з В) лежит на прямых АВ и С0, т. е. является общей их гочкой. Отсюда: прямые АВ и СВ в пространстве п с расска ю тс я.

Пример 24 Выяснить взаимное расположешге прямых .-13 н С0 (фиг. 119). Р е ш е и и е. Точки пересечения одноименньм проекций прямых лежат на одном перпсн.шкуляре ь оси проекций. Ооозначаем пересеченне горизонтальных проекций через 11 и пересечение их вертикальных проекций — через Р. Точка ((, Р) лежит на прямой (аЬ, а Ь). (ля выяснения поло кения точки (Ь, ).') о~ггосигельно проф;пьиои прямой С0 строим профильные проекции прямой (гг), с'с') и точшг (Ь, )Г). Профи тьная проскпия () ') точки не лежит на профильиои проекции (с"ки) прямой С0, т. е.

точка ()г, Р) на профгшьиой тгрямой (гА 'г) ) нс лекдгг и то ~ка (Ь, )') не является огтшсй томой дтя залзниых прямых дВ и С0. Огсюда; прямые АВ и СВ в ирошрзпствс скрещиваются. Пример 25 Выя нпгь взаимное расположение прчмых Аь" н С0 (фпг. 120). 2 и С Фиг. 118 )з Фиг. 119 Р е ш ение. Горн читальные и верпгкальные просьшги ззланнык прямых ДВ и С0 згежлу сооой параллельны. Следовательно, в пространстве прямые АВ и С0 параллельны. 11ример 26 Выяснить взаимное расположение прямых .4В и С0 [фнг.

1'1) Р с ш е н и е. Горизоьтальныс и вергньальные ироекшги дв. х профильных прямыж нс леьзизнх в одион илоскостгг, мекду собой всег та параллельны, а потому для выяснения вз,ионного Расположения таких прямых неоохолимо посгроить нх профильные плоск.иш: (и'Ь") и (с'гг). Профильные проекшш прямых (аЬ, с'Ь) и (сг), стр) меж,гу собойг пересекаются.

Отсюда прямые АВ и С0 в просгран- стве скрещиваются. В .12В Фвг. 121 г. 122 Пример 27 Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С произвольную прямую, псрссскгцогцую прямую АВ (фиг. 122). Рсшсппо. Берси проязволь~ую точку К на прямой АВ. Так как заданная прямая АЬ' — профильная, строим сс профильную проекцию и на ней задаем произвольно профильную проекцию (й") точки К.

По профильной проекции (Й") точки насолим горизонтальную и вертикальную проекции (1, й') точки на одноимснпьп проскцпяз прямой АВ. Затем проводим проекции искомой прямой." горнзонглльн)1о проекцию прямой — через точки с я й; вертикальную п)юекцию прав~ой — через точки с' и Й'. 39 Пример 28 Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С прямую, пересекаюшую прямую АВ, параллельно вертикальной плоскости проекций (фиг. 123).