АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 4

От точки а„ откладываем на злом перпснлпкуляре в н из отрезок а,а', равньш аа, + 12 мм. Конед стого отрезка лает нам вертикальную проекцию (а') точки. Е Зачем цо двуы проекцням (а и а') точки А находим ее профильную проекцию (а"). Пример 10 Построить ось ОУ и горизонтальную проекцию точки А, находящейся во второй четверти пространства, зная проекции а и а" и отношение ее коор- У х дииат — = 3 (фиг. 51). у Решение. Заданные проекции точки А должны лежать сл е в а от оси ОЕ. Так как расстояние от вертикальной проекции (а') точки до оси ОЕ есть х, а расстоянне от профильной проекции (а") точки до оси ОЕ есть у, то отрезок межау проекциями точки, т. е. а'а", равен разности (х — у). Пользуясь заданным условием х х — у 3 — 1 х-у — = 3, составляем производную пропорцию — = 2, откуда — =у.

У у 2 Теперь остается разделять отрезок а'а" пополам и провести ось ОЕ перпендикулярно осн ОХ на расстоянии — справа от профильной проекцви (а") а'а 2 точки. Затем находим горизонтальную проекцию (а) точки А. Пример 11 Построить ось ОХ и профильную проекцию точки А, находящейся в четвертой четверти пространства, зная проекции а н а' и отношение ее у 1 координат — = — (фиг. 52).

к Решение. Заданные проекции точки А должны лежать под осью ОХ. Так как расстояние от горизонтальной проекции точки до осн ОХ есть у, а расстояние от вертикальной проекции точки до осн ОХ есть ц то отрезок между лроекцнямн точки, т.е. а'а, равен разности (з — у). Пользуясь заданным условием у 1 — = —, составляем производную пропоршгю, куда войдет разность к- у, для чего 3' у я 3 я — у 3 — 1 х-у перепишем условие У = — в виде — = †, откуда — = — = 2 илн = у. 3 у 1' Теперь остается разделить отрезок а'а пополам в провести ось ОХ над точкой а на расстоянии —. Затем находим профильную проекцию (а") точки А.

2 ЗАДАЧИ 11. Построить проекции точки А, находящейся в первом октанте, во втором и т.д., в восьмом, и дать ее эпюр (фиг. 53-60). 12. Построить проекции точки А: при условии, что кл — — О (фнг. 53, 55, 58, 60); при условии, что у„= 0 (фиг. 54, 56, 57, 59);, при условии, что х„= 0 (фиг. 54, 56, 57, 59), и дать ее зшор. 13. Построить эпюр точки А по эаданнмм координатам. г О 0 -30 30 30 — 35 20 0 20 0 У -У, ,! Фыг. 56 Фиг.

55 22 Фиг. % 14. Найти недостаюпше проекции точки А, если известны: одна из ее проекций, соотношение между координатами точки (или другие данные) и четверть„в которой она находится (фиг. 61 — 66). 16. Нанести недостающую ось проекций и определить проекцию точки А, если дано соотношение между ее координатами (фиг.

67 — 72). 16. Построить третью проекцию — прямой АВ, треугольника АВС (фиг. 73 — 78). 17. Построить проекции треугольника АВС, если даны координаты его вершин А (20, О, 0), В (О, ЗО, 0) и С (О, О, 25). 18. Посгроить проекции треугольника АВС, если даны координаты его вершин А (20, 30, 0), В (20, О, 30) и С (О, 20, 30).

19. Дана точка А (20, 30, 20). Построить эпюр точки В, симметричной точке А, относительно горизонтальной плоскости проекций, вертикальной плоскости проекций, профильной плоскости проекций (дать три эпюра) 23 Глава К ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ то иа эиюрег Если в простреле~иве точка лежит иа примой, проекпии точки лежат на одноименных проекциях прямой. Примечание. В случае профильной прямой обратная теорема справедлива только в системе Н, 1с, И'.

Необходимо, имея две проекции, проверить, лежит ли профильная проекция точки на профильной проекции прямой. Вывод Есзи а пространстве прямая проходит через точку, та иа энюрс' проекции прямой проходят через одно именные проекции точки. ПРИМЕРЫ Пример 12 Лежат ли точки .4, В, С, В на прямой Мзг( (фнг. 82)? Р е т е н и е. 11роекции (а, а') точки А лежат на одноименных проекциях прямой (тл, ги'я'), следовательно, точка А лежит не прямой м'Лг.

Проекции (Ь, Ь') точки В лежат аа разноименных проекциях прямой (ти, т'и), следовательно, точка В на прямой Мгт' не лежит. Не лежаг на прямой ИВ также и точки С и 0 (почему?) Пример 13 Лежит лн точка С на профильной прямой АВ (фиг. 83)? ' См. сноску на стр. б. 20. Дана точка А (20, 30, 20). Построить зпюр точки В, симметричной точке А, относительно осей ОХ, ОУ, ОУ (дать три злюра). 21. Построить проекции куба с основанием АВС0 на вертикальной плоскости проекций, если дана диагональ АС его основания, и указать проекции каждой грани, каждого ребра (фиг. 79).

22. Построить проекции правильной треугольной прямой призмы высотой 50 мм, если дана сторона АВ ее основания, лежащего на горизонтальнон плоскости проекций, указать лроекзГии каждой грани, каждопг ребра (фиг. 80). 23. Построить проекции прямой правильной треугольной пирамиды высотой бО мм, если дана сторона АВ ее основания, лежащего на вертикальной плоскости проекций, и указать проекции каждой грани, каждого ребра (фиг. 8Ц. 24. Построить проекции прямого кругового цилиндра с основанием на вертикальной шюскости проекций н с центром С (30, О, 30), если дана его высота бО мм, а радиус основания равен 20 мм. 25. Построить геометрическое место прямых пространства, проходящих через точку 5 (30, 30, 50) и образующих с горизонтальной плоскостью проекций угол, равный 70". 26.

Построить геометрическое место точек пространства, удаленных от точки С (30, 30, 35) на 20 мм. 1 осг 1 х ', ' о 1 п Фиг. 82 У Фиг. 83 Решение. Так как залаиная прямая — профильная, необходимо проверить дополнительно взаимное положение профильной проекции тачки и профильной проекции прямой.

Построив профильную проекцию прямой и профильную проекцию точки, видим, что профильная проекция точки не лежит на профильной проекции прямой, а следовательно, точка С на прялгой АВ пе лежит, Пример 14 Даны профпльная прямая АВ и вертикальная проекция (с) точки С, лежащей на прямой. Найти горизонтальную проекцию (с) этой точки (фнг. 84). Решение. Для того чтобы можно была найти горизонтальную проекцшо (с) точки, нужна ее профильная проекция (с"), когорая должна лежать на профильной проекции (а"Ь") прямой и на перпендикулярной к оси Ос прямой, проведенной через точку с'. Огсюла находим профильную проекцию (а"Ь") прямой и на ее пересечении с перпендикуляром к оси ОУ, проведенным через точку с', получаем профильную проекцию (с") точки.

Затем находим горизонтальную проекцию (с) точки. Пример 15 Даны профильная прямая АВ и горизонтальная проекция (с) точки С, лежащей на прямой. Найти вертикальную проекцию (с') этой точки (фцг. 85). Решение. Для того чтобы можно было найти вертикальную проекцию (с') точки, нужна ее профильная проекция (с"), которая должна лежать на профильной проекции (а"Ь") прямой и находиться ва расстоянии (у) слеяа (почему?) от оси 08.

Отсюда — находим профильную проекцию (а"Ь") прямой и на пересечении с прямой, параллельной оси ОУ, проведенной слева от иее на расстоянии с„с (т. е. у), получаем профильную проекцию (с") точки, затем находим вертикальную проекцию (с') точки. Пример 16 Провести через точки А и В прямую (фиг. 86). Решение.

Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную — через точки а и Ь, вертикальную - через точки а' н Ь'. яг. 84 и' Фнг. Фиг. 86 Прцмер 17 Даны точка Л и разноименные проекции точек В и С Найти недостающие проекции точек В и С, если нсе онп должны лежать на прямой МХ (фнг. 87). Решение. Прояолиги проекции прямой Аз%: горизонтальную (вл) — через точки а и с, вертикальную (в'я') — через точки а' и Ь'.

Затем находим горизонтальную проекцию (6) точки В на прямой вя н вертикальную проекцво (с') точки С иа прямой в'л'. 29 Пример 18 т 1 Найти на прямойг АВ точку С, зная отношение ее координат: — =— 'у 2 (фиг. 88). Решение. Координаты = и у определяют профильную проекцию (с") точки С. Геометрическое место точек плоскости в системе /ОУ с отношением координат я 1 — = .— есть пряыая линия, уравнение которой у = 2г. Профилызая проекция (с") у точки С должна лежать на профильной проекции (сЧЯ) заданной прямой АВ и на прямой у = 2=, т. е. на их пересечении.