1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (Годунов 1971 - Уравнения математической физики)

С. К. Г0ДУН0В УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ Допратно Министерство» внстего и среднего специального образования СССР в качеотее рчебноео пособия для стрдвнтов ряиеврситетое, обрчающикся по специальнотпи вМатеяатикав и Меканпка ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА. ГЛАВНАЯ РЕДАКДИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 197! 617.2 Г 69 УДК 517.944 Уравнения математической физики. С. К. Г о д у н о в, Главная редакция физико-математической литературы нзд-ва сНауказ, 1971.

Книга представляет изложение оригинального курса лекций, которые автор читал в Московском и Новосибирском университетах, Нетрадиционный выбор материала связан с тем, что автор много занимался приложениями дифференциальных уравнений к механике сплошных сред и разработкой численных методов для решения этих уравнений. Автор стремился отобрать материал, который к настоящему времени стал уже классическим у специалистов, хотя, может быть, еще не слишком часто встречается в учебниках и в монографиях, доступных широкому кругу механиков. Рис. — 87. Серзеб Кьйсгианфи7ович Гьдунсе уРАВннния мАунмд777йчнскОЙ Физики М., 1971 г., 416 сер, с илл.

Редактор А. М. Ильин Техн. редактор и. Ф. Брудно Корректор Л. С. Сомова СДзиа В НабОР 141\У 1971 Г. ПОДПИСаНО К ПЕЧатн 11/Х 1971 Г. БУМаГа 60 74 907гз. Физ. печ. л. 26. Условн. печ, л. 26. Уч.-изд. л. 26,12. ~ирам 67 699 зкз. Иена книги 1 р. 96 к. Вака» № 1727. Издательство «Наука» Главная редакпи» Физико-математическое литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 1б Ордена трудового Красного Знамени Ленинградская тнпограеня № 1 «Печатиыа Двор> им А.

М. Горького Главполиграепрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Ленинград, Гатчинская ул., 26 2 — 2 — 3 6-П ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Г л в в а 1. Вводнвя часть 11 П пеняй которые бу х Лапласа, прнзед нциал непрерывного и непрерывная днфПуассона. Убывание 19 Ньютоновский потенциал Несколько предварительных замечаний а характере уран дуг изучатьса в курсе, Исторические замечания о работа шнх ега н уравнению для потенциала тяготения. Поте аспределения масс (нли зарядов). Нга непрерывность еренцируемасть. Потенциал удовлетворяет уравнению потенциала на бесконечности. Задача Диридле для уравнения Лапласа в круге Принцип маисимума для гармонических функций н теорема единственности для убмвающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие а логарифмнчеснам потенциале иа плоскости, Аналитические н гармонические функции двух перемениык.

Некоторые специальные решения уравнения Лапласа в эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге функций по ее граничным значениям. Различные варнантм записи этой формулы и некоюрме свойства ядра. Обоснование Формулы Пуассона для решения уравнения Лапласа. Постановка задачи Дирихле. Теорема единственности решения задачи Днрихле. Существование решения вытекает из обоснования фбрмулы Пуассона. ! 2 Уравнение теплопроводиости Вывод уравненвя теплопроводностн, Задача Днрихле как задача определения стационарного распределения температуры по заданной температуре границы области.

Постановка задач для одномерного уравнения теплоправоднасти. Принпив максимума для этога уравнения. Теоремы единственности задач ) н 2 для уравнения теплапроводностн при различных предноломенннх о решеняи и о начальной функции. 28 Уравнение теплопроводности !продолжение) Формуяа Пуассона для уравнения теплоправодности н ее обоснование. Решение с помощью янтеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения теплопроводности на конечияы отрезке. Нестрогий эвристический вывод интегральной формулы для решения уравнения теплопроводностн. Примеры частных решения линейного и нелинейною уравнений теплопроводности. Характеристики Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка с двумя независвмымн переменными.

Соотношения на характеристиках. Ком. плексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение херакте- 77 Гиперболические уравнения Простейшие примеры гиперболических уравнений с частнмми производдл ди нымн: — + — =О, уравнения для звуковых и электромагнитных волн. Зад) д,с дача Коши для этих уравнений н ее решение с помощью характеристик.

Гиперболяческое уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн. Доказательство единственности решения, основанное на использовании интеграла энергии. Интеграл энергии для одномернмх уравнений Максвелла. Схема вывода уравнений Максвелла. ОГЛАВЛЕННЕ рнстнк в случае большего числа независимых переменных Определение Г.гяперболнческой системы первого порядка. Симметрические Г-гиперболические системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн. Ннвари. антность понятия характеристик относительно невырожденных преобразова.

ний искомых функций и замены уравнений энвнвалентными линейнымн комбинациями. Конус характермгтических нормалей. Определение характеристик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для такого уравнения. Примеры.

Определение эллиптической системм н эллиптического уравнения, Метод Фурье . Схема метода Фурье для уравнения Лапласа я его обоснование. Метод Фурье для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решенйй в виде суммы стоячих волн. Пересняв вводной главы из работ» Римана, посвященной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функций и вычисление коэффициентов Фурье. Корректность Связь между коряямн характеристического уравнении и свойстввми коротких волн.

Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Некорректная задача для уравнения теплапроводности. За. мечання о предмете курса уравнений математической физики. 93 11О 117 Г л а в а П. Гиперболические уравнения б 10 9 !2. Уравнение Гамильтона — Якоби Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби. Схематическое описание при. ема интегрирования этого уравнения.

Бнхарактеристики и канонические уравнения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей для уравнений акустики н уравнения Гамильтона — Якоби для втой системы. Опасение областей единственности для нее. Конус характеристик и конус характеристических нормалей. Пример; уравнения акустики. 137 149 Постановка смешанной задачи для гиперболической системы..... Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболи. ческой системы. Числа условий, которое надо задавать на той иля иной границе для однозначной разрешимости задачи. Условия согласования начальимх данных н граничных условий (на примере).

Диссипативнме гра. ничные условия. Возможность такого приведения гиперболической системы и каноническому виду, чтобы граничные условия стали диссипативными. Интеграл энергии 117 Приведение к каноническому виду гиперболвческой системы с двумя незави- снмымн переменнымв в окрестности точки. Римановм инварианты. Неодно- значность нх определения. Канонический вид — частнмй случай симметричес- кой по Фрндрихсу системы. тождество «интеграл энергии» для гладких ре.

шенка симметрических Г.гиперболических систем. Пример: закан сохранеяия ° нергии для уравнений акустяки. Лемма об интегральном неравенстве. Теорема единственности и оценки решений гиперболических систем 123 использование интеграла энергии для оценок решений симметрических ги- перболических систем. Оценки проводятся в области полупростраиства г ) о, ограниченной сверху некоторой «шапочкой», про которую известно, что по ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как провервть вто усло- вие, пока не вмясняется. Теорема единственности для рассматриваемых об- ластей. Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваезаых производных, Специальнмй способ расширения путем вилючения только уравнений для производных по (.

Условие неотрицательности квадратичной формы, связанной с ин- тегралом энергии 130 Конус векторов, связанных с неотрицательио определеннммн квадратичными фармамн интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы зтога конуса. Неравенство т + Н (й. Ч) »з О и определение Н (й, П). Одно. родиасть н вытекающее из нее равенство $пй -(- Чпя — — Н.

Прямеры: гнпербо- личесная система с двумя незваяснмыми переменными х, Г в канони- ческой форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае перемен- ных коэффнцнентов. ОГЛАВЛВНИВ 157 166 175 184 196 214 Глава Ц1. Уравнение Лапласа эз 20. Свойства гармонических функций 226 226 б 14 4 15 416 4 17 й 18.

й 19. Теорема единственности решения смешанной задачи ........., Постановка смешанной задачи с днсснпатнвнммн граннчнммя услоэнямн. Оценка решения н теорема едннстзенностн. Расшнрекне системы уравяеняй н граннчных условий задачи. Получение оценок пронэзодных. Обзор оценок решеннй для снмметрнчкых гнцерболнческнх систем. условна согласования начальных данных н грапнчных условий. Непрерывная завнснмость 'решеанй от условий задзчн. Понятие сб обратнмых задачах. Примеры нсследовання постановок граничных условий для гнперболнческнх систем. Оценба решений разностных уравнений для смешанной задачи разнастнза схема решения смешанной задача для гннерболнческой снстемы. Оценка решений разностных уравнений в случае днсснпвтнвных гранвчных уславнй.

Начальные данные должны удовлетворять граничным условиям. Компактность решений разностных уравнений............. Продолженве вывода оценок решений разностных уразненнй. Оценка раз. костных отношеннй. Интегральные неравенства, обеспечнвающне равнастепенную непрерывность функций в прямоугольнйке. Теорема Арцела о компактностн е-энтропня. Теорема существования решения смешанной задачи..........

Доказательства теоремы существозвння решеннн у гнперболнческой снстемы нвчннается с описания прпдолження сеточных Функций на весь нрямоугольннк. Оценки для этнх продолжений нлн «ннтерполяцнй» как следствнз нз оценок сеточных функций. Выпалненне начальных н граннчных условий для пре. дельных функций. Даказательстэо дкфференцнруемастн предельных Функцнй.