Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (№12. Исследование магнитных свойств аморфного ферромагнетика при помощи магнитометра), страница 7

Рассмотрим электронный газ с произвольной завнснмостью плотности состояний ч от энергии. Очевидно, что при абсолютном нуле полное число занятых состояний будет равно ее т(Е) г(Е= зЧ. о Электронный газ для нашей цели удобно рассматривать находящимся в двух подсвстемах (подзонах) с противоположным направлением спинов (см. рнс.

1.8), причем в отсутствие внешнего маг- 40 ~ = )зв()((+ — А( ) = — )зв ( ~ ч(Е) "Е 1 2 о ч(Е!с(Е= ев." на н = — рв ~ ч(Е)с(ЕгмрвНч(ЕЕ) 1 2 (1.6.2) Ев-лвп (!.6.3) зол= Рвч(ЕЕ). Как известно, для свободного газа электронов 12зл ! л з,'3 !, Ззч ч(Е„) ! . !' !Ч!~з Лз (3, ' 2ЕВ' где Ж вЂ” число электронов в единице объема и, следовательно, (1.6.4) 12~л 1 л, з,з з,, ЗА'Рз нл = — ( — ! (зв)Ч (1.6.5) 41 т.

е. подзона т сместится вниз на величину РЕН, а подзона ~ сместится вверх на ту же величину (рис. !.8,б). Одинаковое их заполнение уже не соответствует минимуму энергии системы. Требование минимума энергии заставит переходить электроны из подзоны В в подзону Т вплоть до равенства Ев и Ев (рис. 1.8,в). 1 Следовательно, намагниченность можно получить из соотношения ев-,лвн ее-лв" Эта формула была впервые получена Паули в 1927 г., поэтому парамагпнтную восприимчивость металлов называют паулиевской восприимчивостью. 1!з формулы (1.6.5), во-первых, следует температурная независимость парамагнитной восприимчивости металлов и, во-вторых, обьясияется ее малая величина, поскольку вместо тепловой энергии йТ в (1.5.11) здесь стоит на два-трп порядка большая величина — энергия Ферми электронного газа Еа.

Прп рассмотрении парамагнетизма Паули мы не учитывали орбитального движения электронов в магнитном поле, т. е. их днамагнетизма. Согласно теореме Бора — Ван-Лсвен (9 !.3) дпамагнитная восприимчивость электронного газа (как, впрочем, и пара- магнитная) должна равняться нулю. Ландау решил уравнение 1Врсдппгера для электрона в магнитном поле и показал, что диамагни|ная восприимчивость системы свободных электронов отлична от нуля. Уравнение Шредингера для одного свободного электрона в магнитном поле Н=Н имеет вид 1 ' с !р — — А) гр=-Еф, И с (1.6. 6) илн в развернутом виде (см. (!.5.13) и (!.5.15)]: йг Нс й ' д д '., Н*с' — Лгр., — ' — — !х — у — 1ф — (хе. -у')ф= Еф.

2м ' 2агс ! ' ду дг ~ 8слс' (1.6.7) Теперь уже нельзя пользоваться теорией возмущений, как в 9 1.5, так как Е, 1О эВ, интервал между энергетическими уровнями ЛŠ— 10--" эВ, а рпН-10 ' эВ. ПРедставпм ф в виде Нс гд ф = ~((х, у, з)ехр ~ — 1 2с й (1.6.8) Тогда (1.6.7) запишется так; й' Н. й д~Р Нгсг — — Лс( -' — х — —; х'ср = Еср. 2гп аи Г ду 2гасг ,(1.6.9) Далее, делая подстановку 42 ср(х, у, з) =- Х(х) ехр2п!(й„у--а.я), (1.6.10) получаем уравнение для ).(х): йг дгс 1 1 ~ с зга длг 2м , " с 2~и Это уравнение есть уравнение Шредингера для одномерного гармонического осниллятора, который колеблется около положения равновесна сй х'= —— У сН (1.6.11) с частотой ларморовской прецессии ыс— агс (1.6.12) Собственные значения энергии для этого случая известны: (1.6.13) и 2 и а ) И с 2ас ! — — ск — , 'е„а ) гре е =- в '-"" 7.

(х) е2л'"кг. и г Формула (1.6.13) определяет энергию уровней Ландау. Уй( ) У И) Интервал между двумя соседними уровнями равен (!.6.14) АЕ= ' = йиг,= 2рвН. 2 пас (1.6.15) Следует отметить что движение электрона вдоль оси х не изменяется магнитным полем.

остается свободным (см. 1.6.14) и нс квантуется. Квантование траекторий происходит только при движении электрона в д йСд — йсп ~дми с Г плоскости ху. Наглядно это 2 можно себе представить тарас. 1гь Плотность еоетавввй электронного савв с учетом квантования бодных электронов до вкл.оЛвпдау чения магннпюго поля все состояния внутри сферической поверхности Ферми были заполнены равномерно, то после включения поля они стягиваются на поверхности коаксиальных цилиндров, параллельных оси з и имеющих в импульсном пространстве радиусы р„, определяемые из соотношения в — = (и — — ) Йсп, 2~л г 2! (1.6.16) где п=й, 1, 2 ...

— номера уровней Ландау. 43 Соответствующая собственная волновая функция, найденная с учетом (1.6.10) и (1,6.8): Л5 52 — (2ч-- 1) Нвн 5(й„( 1.6. 17) 2юН »са где множитель перед знаком интеграла есть д„— статнстическкй вес, кратность вырождения уровня Ландау. Выполняя илтегрнро. ванне, получаем (1.6.18) «=О Суммирование также выполняется непосредственно. Поскольку е — '(1 — — е — '-' —,' е " 2515« х еиН (2пейТ!'-" са» КаН 5а '«Т (!.6.19) и, следовательно 7 = — Л'Рв ( с!й — — ) = — й((хв7. ( ), (1 6 20) НаН ЬТ Нач ЭТ 15вН ) . ЕТ )' пРн )5ао(( йТ 1 Н(5В х 3 «Т (1.6.21) Таким образом, днамагнлтная восприимчивость обратна по знаку н составляет одну треть соответствующей парамагнитной воспрпнмчивостн (!.5.11). Этот вывод сохраняет силу н для вос- 44 Г1лотность состояний электронного газа приобретает вследствие этого «зубчатый» характер (рнс.

1.9) на фоне исходной параболы. Суммирование по этим состояниям приводит к термодинамнческому потенциалу, который соответственно дает два вклада в восприимчивость, первый нз которых опреде,чяет диамагнетизм Ландау свободного электронного газа, а второй приводит к осцилляционным эффектам, в частности к эффекту де Гааза — ван Альфена. Расчет днамагнитной воспрнимчивостн Ландау приводит к одинаковому ее отношению к ларамагнитной восприимчивости как для невырожденного, так и для вырожденного электронного газа. Мы приведем здесь только более простой вывод диамагннтной воспрннмчивости невырожденного электронного газа, а второй результат приведем без вывода.

Для невырожденного электронного газа мы можем пользоваться статистикой Больцмана: принмчнвостн вырожденного электронного газа, когда нужно воспользоваться распределением Ферми — Дирака 1 х = — — х„ 3 (!.6.22) где восприимчивость Паули х„определяется формулой (1.6.5). Учет «зубчатой» структуры кривой плотности состояний, учет осциллирующей добавки к термодинамическому потенциалу привод одвт к осцнлляционным квантовым эффектам, подробная теория которых дана во многих монографиях, например в [41. Фнзическ я а основа появления всех осцилляцнонных эффектов состоит в том, что изменение магнитного поля, практически не влияя на положение уровня Ферми, изменяет в соответствии с (!.6.16) интервал между уровнями Ландау и поэтому при монотонном изменении магнитного поля уровни Ландау, пики плотности состояний на рнс.

!.9, периодически проходят через уровень Ферми. Ясно, что ситуация, когда уровень Ферми совпадает с пиком плотности состояний, отличается по энергии от ситуации, когда уровень Ферми попадает в провал между двумя пимами, что приводит к осцилляцин термодинамнческого потенциала и вследствие этого к осцилляциям всех физических характеристик металла при низких температурах, если их измерять при монотонном изменения внешнего магнитного поля. Первыми были экспериментально обнаружены осцилляции днамагнитной восприимчивости металлов при низких температурах — эффект де Гааза — ван Лльфена. Количественная теория этого эффекта привела к следующей формуле для периода осцилляций по обратному магнитному полю Ь(1/Н) = 2пе(7(со, (1.6,23) где 5 экстре а чьное сечение лонер о-н ФеР' и Отсюда "е дует, что, измерив экспериментально периоды осцилляций, т.

е. расстояния между максимумами магнитной воспрннмчнвостн в зависимости от магнитного поля, мы получаем замечательную возможность определить все экстремальные сечения Ферми-повеохности данного металла. Изменяя ориентацию магнитного поля относительно крлсталлографических осей, можно„очевидно, получить полезнейшую информацию об электронной структуре металла, причем различные осцилляционные эффекты дают количественные характеристики Разных параметров поверхности Ферми. На рис. 1.10 приведена экспериментальная кривая осцилляций магнитной восприимчивости золота, полученная прн ориентации Н!! [111], Ясно видны два типа осцнлляцнй: высокочастотные, соответствующие большим центральным экстремальным сечениям поверхности Ферми золота (см.

э 2.7), и низкочастотные, соответствующие так называемым чцейкам в местах контакта поверхности Ферми с поверхностью зоны Брнллюэна. Интересно отметить, что поверхность Ферми 47 ферромагнитного металла — никеля, которая буд с ж у ет подро но обб даться в Э 2.7, относится к этому же типу. д 7 7я/с 31В хи Рис. ! !О Эффеат де Гааза— . фф, де Гааза — ваи Адьфеиа ддя завоза (0 ~ [!!!1) !4] В з б дет об ~ заключение преобразуем формулу (1.6,23) у уд но пользоваться для конкретных чис е ) к виду, когда ею л нных расчетов; йяе7ас 9,55 !Оз (1,6.24) Если подставлять сю а Н ности Фе ми бу ем да Н в эрстедах, то для сечения пов р.

д . получать значения в л-пространстве в см-'-'. ерхапример, для высокочастотного периода на рнс, !.1О мы получаем Л(! !Н) =2Х10 а Э ' н по формуле (!.6.24) 5 ьен = 4,8 1О '1а см а для низкочастотных б(1!Н) = 6 1Π— "Э вЂ” ' и В,и и.см1,6 10-"' см-'. зе(ля первого нз сечений радиус 7е =1,2 ° 10' орбита занимает почти всю элемента н ю ячейк см ', и, следовательно, обратной решетки (сч Ч 2 6 и 2 7) й 1ГД ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕИ ИОНОВ В КРИСТАЛЛАХ В данном параграфе мы рассмотрим некоторые элементы теопона об рин групп н теории симметрии кристаллов в той мер, д "ятся для понимания дальнейшего материала. ре, и какой они 46 Симметрия кристалла определяется совокупностью тех операторые совмещают кристалл сам с собой.