Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.djvu), страница 90

4 ); оиг:='р1огя/с(1яр1ау'((оиг,яхоис,зуоиг,соигчегс,с1пьог)); $ Внутренний параллелепипед гпп: = р1оссоо1з/гессапд1е' ( (-О. 5, О. 5), (О. 5, -О. 5], зса11пд=-сопягга1пес)) с $ локальные оси координат внутреннего параллелепипеда х1; =р1ос ( [ [О, 0], [О. 7, 0) ), со1ог=Ь1ааг, сп1с гневя=1); У1: =Р1ог ( ( (О, О], [О, О. 7) ], со1ог=Ь1аск, ГЬ1схпеяя=1); Ф Нормальное напряжение на правой вертикальной грани () внутреннего параллелепипеда зх:=(Ях+Яу)/2+(Ях-Бу)/2*соя(2*а1рЬа)+Тху*я1п(2*а1рпа); зх1:=р1ог ([[О. 5, 0], [О. 5ь ах, 0) ], со1ог=тес(, гп1схпеяя=З); 4 Касательное напряжение на правой вертикальной грани $ внутреннего параллелепипеда Сс=-(Бх-Бу) /2*выл(2*а1рпа) +Тху*соз (2*а1рпа); г1с=р1ог([(0.5,0],[0.5,0+г)],ао1ог тпааепга,гь1а)синяя=з); () Нормальное напряжение на верхней горизонтальной грани Ф внутреннего параллелепипеда яу:=(Ях+Яу)/2+(Ях-Бу)/2*соя(2*(а1рйа+РТ/2))+Тху*зьп(2*(а1рпасР1/2)); яу1:=р1ос ([[О, 0 .

5], [О, О. 5+ау] ], со1ог=тес), гльскпезя=З); () Касательное напряжение на верхней горизонтальной грани Ф внутреннего параллелепипеда г2:р1ог([[0,0.5],[0+1,0.5]],со1ог=пасепга, гь1с)слезя=з); М Вычерчивание внУтреннего параллелепипеда и напряжений на его гранях 1пп:='р1огя/с(1яр1ау'((1пп,х1,у1,ях1,яу1,С1,С2))4 М Поворот внутреннего параллелепипеда на угол а1рпа 1пп:='р1огсоо1я/госасе'(1пп,а1рпа)4 $ Отображение внешнего и внутреннего $ повернутого на угол а1рьа параллелепипедов 'р1осз/Оьзр1ау'((оис,гпп),заа1гпд сопзсгаьпеа); епб ргос: При обращении к процедуре пс)з И следует задать компоненты тензора напряжения на гранях исходного элементарного параллелепипеда в декартовой Часть Ль Механика 5)4 системе координат и угол поворота внутреннего параллелепипеда, напряжения на гранях которого требуется определить.

Для отображения полученного с помощью процедуры оса() графического ОбраЗа СЛЕдуЕт ИСПОЛЬЗОВатЬ КОМаНду 4(1зр1ау () . НаПрИМЕр, СЛЕдуЮШая КОМаН- да отобразит напряжения на гранях внутреннего параллелепипеда, повернутого на угол сс=30', если на гранях внешнего элементарного параллелепипеда действуют нормальные ок = 0,3 МПа, о, = 0,4 МПа и касательное тк = 0,5 МПа напряжения: > р1ога (о1ар1ау] (поа (О. 3, О. 4, О. 5, Р1/6), зоа11оч=оооьогаьгео) ) Г' Для создания анимации, в которой внутренний параллелепипел поворачивается на 3бО' и при этом отображаются изменяющиеся с поворотом векторы напряжений на его гранях, следует создать последовательность графических образов повернутого на разные углы внутреннего параллелепипеда и отобразить ее командой п1зр1ау() С ОПЦИЕЙ 1пьепоегос=к ое'.

> р1о( а (отзр1ау] ( (аеЧ(о4(з (О. 3, О. 4,-О. 7,2*рь/90*1), 1=0 .. 90) ), 1пзеЧоепсг=етое/аоа11пд=-оопатга1оеа); Замечание Не рисунке представлены кадры анимации, соответствующие повороту внут- реннето параллелепипеда на 60', 180' и 300'. Известно, что в элементарном параллелепипеде существуют площадки, на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Причем если на какой-либо площадке нормальное напряжение максимально, то на перпендикулярной к ней оно минимально и наоборот. Такие площадки называются гаавными. Они характеризуются еше тем, что на них ка- Глава !и. Задачи теории упругости 5(5 сательные напряжения отсутствуют. Если наблюдать за напряжениями одной грани вращающегося внутреннего параллелепипеда, то действительно можно заметить, что при определенных углах поворота касательное напряжение на ней будет нулевым, а нормальное напряжение будет принимать либо максимальное, либо минимальное значение.

Для точного определения положения главных площадок следует найти точки, в которых нормальное напряжение как функция переменной угла поворота достигает экстремума. Такими точками могут быть только точки, в которых производная этой функции равна нулю: > вх: = (а1рца) -> (в10лта [х] +в1рта [у) ) /2+ (взчпза [х] -в10лза [у) ) /2*сов (2*а1рьа) + сао [х*у) *в1п(2*а1рца) ) ! 1 ! хт:= а -+ — а + - а +-(а — о ) сов(2 а) + т в]п(2 а) 2 2 з 2 з > апзтА11эо1ит1опвзг Ехпез > па1пз=во1зте(т(1ттт(вх(а1рьа),а1р)за)=О,а1р)за)з та(п:= — атс(ап 2 + — л 2/- 2 ~ о — о ! 2 з у Среди множества корней производной нормального напряжения как функции угла поворота плошадки только четыре соответствуют различным плошадкам.

Чтобы их определить, достаточно взять четыре идуших подряд значения переменной Уз, принимающей целые значения. При этом на всех получаемых поворотом на выбранные углы площадках нормальные напряжения будут либо максимальными, либо минимальными, а сами площадки будут получаться последовательным поворотом на прямой угол одной из них. Отобразим главные плошадки для рассчитываемой задачи: > а1рьана1пз=ета1(зпа1п,(сао[х*у]=0.5,в1дпза[х]=0.3,взотва[у)=0.4, 21=1)зз ! а/р/таМа(п:= —.7355638370 + — л 2 > тхз=- (в10лза [х] -в1т)ата [у] ) /2*в1п (2*а1р)за) +Сап [х*у) *сов (2*а1рьа) з ! (х:= — — (а — о ) гйп(2 а)+т сов(2 а) 2 «У > еса1(пх,(а1р)та=а1рттана1п,еаи[х*у)=0.5,в10тва[х]=0.3,в10пза[у]=0.4))з - ]5 ]О т > р1отв [4(1вр1ау] (пт(в (О. 3, О. 4, О.

5, а1р)заиа1п), вса11пд сопвтта1пет() з Часть 111 Механика Здесь же мы вычислили на главной площадке касательное напряжение, которое действительно оказалось равным нулю. Из рисунка видно, что на главной площадке с выбранным углом наклона а1рпамагп нормальное напряжение максимально, на соседней с ней (угол поворота а1р(тамагпаао ) минимально, На противоположных указанным площадках нормальные напряжения также будут, соответственно, максимальным и минимальным. Аналогично нахождению экстремальных значений нормальных напряжений можно определить плошадки, на которых касательное напряжение достигает своего экстремума: > с: = (а1р)та) ->- (ягптпа (х]-агджа [у] ) /2*я1п (2*а1р)та) +сап [х у1*соя (2*а1р)та) 4 1 т:=а-+ — — (а — о)гйп(2а)+т сот(2а) 2 ' У хт > Т:=яо1се(4(1ГГ(т(а1р)та),а1рьа)=О,а1р)та)г Т:= — — агсгап — 4 + — л ЕЗ- 2 [2 т ! 2 У > а1р)татапг=е та1 (Т, (сап [х*у]=0.

5, я104аа[х]=0.3, ягчгпа [у] =О. 4, 23=0) ) г а]рьаТви:= .04983432624 > ееа1(т(а1рпатап),(тап[х*у]=0.5,я1дла[х]=0.3,я10па[у]=0.41); .5024937810 > р1отя [с(1яр1ау] (пс(я (О. 3, 0. 4, О. 5, а1рпатап), яса11пд=сопяттагпес() ) Можно заметить, что на площадках с максимальным касательным напряжением нормальное напряжение не равно нулю. Задача 14.2 Определить прогибы свободно опертой прямоугольной пластинки размера- МИ ахЬ, ВЫЗВаННЫЕ РаСПРЕДЕЛЕННОй НаГРУЗКОй (1=4](Х,У). Решение. Воспользуемся известным решением для функции прогиба ту(х,у) в двойных тригонометрических рядах 18] Глава 14.

Задачи теории упругости в котором неизвестные коэффициенты ащ „вычисляются по формуле 517 л ~ о(*, ) '( "*) '(""') л о о а — 4— Рх —,+ —, а(л Здесь Р цилиндрическая жесткость пластины на изгиб, вычисляемая в соответствии с формулой Е)з Р=— 12 1 — чо ' М = -Р— лч(х,у) + у — —,лу(х,у) =- (( — '' Н'-'"4 д' Н = — Р (1 — у ) — — ло(х,у ) ( ду дх Разработаем процедуру вычисления прогиба пластины в зависимости от ее геометрических размеров, физико-механических характеристик и действую- щей нагрузки (пример 14.2).

> СЬ1пР1аьел=рхос(а,Ь, Ч,х, у,М,Н,Ь,Е,пп) 1оса1 ч,оо,п, Ол О:=1/Рт 4/а/Ь/Е/Ь"3*12*(1-пп"2); и:=Ол хох то По М о(о Гоп п Ьо Б о)о кс =он. ( 1пе (ьпс (Ч*в1п(ал*Р1*х/а) *зги(п*Р1*у/Ъ), х=о ..а), у=О ..Ь) ) * 4/а/Ь/(ла 2/а"2+и"2/Ь"2)/Р1"4*зги(лалР1*х/а)*втп(п*Р1*у/Ь) епо( о)ол епо) о(ол ел л и*О; епо( рхос: в которой Е и у являются модулем упругости и коэффициентом Пуассона материала пластины, а /( ее толщина.

Зная прогиб пластины, можно вычислить изгибающие Мп М, и крутящий Н моменты по формулам Часть И Механика 528 В процедуру гьгпр1аге() передаются геометрические размеры пластины (аргументы а, ь и ь), модуль упругости е и коэффициент Пуассона и, выражение для действующей нагрузки ч и имена переменных (аргументы х и у), от которых она зависит. Аргументами н и н определяется количество удерживаемых в ряде Фурье решения членов. Теперь с помощью разработанной процедуры можно исследовать полученное в виде ряда Фурье решение. Рассчитаем прогибы и моменты квадратной свободно опертой пластины, нагруженной гидростатическим давлением с[=10ех, удерживая в рядах разное количество членов: > зз=Озиз=20зЕ1=2*10"11згаз=-0.21Ч1=10*хзнз=0.1заз=11Ь1=11 Еог и Ггскз 1 о Н с(о з:=зз1: з))з:=ГпзпР1ьке(а,Ь,с(,х,у,п,г,).,Е,пи)з вв)).:=р1сгЗс((з))1,х=-О..а,у=О..Ь,Г111е=сат("и = ",сспзегсю,вг.гзпоз)) Нх))11=р1сГЗс(( — Е*Ь"Ззз12з'(1 † 2)*!с)зтт(з),з,хв2)спс*езгГ(з()з,у>2'), Х=О..а,у=О..Ь,Г1Г1Е=Сас("П = ",ССПЗсЕГГ(ГЗ,ВГГЗПд))): Му()1:=.рзоГЗс((-Е*Ь Зсс12з'(1-пп"2)*(с(1сГ(з))з,у02)+пп с)зГГ(е',:,хв2)), х=О..

а, у=О ..Ь, Гзь1е=свт (еп = ", сспзсегт ОЬ зсг1пч) ) ): Н) )З:=Р1ОГЗС((-Е*Ь ЗЗ12зС(1-ПС"2)*(1-ПП) С(1ГЕ(З) )1,Х,У), х=О .. а, у=О .. Ь, 1111е=со с ( еп = ", соптегс (и, вс 1пс) ) ); епс) с(о: Замечание В приведенной программе двойные ряды Фурье суммируются по прямоугольникам. Это означает, что в ряде удерживаются все члены. индексы которых удовлетворяют неравенствам гп<М, л<Н. В нашей программе Мем.