Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973), страница 10

ТеоРема 4. ПУсть Тг, ..., Тл — независилгые слУ- чайные числа. Совокупность случайнык величин Сг, ... полученных при последовательном реигении уравнений Сг(Е)п у тг (аг ! е!) = уы (12) рл Ял ) й! ~ .. Ьл-!) — )!п~ илеет совместную плотность вероятностей р (хг, ..., х„), Доказательство. Если значения ..., $! г=х! ! фиксированы, то случайную величину й, с функцией распределения тг(х(хг, ..., х,,) можно определить по формуле (4): Р,Ц,(хг, ..., х! !) =Ть Тогда вероятность неравенства х,($г(х;+с(х, равна Р(х,($2(х;+агхг(хг, ..., х; !) =Р;(х,)хг, ..., х,,)йхь Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка вероятность совместного выполнения и неравенств равна произведению Р(х,<$,<х,+йхь ..., х„<~п<х„+ах„) = =Р(х,($г(х,+йх!)Р(хг < $2(Х2+йхг ~ ф! — — к!) ...

...Р(х„($„<х„+йх„~$! —— хг, ..., $„г=х„!) = =Р, (Х,)йХР,(Х,г!Х,)С(Х2... Рл(к„(ХЬ ..., Х„!)йк„= =рч(х„..., х„)йхь.. агх и теорема доказана. бб ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВСЛНг!ИН [ГЛ В ПРедставление плотности Ро(х[, ..., х„) в фоРме произведения условных плотностей координат $[, ..., й„ возможно п! способами. В частности, при п=2 Ро(х1 хз) =Р[(х[)Рз(хт(х[) =Рт(ха)Р[(х[(хз). Разным произведениям соответствуют разные порядки разыгрывания величин $[,..., $. и, вообще говоря, разные уравнения (!2).

Нижеследу[ощнй пример показывает, что иногда удачный выбор порядка позволяет упростить зги уравнения. Если Б[, ..., $ независимы, то все их условные распредст пения равны безусловным Ро(хь ..., х„) =Р, (х[) ...Рч (х„) и порядок разыгрывания величин роли не играет: уравнения (!2) превраща[отся в (! !), г л Рпс. 22. рй(х)= ) р(х,у)г(угмбх(1 — х) прн 0<я<1[ о р„(у(х) = р(х, у)!р,(х) = (1 — х) — ' прн 0 < у < 1 — х.

Воотвегствуюгцне згнм плотностям функцнн распрелслення; Рй (х) = ( рч (и) г[и = Зха — 2х" 'о прпо<х<1, У гп (У! х) = ) Р[ (о ! х) ло = У (1 — х) ' пРЯ 0<У<! — х, о Из Формул (12) получаем уравнения пля последовательного зычно. ленни Ц н т[ За' — 2аз=уь 1[=у,(1 — а), П р яме р Рассмотрим случайную точку Я, Ч), позорна может прннпмать значення в треугольнике х+у<1, х)0, у)О (рнс. 22) с плотностью р(х, у) =бх.

а) Выберем в качестве первой аелнчпны $. Тогпа й 3! ЯОДЕЛИРОВЛННЕ МНОГОМГРНЫХ ВЕЛИЧНН 37 б) Выберем теперь в качестве первой величины Ч. Тогдз ! — з рч(у) ) р(х, д) г!х=з(1 — р)г при 0 < р(1. с РЕ (х )У) = Р(х, У)!Рч(Р) = 2х(1 — У) з пРи 0 < х < 1 — У. Соответствующие функции распределения: Р (Е) — (р („) г(с ! (! Е)з е при 0(р < 1, Р (х!Е)=(рй(и!Е)ли=хе(! — Е) з при 0<х<1 — у.

о Из формулы (12), используя 1 — т, вместо ть получим уравненпя для последовательного вычисления Ч и $ , )з,, езз у(! )з Сравним теперь оба алгоритма для расчета 3 и гр в первом из нпх для нахождения 3 необходимо решать кубичесние уравнения, в то время как во втором можно использовать явные формулы 3-- — 3;— и=1 — !'т 3=)~тат т. (13) 3 а м е ч а и н е. Учашиегя часто допускагот ошибку и вместо РО(х, у) й рг(х)рг(р)х) пишут соотношение Р О(х, р) =Р,(х)Рз(у(х). Однако последнее тождество неверно! В рассмотренном примере в треугольнике РО(х, у) =Зхгу, а 3 — 2х РЕ (х) Рч (у) х) — хзр, 1 — (! — у)з Р (р) РЕ(х(р) (! Е)з х 2.3.

Возможные обобщения теоремы 4. Важнейший вывод из теоремы 4 состоит в том, что моделирование многомерной случайной величины может быть сведено к последовательному моделированию ее координат. Формулы ()2) используют для этого метод обратных функций. Но это вовсе не обязательно: в некоторых случаях формулы расчета окажутся проще, если использовать для МОДЕЛИРОВаина СЛУЧайНОй ВЕЛИЧИНЫ $г С УСЛОВНОЙ ПЛОТ- постью рг(х)$1, ..., Ег г) какой-нибудь из методов, рассмотренных в последующих Я 3, 4, 5. Например, из результата п. 4.1 следует, что вместо формул (!3) можно использовать следуюший алгоритм, в котором на расчет каждой точки Я, Ч) затрачиваются пять независимых случайных чисел, но зато не надо извлекать корней: О=шах(тг; тз! тз), т)=1 — 8, $=0шах(тз; тз), ПРЕОБРЛЗОБАННЯ СЛУЧАПНЫХ ПЕИНлнтн 1ГЛ 3 2.4.

Использование замены переменных. Во многих случаях удается упростить формулы моделирования многомерной случайной величины путем удачного выбора координат. Правило преобразования плотности при преобразовании координат, Пусть ут=-уг(хт, ..., к„), 1=1, 2... а, — взаимно однозначное дийкуереннируемое отображение обласга В в пространстве х1,...,х„ на область В' з пространстве уо,..,ук. Если плотность случайном точки Я= (с~, .,Бк) э В равна р,(кь ..., хк), то плотность случайной гочки Я'= (Чь ..,, Ча) в В', где ти = уг Ях.... Га), равна д(х,,..., х„) РО (Ух " " Уч) = РО (хл " х.) д (у,.

.., у„) в правой часто х; должны быть выражены через у; Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть 0' — произвольная область внутри В', а 0 — ее прообраз при рассматриваемом отображении. Очевидно, Р(М0) = РЯ'ш0'). По правилу замены переменных в интеграле д (х,,..., хп) Р (с/Н0) РОйхл ° ° ° йк = РО д дул ° ар а ПО ОПРЕДЕЛЕНИ1О ПЛО~НОСти Ро Р Я'н0') = ~ рп,(ух,..., уа) йул...йуч. о' Приравнивая эти вероятности н принимая ио внимание пропзволь. ность 0', получим требуемый результат. 2 4 1. Пример. С л у ч а й н а я т о ч к а Я р а в н о мерно р а си р е д е л е н а в ш а р е к +ух+ гх( В'. Обозначим через Б, Ч, ч Декартовы координаты ~очки 1). Их сов.

л1естнаа плотность РаспРеДелениЯ з шаРе постоЯнна РО(к, У, г) = =((4/3)пй')-'. Однако плотности распределения каждой нз координат достаточно громоздки (см. ипате п. 3.2.1). Поэтому перейдем к сферическим координатам (рис. 23): х=гшпвсозф, у=сын Оып1р, г=гсозО. В новых координатах шар преврашается в параллелепипед 0(г(/т, 0~8(и, 0(ф<2п. Так гак якобиан преобразования д(х, у, г)/д(г, О, гр) =ге Мп О, то в новых координатах плотность рп (г, 8, тр) = И4/3) пй') ' гх Мп 8. 2| МОДЕЛИРОВаНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 59 Легко видеть, что эта плотность представляет собой произведение трех плотностей РО (г, О, гр) (Зг~й з)(2 12|и О)(2п) и, следовательно, сферические координаты го, ОО, гро точки Я независимы.

Уравнения (|1) для их нахождения можно записать так: 3 эг( о о о Отсюда получаем широко распространенные формулы 3 гΠ—— )1 |г'у„сов йо 2Т» — 1, 1РО = 2пуз (14) По этим значениям нетрудно вычисл1юь и декартовы координаты точки С): — ГО 21пйя со5410, т| — го з1пйя з1п 410' д гя сох йо 2Л2. Пример. Выбор случайного направления в пространсгве. Обычно, говоря о «случайном» направлении, подразумевают выбор случайного направления в условиях, ногда все направления Рпс. 24.

Рнс 23 равновероятны (в противном случае должно быть задано распределе. ние вероятнос1сй различных направлений). Направление условимся характеризовать единичным всктором ы |о11+|оээ+Доэз где го|+ ыт+ ыз — — 1. Нас интересует такой случайный вектор а, что 2 2 2 для любо~о телесного угла й (»(ы~й) = Р/4п. бб ПРЕОГРАЗОВАНИЯ СЛУЧАГчНЫХ ВЕЛИЧИН 1Гл З Легко видетгь что если Г) — случайная точка, равнолгерно рас пределенная в шаре хе+у!+аз(ГГ», то направление ее радпуса-вектора обладает нужным иам свойством. Действительно, если П! н (ы— два равных телесных угла, то объемы соогветсгвующих им шаровых секторов равны (рис. 24), и вероятность того, что точка О попадст в каждый из них, одинакова.

Поэточу пз (14) получасе формулы дчя выбора «случайного» направления. сов 0=2у! — 1, чр=2лут, Декартовы координаты вектора ы вычисляются по обычным фор. мулам: ы, = соз гр)'1 — созе О, ые =з(п ф )г 1 — созе В, аз = сов О. 243. Пример [8). Случайная точка ч2 = [чт ° . °,2») подч и н я ется и-мерному норм альп о му (гауссовскому] р а с п р е д е л е и и ю с математичесничи ожиданиями Мэг=а! и вторымп моментамп М [(в! — а ) (в! — а;) ] =Ьг .

Определитель матрицы В= (Ьгг) положителен: би) О. Плотност» такой случайной точки иыражается формулой рр [х„..., х„) = 1/ — „ехр ~ — ~~ сН [х,, — а;) (х) — а ) и где С = [сг() — матрица обратная, по отношению к В, а бс — ее определитель. Квк известно, линейным преобразованием координат можно привести положительно определеннучо квадратичную форму, стоящчо в покззателе, к суиме квадратов. Удобно при этом использовать векторные обозначения: если и = [ит,..., и„) и о = [г! ..., о„)— векторы, то их скалярное произведение (и, о) =- »»,' иго! если С = (сг() — квадратнаи лчатргша (1(1, 1~<а), то в=Си — это л вектор с компонентами ш; = ~~и с;„иа; квадратичная форма выра- а .=! яшется через скалярное ирои»ведение с! (х; — а!) (х — а ) = (С(х — а), х — а). г,(=! Выберем новые координаты уг, ° > у„, и пусть х-а=ТУ.

Тогда (С(х — а), х — а) = (СТи, Ту) = (Т'СТУ, у), где Т' — траиспонировапная мам рппч Т. Последнее выражение обратится в (у, у), еечн Г'СТ=- — единичная матрица. Ото!одз преонРлзовлгпгп вилл 1 ютг, тг! 61 З з) С= (Т') 'Т ', а В=С '=ТТ5 Таким образом, матрица преобразования Т долина удовлсгворять уравнению ТТ'=В. (16) Якобиан преобразоващгя «=Ту+и равен определи гелю матрицы: д(х)/д(у) 4 Дг. Из (16) следует, чго(б!)а = Ла, а так как В=С-', то(аг)з (Ьс) — !. Значит, д (х)/д (у) (Ь ) Теперь могкио записать плотность точки 0 в новых ноордннатах л ! и — — — — (з,з! " .( — — — — зз 1 р, (ую..у )=(2л) з е з = П ((2л) зе з= — ! откуда видно, что новые координаты тогки 0 независимы и нормальны с параметрами (О; 1).

Итак, для того чтобы вычислить значения $г, „еи, надо найти л независимых значениГ! Ь„ ..., ~„ нормальной величины с параметрами (О; 1) — как это сделать, см. и. 3.2.2. или п. 4.4, и тогда й= тг+а. При практической реализации этого метода единственное слогкное ме. сто — рас !от матрицы Т, Из теории матриц следует (64), что существует треугольная матрица Т = (!г!), удов- Рис. 26.

летворяющая (16). Если прп /)! все !г/=О, то (16) превращается в систему, состоящую из л[л+1)/2 уравнений ! Гыг,.„= б,!, 1 К 1' ~ ! < л, гг=-! и все /В могут быть последовательно вычислены в порядке, схема. тически указанном в рнс. 25, Матрицу С вычислять ие аадо. $3. Преобразования вида $=й«(Тг, Тз) 3.(. Постановка задачи. Пусть Т! и Тз — два независимых случайных числа. По аналогии с и. !.5 могкпо пытаться найти всевозмогкпые функции йг(х, у) таки., что слУчайнаЯ величина д(Тг, Тз) имеет фУнкцию Рас. пРеделении г'(х).