Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 8

Л. Ричардсон представил в Королевское общество пятидесятистраничную статью, которая должна быть признана краеугольным камнем численного анализа дифференциальных уравнений в частных производных. До этого Шепперд выполнил некоторую фундаментальную работу по конечно-разностным операторам, однако вклад Ричардсона затмил все предыдущие исследования. Ричардсон разработал итерационные методы ре- ') В этом историческом обзоре, к сожалению, совсем не дается ссылок па работы советских авторов, которые внесли очень большой вклад а раз. витие вычислительной математики и вычислительной гидродинамики. Обзор советских трудои по вычислительной математике проведен в статье А, А. Самарского и статье В.

В. Бобкова и П. И. Монастырного в книге «История отечественной математики», т. 4, кн. 2. — Киев: Наукова думка, 1970. Боль. шой обзор на эту тему имеется в монографии Г. И, Марчука «Методы вычислительной математики». — Новосибирск: Наука, 1973. Интересные библиографические комментарии содержатся в книге С. К. Годунова и В. С. Ря.

бенького «Разностиые схемы». — Мз Наука, 1973. Разностные методы решения уравнений Навье — Стокса обсуждаются в обзорной статье И. Ю. Браиловскай, Т. В. Кусковой и Л. А. Чудова 11968] и в статье А. А. Дороднипына в ьес1нге Ыо1ез !и Рпуз1сз, т. 18, 19?3. В изданиях ВИНИТИ «Итоги науки и техники» подробные обзоры по отдельным проблемам вычислительной гидродинамики опубликовали В, В. Русанов и В.

В. Поспелов «Исследования течения жидкости и газа» (сб. «Математический анализ», т. 13, Мз 1975) н Г. П. Воскресенский и П. И. Чушкин «Чис. ленные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел» (сб. «Механика жидкости и газа», т. 11, Мп 1978), — Прим. ред, Д2, Исторический обзор шенин уравнения Лапласа, бигармонического уравнения и других уравнений.

Он установил различие между стационарными задачами в зависимости от того, «можно илн нельзя продолжить решение, отправляясь от некоторой части границы», т. е, в современной терминологии различал гиперболические и эллиптические задачи. Ричардсон тщательно изучил численное задание граничных условий, включая граничные условия в угловой точке и на бесконечности. Он получил оценки погрешности, дал метод экстраполяции полученных результатов при стремлении шага сетни к нулю, а также предложил проверять численные решения сравнением с точными решениями для тел простой формы, скажем для цилиндра. Наконец, он впервые фактически применил численные методы к такой практической задаче большого масштаба, как определение напряжений в каменной дамбе ').

В итерационном методе Ричардсона для эллиптических уравнений на и-й итерации поочередно в каждом узле расчетной сетки удовлетворяется конечно-разпостное уравнение, содержащее «старые» значения на (п — 1)-й итерации в соседних узлах. В !918 г. Либман показал, что можно значительно увеличить скорость сходимости просто за счет использования «новых» значений в узлах, как только они вычислены. В этой схеме «непрерывных замещений» на каждой и-й итерации используется некоторое число старых значений с (и — 1)-й итерации и некоторое число новых значений с п-й итерации в соседних узлах, В каждом цикле итерационного метода Либмана наибольшие погрешности уменьшаются так же, как в двух циклах итерационного метода Ричардсона (Франкел [1950]).

Это сравнение служит примером специфики численного анализа уравнений в частных производных. Оказывается, что небольшое изменение конечно-разностных аппроксимаций, итерационных схем или трактовки граничных условий может дать большой выигрыш. Напротив, некоторые правдоподобные и на первый взгляд точные численные схемы могут приводить к пол- ') Ричардсон занимался (применительно к вычислениям вручную) и тем, что теперь называют анализом экономической эффективности метода расчета.

Он пвсал: «Пака что я платил за расчет одного коордииатвого узла лапла. сиана по расценке пдв пенсов, где и — число пифр, с которымн проводятся вычисления. Основная ошибка вычислителей состояла в том, что они путали внаки «плюс» и «минус». Что касается скорости расчетов, то один из самых быстрых работников рассчитывал за неделю в среднем 2000 узлов лапла. онана с трехзиачиымв числами; ошибочные расчеты не оплачивались» (Р»- чардсон [)9)0, с. 320)). Мы должны благодарить судьбу за то, что с !9)0 г, сопиальные условия изменились.

Многие из современных вычислителей-гидродинамиков окан. чили бы свои дии в богадельне, если бы они получали определенную плату за один расчет н при этом «ашибочные расчеты не оплачивались». !8 !.2. Исгорнческий обзор ной катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени.

О'Брайен с соавторамн [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива '), До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике.

Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравненийз). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы. Первое численное решение уравнений в частных производяых для задач гидродинамики вязкой жидкости было дано Томом в 1933 г. В !938 г.

Шортли и Уэллер разработали метод, являвшийся, по существу, более сложным варианнтом метода Либмана. Они предложили блочную релаксацию, метод пробной функции, релаксацию погрешности, методы измельчения сетки и экстраполяцию погрешности. Они также впервые точно определили и исследовали скорость сходимости. Саусвелл [1946) разработал более эффективный метод релаксации для численного решения эллиптических уравнений. В его методе релаксации невязки ') не проводятся вычисления последовательно в каждом узле сетки, а просматривается вся сетка для нахождения узлов с максимальными невязками и именно в этих узлах вычисляются новые значения. [В случае ') Эта неустойчивость не проявилась в расчетах самого Ричардсона пз за малого числа рассчитанных шагов по времени.

') Значение работы Кураита, Фридрнхса и Леви [!928) обсуждалось в трех статьях, опубликованных вместе с английским переводом этой работы в марте 1967 г. в 1ВМ зоцгпа! [Лаке [!967), Партер [!967), Видлунд [1967) ). ») Раньше термин «рглаксапня» относили только к методу Саусвелла релаксацпи невязка. Мы используем термин «релаксация невязки», чтобы отличить этот метод от итерационных методов типа метода Либмана, кото. рые в настоящее время также называют релаксационными. 1.2, Исторический обзор стационарного уравнения теплопроводностн невязка пропорциональна скорости накопления энергии в ячейке сетки; следовательно, стационарное состояние достигается, когда все невязки обращаются в нуль.) Фокс (!948] разработал усложненные варианты метода релаксации Саусвелла, введя схемы верхней и нижней релаксации (при которых певязки не полагаются точно раиными нулю), способ выбора узлов сетки, в которых осуществляется релаксация, а также схему блочной релаксации.

В 1955 г. Аллен и Саусвелл применили метод релаксации Саусвелла для расчета вручную обтекания цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью. В некоторых отношениях это была пионерская работа в численной гидродинамике. Для представления круговой границы на регулярной прямоугольной сетке использовалось конформное преобразование. Были получены численно устойчивые решения прн числе Рейнольдса, равном 1000, что превышает физический предел устойчивости ').

При проведении вычислений авторы столкнулись с ясно выраженной тенденцией к неустойчивости при числе Рейнольдса, равном 100, и связали это с тенденцией к физической неустойчивости потока, предвосхитив тем самым современное понятие численного моделирования. Их работа может также считаться образцом финансирования научных исследований: на ее проведение Лондонскому имперскому колледжу в !945 г.

были выделены большие ассигнования фирмой по пошиву одежды! Метод Саусвелла не так просто приспособить к использованию на ЭВМ. Вычислитель вручную просматривал матрицу в поисках максимальной невязки гораздо быстрее, чем производил арифметические операции. Для ЭВМ скорость просмотра матрицы не намного превышает скорость выполнения арифметических операций, и поэтому здесь становится более эффективным проведение релаксации последовательно во всех узлах сетки до сведения невязки к нулю, что идентично методу Либмана. Таким образом, применение ЭВМ дало основание к дальнейшему развитию методов типа метода Либмана с использованием преимушеств идеи верхней релаксации Саусвелла. В 1950 г.

Франкел (и в 1954 г. независимо от него Янг) разработал метод, который он назвал экстраполированным методом Либмана и который впоследствии стал называться методом последовательной верхней релаксации (Янг (!954)) или методом оптимальной верхней релаксации. Франкел подметил также аналогию между итеративным решением эллиптических уравнений и решением шагами по времени параболических уравнений, что имело важные последствия. С развитием ЭВМ стали по-настоящему уделять внимание и '! Расчеты проводились при Кв = О, 1, 1О, 100 и 1000.

— Прим, перез. Д2. Исторический обзор уравнениям параболического типа, поскольку стало возможным рассчитывать нестационарные решения. В первой монографии Рихтмайера [1957], внесшей большой вклад в развитие одномерной иестационарной гидродинамики, было приведено, свыше десяти численных схем. В многомерном случае первым неявным методом был метод Кранка — Николсона, опубликованный в 1947 г. и требовавший итераций на каждом временном слое. Этот метод остается одним из самых популярных и лежит в основе широко используемого метода расчета неавтомодельных решений уравнений пограничного слоя (Блоттнер [1970]).