Роуч П. Вычислительная гидродинамика (Роуч П. Вычислительная гидродинамика.djvu), страница 7

6. Курс принимается студентами с энтузиазмом, в особенности если он подкреплен практикой на ЭВМ. 7. При двухсеместровом курсе я заканчивал бы первый семестр на главе 3, возможно, после изложения методов решения уравнения для температуры. Второй семестр мог бы начинаться с обсуждения решения уравнений течения несжимаемой жидкости в простейших физических переменных. 8. Существует много задач, которые можно предложить студентам в качестве практической работы по настоящему курсу.

Пекоторые из них являются еще неисследованными научными проблемами, что может служить превосходным стимулом для их вьпюлнения. Примерами публикаций, возникших из студенческих работ по задаче о течении жидкости в замкнутой области с одной подвижной границей, являются работы Торранса с соавторами 119721 и Млпепса1 зюйез оГ 1псошргезз1Ые изсоиз Яож ш а дпчеп саиту. - НАБА БР-378, 1975. 9.

При желании материал настоящей книги можно дополнить изложением метода характеристик и схем решения уравнений пограничного слоя. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ «Гидродинамика особенно изобилует нелинейностями» )Эймс ))965]), как это хорошо знает каждый изучающий ее студент. Она также изобилует уравнениями в частных производных смешанного, гиперболического и эллиптического типов, математическими особенностями различных видов, задачами с граничными условиями на бесконечности. В прошлом гидродинамика в значительной мере стимулировала развитие теории уравнений в частных производных, теории функций комплексного переменного, векторного и тензорного анализа, нелинейных математических методов.

Не удивительно поэтому, что в настоящее время гидродинамика, с одной стороны, извлекает большую выгоду из применения численных конечно-разностных методов исследования, а с другой стороны, вносит значительный вклад в их развитие. Однако в настоящей книге мы нс касаемся всех разделов численного анализа, используемых в гидродинамических задачах.

Мы не рассматриваем интересную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая играет столь важную роль при расчете автомодельных решений теории пограничного слоя; мы пе рассматриваем даже практически важного метода характеристик. Вместо этого мы сосредоточим свое внимание на новой, только еще появляющейся дисциплине, которую, по-видимому, лучше всего было бы назвать численным моделированием в гидродинамике. В настоящее время все чаще входит в употребление термин «вычислительная гидродинамика», который почти пе отличается от более широкого термина «численная гидродинамика» '), 1.1. Область вычислительной гидродинамиии В прошлом гидродинамика, как и другие физические науки, делилась на теоретическую и экспериментальную части.

Зададимся вопросом: в каком отношении к этим старым частям на- ') Заметим, что автор использует как термин «вычислительная гидро. динамика» (согпрщаиопа! Ппш г)упаси)сз), так и термин «числениая гидро. динамика» (пигпепса! ))нЫ оупагп)сз). — Прим.

ред. 14 !.!. Область вычислительной еидродинамини ходится вычислительная гидродннамика» Можно ответить, что она является отдельной дисциплиной, хотя и обладает некоторыми чертами обеих этих частей и скорее дополняет, чем заменяет их. Вычислительная гидродинамика, конечно, не является чисто теоретической наукой (если таковые вообще существуют)— она ближе к экспериментальной. Существу1ощая ныне математическая теория численного решения нелинейных уравнений в частных производных пока еще неадекватна: нет строгого исследования устойчивости, строгих оценок погрешностей и доказательств сходнмости. Некоторые успехи достигнуты в доказательствах существования и единственности решений, ио их не достаточно для того, чтобы дать недвусмысленный ответ на отдельные вопросы, представляющие известный антерес. Поэтому в вычислительной гидродинамике приходится в основном полагаться на строгое математическое исследование упрощенных линеаризованных задач, имеющих большее или меньшее отношение к данной задаче, а также на эвристические обоснования, физическую интуицию, результаты продувок в аэродинамических трубах и на процедуры проб и ошибок.

Специалист по прикладной математике Био (см. Био [!956[) сделал некоторые замечания относительно прикладной математики вообще, которые сегодня кажутся особенно подходящими к вычислительной гидродинамике. Процитировав Бейтмена, охарактеризовавшего математика-прикладника как «математика без математической добросовестности», Био переходит к обсуждению отношений между математиком-прикладником и чистой математикой: «Можно понять чувства художника, которому в процессе творчества постоянно напоминали бы о необходимости строгого следования законам физики и психологии, хотя изучение науки о цветовых сочетаниях для него, безусловно, полезно».

Начинающего изучать вычислительную гидродинамнку необходимо предупредить, что в этой области требуется по меньшей мере столько же искусства, сколько и науки. Численное моделирование гидродинамических задач, таким образом, ближе к экспериментальной, чем к теоретической, гидродинамике. Проведение каждого отдельного расчета на ЭВМ очень похоже на проведение физического эксперимента. Здесь исследователь «включает» уравнения, а затем следит за тем, что происходит; именно то же самое делает и экспериментатор. При проведении расчетов возможны открытия новых физических явленнй; так, Кемпбелл и Мюллер [1968) открыли один случай дозвукового отрыва в численном эксперименте и лишь после этого обнаружили его при экспериментах в аэродинамических трубах.

Однако исследователь, проводящий численный Дб Область еьмислительнаб гидрадинамики эксперимент, имеет некоторые преимущества. Он может произвольно задавать такие свойства жидкости, как плотность, вязкость и др., причем при определении значений гндродинамических величин в поток не вносится возмущений. Вычислитель может проводить чисто двумерный эксперимент, фактически неосуществимый в лабораторных условиях. Он не стеснен в выборе параметров течения, т, е. может произвольно выбирать начальные толщину пограничного слоя и профиль скорости независимо от числа Рейнольдса на единицу длины и числа Маха, что невозможно при эксперименте в аэродинамических трубах. Вероятно, наиболее важен тот факт, что экспериментатор-вычислитель может делать то, чего не может сделать ни теоретик, ни экспериментатор-физик: он может проверить, как на данное физическое явление влияет в отдельности каждое из независимых упрощающих физических предположений, таких, как постоянство коэффициента вязкости, пренебрежение архимедовой силой, равенство числа Прандтля единице, предположения теории пограничного слоя и т.

д. (Напомним старый анекдот о новичке, который для экспериментов в аэродинамической трубе заказал железнодорожную цистерну с невязким нетеплопроводным совершенным газом.) Вычислитель может проверить и адекватность основных уравнений состояния в случае, например, какой-лнбо новой неньютоновской модели жидкости. Однако численный эксперимент никогда и ни в коей мере не может заменить ни физический эксперимент, ни теоретический анализ.

Одна нз очевидных причин этого заключается в том, что уравнения состояния сплошной среды никогда нельзя считать точными, а другая — в том, что экспериментатор-вычислитель не работает с дифференциальными уравнениями движения сплошной среды. При этом не важно, что рассчитываемые днскретизированные уравнения точно переходят в исходные дифференциальные уравнения в предельном случае измельчения сетки, так как таковой предел никогда не достигается.

Процесс дискретизации уравнений часто меняет не только количественную точность, но и качественное поведение решений, Так, некоторые виды дискретных аналогов привносят своего рода вязкостные эффекты, даже если исследователь намеревался иметь дело с уравнениями для невязкой жидкости.

Другим очень важным ограничением является неспособность численного эксперимента надлежащим образом учитывать турбулентность и вообще такие физические явления (турбулентность, линии скольжения, вихри, срывающиеся с острых кромок), которые имеют слишком малый масштаб, чтобы быть с достаточной точностью разрешенными на конечио-разностной сетке, и в то же время могут оказывать существенное влияние на крупномасштабные свойства течения.

Примером такого явления может 16 1.2, Исторический обзор служить влияние турбулентности в пограничном слое на положение точки отрыва. Существуют также примеры течений, представляющихся двумерными, но на практике не являющихся таковыми, например течение за линией повторного присоединения оторвавшегося плоского потока и плоское течение над каверной. В подобных случаях кажущееся преимущество точной двумерности численного эксперимента может быть обманчивым. Наконец, следует отметить, что численный эксперимент ограничен в том же смысле, что и физический, а именно дает дискретную информацию для некоторой частной комбинации параметров.

Он не может установить какие-либо функциональные зависимости, помимо тех, которые получаются из основных уравнений при помощи анализа размерностей, и следовательно, не заменяет даже простейшей теории. Итак, вычислительная гидродинамика является отдельной дисциплиной, отличной от экспериментальной и теоретической гидродинамикя и дополняющей их. Она имеет свои собственные методы, свои собственные трудности и свою собственную сферу приложения, открывая новые перспективы для изучения физических процессов. 1.2. Исторический обзор') В 1910 г.