Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994).djvu), страница 13

67 * дт т т Т=Тоехр)" — =То ехр 1п — =То— т то 'о т. е. Т пропорциональна т. Таким образом, газовый термометр, заполненный ндеальным газом, для которого справедливы уравнення (17.8), можно считать измеряющим абсолютную температуру, т. е. записать уравнення (17.8), определяющие идеальный газ, в виде (17.10) т дч)т Заметим, что нз соотношения (17.7) следует совпадение знаков Т и Т,. Это означает, что абсолютная температура может быть либо положительной, либо отрицательной. Выбирая, как обычно, Т>0, мы предполагаем, что абсолютная температура может изменяться лишь от 0 К до + сов. Исходя йз уравнения Клапейрона †Менделее, записанного в форме (!7.10), н полагая, что для идеального газа Е= з(з ЯТе, на основании уравнения (17.2) имеем оЯ= — + — оР=- Я вЂ” +Я вЂ”, р т т г т р' т.

е. (17.11) Это выражение для энтропнн идеального газа, очевидно, справедлнво лншь для не слишком низких температур, так как прн Т вЂ” ~0 К, согласно этой формуле, Я-ь- со, что противоречит постулату Нернста, согласно которому (см. 8 14) У-+О прн Т- 0 К. Заметим (см. 5 14), что для квантовых идеальных газов действительно Я-+0 прн Т- 0 К. 17.1. термическое в калорическое уравневвя состояния идеального электронного газа связаны соотношением рг ейЕ.

Найти для этого газа ураввевве адиабаты в перемевнык р, г и Т, г'. 17.1. Вычислвть эвтропвю газа Ван-дер-Ваальса и найти уравнение его адиабаты. 17.3. Показать, что термическое уравнение состояния идеального парамагветвка, ввутренюы энергия которого зависит только от температуры, вмеет ввд яз =у" (Н(т). 17.4. Показать, что для парамагнетнков, подчиняющихся закову Кюри и= С(Т (и — парамкгнвтная воспривмчивость, С вЂ” константа Кюри), внутренняя энергия ве зависит от намагничивания М (или напрюкенвости мзгнвтного поля тг).

18. Термодинамическая связь калоряческих н термических свойств Все равновесные свойства системы могут быть получены днфференцнрованнем калорнческнх н термических уравнений. Этот факт, а также связь между указаннымн уравненнямн (1 7.4) приводят к ряду общих соотношений между калорнческнмн н термическими свойствами. установим нх для простых систем с внешним параметром )г. Если для простейшей термодннамнческой системы термическое уравнение состояния имеет внд )г= $'(р, Т), то б~ бн бт+ ~~ а, (18.1) 'Выраиевие Е з(зДТ для идеального газа здесь монет рассматриваться как эмпвзпическв установленный факт, так как для идеального одноатомвого газа Ср (зЯ.

В статистической физвке и элементарной кинетической теории зто выраиевве следует из теоремы о распределении кинетической звертив по степеням свободы. 68 Если Ф'=сопя!, т. е. о !»=О, то (18.2) Это общее соотношение позволяет записать выражение (15.8) для С, — Сг в более удобном для общего его анализа виде. Заменим в (15.8) эмпирическую температуру т на абсолютную Т н, воспользовавшись соотношением (17.4), запишем (15.8) как С»- Си= Т Учитывая (18.2), преобразуем эту формулу к виду С вЂ” С~= — Т вЂ” — = — Т (18.3) Если прн увеличении давления обьем системы уменьшается, как это обычно имеет место для газов и жидкостей, т. е. если (д!»1др)г<0 или (др/д1»)г<0, то, согласно (!8.3), С») С (18.4) Для термической характеристики вещества практически исполь- зуются следующие коэффициенты: а = — ~ — ~ — коэффициент теплового расширения, Д дТ)» ! 7'ей — — термический гоэффициент давления, ~,дт) ,(г,~ жт= — — ~ — » — коэффициент изотермического сжатия.

»» ар»»т Согласно (18.2), эти коэффициенты связаны соотношением ~ Э=а. (18.5) Подставляя в (18.3) термические коэффициенты, имеем тт»е С,-С,= жг Более обпшй метод получения соотношений„связывакицнх теплоемкости с термическиьш коэффициентами (т. е. производными внутренних параметров по внешним илн наоборот), состоит в применении известных свойств функционального определителя, или лобиана д(и, «) ~ди/дх ди/ду д(х, у) ~д«/дх д«/ду (18.7) для которого справедливы соотношения д(«, и) д(и, «) д(и, у) (да~1 д(», у) д(х, у) д(к, у) \~8»,/»' д(и, «) д(и, «) д(г, з) д д(и, «) д(й, «) д(и, «) (18.8) + д(х, у) д(г, ») д(к, у) дгд(х, у) д(к, у) д(», у) < дГ~ д(К Я) д(Г», Л) д(Г», Т) д(р, Т) др/л д(р, Я) д(7», Т) д(р, Т) д(р, Я) (18.9) но с= ~~ =т —,с= ~ =т Следовательно, (18.10) (18.11) 18.1.

Вычислить разность С вЂ” Сг длл газа Вав-дер-Ваальса. 18.2. Вычпслкгь разность Сл — Сз между теплоемкостлмв прв постолвном вапркпеннв в прв постолвной деформаннв длл твердого упругого стержпл. 18ь Вычислить разность Сл — Ср между теплоемкоствмв диэлектрика прв посто»пном поле Е и прп постовнвом смешенвв Р. 18А. Установить, что длл любой щюстой спстемы, подверженной действию обобщенной силы А (сопрвженной внешнему параметру а), имеет место тождество 70 В качестве примера использования соотношений (18.8) выведем выражение для С,/С,. Рассмотрим нлиабатический коэффициент расширения (д(»/др),.

Согласно (18.8), 19. Интеграл Клаузнуса и цвыл Карыо Рассмотрим замкнутый квазистатический процесс. Интеграл по замкнутому циклу 119.1) назовем интегралом Клаузиуса. Согласно 116.21), ф — 12=фЫ=О, 119.2) т. е. имеет место равенство Клаузиуса, согласно которому для квазистатнческого процесса интеграл Клаузыуса равен нулю. Рассмотрим цыклическы действующую машину, производящую работу за счет поглощения теплоты от «нагревателя» температуры Т, и отдачи части этой теплоты «холодильнику» температуры Т,. Такой обратымый циклический процесс называется циклом Карно. Его можно изобразить как на дыаграмме (р, Ц, так и (Т, У) (рис. 11 ы 12); линия 1 — 2 ызображает ызотерму с температурой Т„линия 2 — 3 — адыабату с энтропией Уг, линия 3 — 4 — изотерму с температурой Т„линия 4 — 1 — адиабату с энтропией Яг.

Площадь, опоясанная этими линыямы, на диаграмме (р, У), очевидно, равна работе )го, совершаемой циклическим процессом (рыс. 11), а соответствующая площадь на дыаграмме (Я, Т) (рыс. 12) равна количеству теплоты До, превращаемому в цыклыческом процессе в работу И'о. Очевыдно, не вся энергия, поступающая в машину в виде теплоты, превращается в работу И«>, а лишь ее часть Рис.

12 71 И О а!< а2 !а2~ 27 = — = =1 — —. й й й' (19.4) Но, согласно равенству Клаузиуса (19.2), для обратимого цикла Карно, изображенного на рис. 12, ~42 у„Е .21 122 т Т, Т; (19.5) так как Д, = Т, (52 — Я,) — количество теплоты, полученное от нагре- вателя, а Д2=Т2(Я,-Я2) — количество теплоты, отданное холо- дильнику. Согласно (19.5), имеем 122 72 (19.6) 12, Т, и, следовательно, Т2 Т1 Т2 7=1 — = Т, Т, (19.7) Таким образом, коэффициент полезного действия обратимой тепловой машины Карно зависит лишь от отношения температур нагревателя и холодильника, т. е. Т4Т2, и не зависит от свойств рабочего вещества машины, т.

е. его уравнений состояния. 20. Метод термодяиамических потещиалов Полученные выше, а также многочисленные другие термодинамические соотношения устанавливают связь между калорическими и термическими уравнениями состояния. Гиббс показал, что существуют функции термодинамических параметров, называемые потенциалами, простым дифференцированием которых можно получить все уравнения состояния, как калорические, так и термические, а также соотношения, их связывающие. Рассмотрим прежде всего потенциалы для простейшей термодинамической системы с единственным внешним параметром — объемом р.

Основное уравнение для квазистатических процессов в этом случае, согласно (17.2), имеет вид ТЙБ=ЙЕ+рбмк (20.1) До сих пор в качестве независимых переменных мы брали температуру и внешние параметры (в данном случае Т и Р). Следовательно, 72 где Д, — количество теплоты, полученное от нагревателя, а Д2— отданное холодильнику. Коэффициент полезного действия е=е(т, дтпл, р=р(т, д'), Б=Б(т, )т) (20.2) и соотношения между производными этих величин [например, (17.3), (17.4), (183), (18.4), (18.11) и др.1 получались из (17.2) или (20.1) сложнее, чем путем простого дифференцирования. Если, однако, положить Е=Е(Б, Ц, р=р(Б, Р), Т=Т(Б, Ц, (20.3) то уравнение (20.1) можно представить в виде йе=тт-рт~ — ~ 4Б+~ — ~ бд; 1,дЯ)' ~дт',7т откуда т= —, р=— (20.4) (20.5) Первое из этих уравнений калорическое, а второе — термическое.