Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 9

Тогда соотношение (2) приРьо Ьх ближенно будет иметь вид созда= — 1 +созх и. хтл (3) На рис. 19 изображена функция () — '+созхта) на оси мп хгл х~а абсцисс отложены значения х,а. Дозволенные эоны энергии отмечены на оси х„а жнрнымн линиями. Рнс, 19. В каждой точке х,а =-лг справа примыкает зона запрещенной энергии.

Из приведенного графика видно, что аапрещенные зоны энергии с возрастанием номера зоны делаются уже. Легко оценить ширину аапрещенцых зон. Левая часть выражения (3) принимает значения ( — 1)", когда соз(х,а — су)=.( — 1)"созе, 1э.е= —" ут~л Ф 1) одномвгнов движение что возможно при ха = пи и при х,а = пя-+27. Отсюда следует, что ширина запрещенных зон энергии составлает 27. Прн больших значениях и б) Е .ь 1'е.

В этом случае энергетические зоны определяются из соотношения — 1 ~(созе,а ° совками — Яи~хсн ° Ягпкеб~~+ 1. 2епе 17. Уровни энергии Е„определяются из правила квантования Вора ~рыл=я(п+ ~) Ь, где 2р Е„+ х, и хе — точки поворота, определяемые из условия р= — О (прн этом Е„( О для рассматриваемого случая дискретного спектра). Для вычисления интеграла яч 2р Е~ о ~1л спя — / ж л дифференцируем обе части по Е. При этом производная от интеграла по верхнему и нижнему пределам обращается в нуль, так как в точках х, н хя подкореннае выражение равно нулю. Таким образом, Е+ Уо ззк. 1Уаа и. и.

Гольдман, В д. кгивченков ОтВеТы и вешания Х Заменой переменной ан — =-в поеледний интеграл приводится к следующему виду: е, сУ Же мл НЕ,$ $Г2И(Е(1+ля)+ Я 3~ — 2рЕ Отсюда находим /(Е) =- — )г — 2раяЕ я+С. Постоющая С определяется из того условна, что при Е = — $г область интегрирования стягивается в точку и 1( — $;) =-О. откуда !(Е) = $' 2рае($' Го — $/ — Е) и.

Таким образом, в квазнклассическом приближении уровни энергии определяются следующим выражением: Е„== — —, ~фl —" — «и+ — )~ (п = О, 1, 2,...). (2) У2 ~'~ Число уровней И =- ~ а. Отметим, что вычисление Ь уровней энергии с помощью правила квантования (1) является законным, если число уровней велико, т. е. 2иаэт'е ь' »' При выполнении этого условия выражение для уровней энергии (2) совпадает с точной формулой для Е„, полученной в задаче 11, й 1. 18. а) Е„= — «и+ 2)йв (и=О, 1, 2, ...), (п = — О, 1.

2, ...). 19. Среднее значение кинетической энергии в стационарном состоянии ф„(волновая функция предполагается вещественной) 67 одномвгнов движения В квавикласеическом приближении в классически доступной области 1а 'х ( Ь) волновая функция имеет вид ф„= —" соя — ~ р дх — —, р = )/ 2р 1Ц, — Ь'), откуда х ..„)гр . l1 ~ — '" = — — А яп — ~ рс1х —— Их Ь " ~Ь~ 4~ а 1 А„лр 11! е — — —," — сов — 1 рИ вЂ”вЂ” х2'Имх 1,й3 4 7' При подстановке этого выражения в интеграл, определяющий 7, пределы интегрирования можно ограничить классически доступной областью, так как вне этой области ф„ экспоненциальсо убывает.

Заменяя квадраты сильно осциллирующих тригонометрических функций на ик среднее ана- 1 чение — н пренебрегая интегралом, содержащим осцилли- 2 . (1~' рующнй множитель яг: — ~ р~7х — ° сов — ~ рдх — = О а 1 . ~2 я = — яш — рдх — —, получаем.' О т= —" ~~р+ —,( — 'р)1а .

Условие применимости кваанклассичсского приближения — ~= — ~ — ~((1 означает, что второй член под знаком лл! Ъ 1Фр т! — Р~пх интеграла мал по сравнению с первым, поэтому, воспользовавшись условием квантования, находим: 4и " '1 2)' а огввты и вешания Постоянная А„определяется из условия нормировки ь е ь ,/ ф г!хжА ~ — соя' — ! рдх — —" пх — —" ~ — =1. Й С другой стороны, дифференцируя условие квантования ь ь р!1х= ~ ) ф,~Е.— ~е)Ех=-.~(п+ — 2~ 1Ъ а а по и, получаем: ~Юр, !' ах яЕя !" ах ' А" гвтп-н =" ..

!' Р =* откуда е 2м я'Ея А„= — — ". яЬ яп" Выражение для средней кинетической энергии после подста- новки последнего равенства принимает вид — ! / 1ъ 20, а) Т= — —,йы(л+ — Г1; 2 ! 2г'' б) Т = — ~ $/ —,ь + (л + — ) ~ (а +.

— ) . 21. Ив теоремы вириала следует: 2Т= «17, откуда 2+~— Е =- — Т. ч Подставляя в это соотношение яначение средней кинети- ческой энергии .—. 1 ПЕ„( 1) !см. предыдущую аадачу), получаем уравнение пгохождвнив чвгвз вляьвР решение которого имеет вид Е= сопв1(п+ —,) +' 22. В качестве исходного уравнения возьмем условие квантования Бора и» г»и« — »(*х« — »( -ь») определяющее спектр, точнее и(Е), если задана потенциальная энергия Ъ'(х). Поскольку по условию К(х) — четная функция э 2 ~ к 2р(Š— 1'(х)) дх= — яй(п+ 2) ' где хх = — х, = и, Е = Ь'(а).

Задача, таким обрааом, сводится к отысканию решения интегрального уравнения (1), которое имеет виде) х(Ь') =- "у'2р „! 'Е )г~г р цл где х(1») — функция, обратная 1'(х), а — рассматривается ц'Е лл как функция Е; Š— начало отсчета энергии. й 2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР 1. В области металла (х ( 0) общий вид волновой функции принадлежащей собственному значению Е, следующий: » =»»-ь-- ь) Настоящая задача тесно связана со следующей задачей каассичесяой механики: дан период колебаний как функция энергии частицы, требуется найти потенциальную энергию (см. Ландау н Пятигорский, «Механика», Гостехиздат, 1940, где дано решение втой задачи) отввты и вешания В области х ) 0 собственная функция имеет вид волны, бегущей из металла ф:.= ае>ь', где й =.—.— 3/2!йЕЕ и На границе металла волновые функции ><> и ф, и их произ- водные должны удовлетворять условию непрерывности фп(0) = ф (0), а = Ь+ с, ф,' (О) =- (>>(О), ад =- (Ь вЂ” с) х.

Отношение плотности потока отра>ленной волны к плотности потока падающей дает коэффициент отражения — А~а Г ),>ЕТ ! — 1ГЕ~Я Ь за е+Д/ >, У Е+Ъ'~+ УгЕ / (У Е+ Ге+ ) Е) * Если энергия электрона Е= — О, коэффициент отражения Ил=1 с возрастанием энергии Яз быстро уменьшается: при Е))Ъ'е ' >> 'го' !ба ' В другом предельном случае Е((Ъ'е >то !'е Лля нормальных металлов $'е 10 аа. Прн этом коэффициент отражения для электронов с энергией Е =- 0,1 зв Йв -— — 0,67.

2. В уравнении Шредингера еа + ! / произведем подстановку где Ь = —. 1>' 2йЕ г> пгохождвний чегвэ ялвьвя Йля функции и(3) пол)чим гипергеометрическое уравнение 1(1 — 1)иа ) (1 2Иа)(! ~)и~ хаааа = — О (хо —. ! в)- Решение уравнения (1), которое при х-ь ос (1-+ 0) является конечным и асимптотически представляет бегущую волну се!Ле, имеет вид ф= — сесе р~((х — А)а, --((х+-й) а, 1 — 2%а, — е 4 (=- в'2И (Е+ Ъ'в) ) Ь Лля того чтобы найти коэффициент отражения, необходимо определить вид волновой функции внутри металла (х -ь — оо): Г (1 — 2гаа) Г ( — 2!аа) ф- с...

е!"а+ (- (.+Л)-)1(1-г(а+ ) ) '"*+ Г (! — 2Иа) Г (2Иа) Г( (.— Л)а)ГП+ ( — ) ) Отсюда находим коэффициент отражения Г (2гаа) !' ( — ! О. + а) а) Г (! — Е (х + А) а) а вяз па (х — а) Г ( — 2Иа) Г (! (х — !)) а) Г (! + ! (х — а) а) ! з!Н та (л+ а) ° !- При вычислении )2 надо воспользоваться следующими соотношениями: 1(+ )= Р(), ма ее ' )" (Кх) = Г( — (х). (х — действительное число). При и -+ 0 формула для коэффициента отражения переходит в выражение для )се в случае прямоугольной потенциальной стенки (см. предыдущую задачу).

Легко убедиться, что имеет место неравенство Й ( Йе, т. е. коэффициент отражения в случае плавного изменения потенциала меньше, чем в случае скачкообрааного изменения. а Для и=1А, Ъ'а=10 эв, Д=-О,! эв находим )та=0.235. 72 отпиты и гашения 3. Рассмотрим поток частиц с энергией Е $'е, движущихся слева направо. В области у!! волновая функция представляет собой прошедшую волну С ГЛ хх!2ИЕ Огн =.

Е В области ! имеется как падающая, так и отраженная волны = — е'""+Ае 'а". т) В области !1 общее решение уравнения Шредингера йв — — — (Š— Ч)Ф =-О д а и имеет вид х =-в ° -Ьв, --, и 1 а Коэффициенты А, В,, Вяа С определяются из условий непрерывности волновой функции и ее первой производной. В точке х = О эти условия приводят к соотношениям: 1+А =В,+В 1м(1 — А) == х(В,— В,).

Соответственно в точке х = а имеем: В,е" +В е "а =Се'"", х(В е"а — В е — ха) == ПСе'ла. 1 Из этих уравнений находим: А =- С вЂ” егла (еха — е-" ) =-. С вЂ”." егаа, ьзФ+иа . 2П1 е"а — е *а 41аа 1!а 41Ь. В =-С ° — (1+ — ) егаа "а х .-х В С, (1 ехлаэха 1 г 1а' а 2(, хх! 41л еха (1 ) е-ха (1+ ) Поскольку принятое выражение для падающей волны в ф, имело вид е"', коэффициент прохождения с) = СС'. пгохождение чагез влгьег Вычисление дает: 4лелз Р =--— (аз+ яе)з звята + 4лзхз Отметим, что коэффициент прохождения стремится к нулю при переходе к классической механике, т. е. при Ь-+О.

ля Если ха «1 (т. е. (Гр — Е)дх — ), то выражение 2иаз для коэффициента прохождения принимает более простой вид 2 гзг(Ä— Е) Р= 16 — (! — — )е го "о) Рассмотрим два конкретных примера: а) Электрон с Е=-1 эв проходит через потенциальный а барьер (сп = — 2 эв и а == 1 А. 1!ля Р получаем значение 0,777. б) Пусть теперь на тот же потенциальный барьер падает протон с той же энергией. В этом случае оказывается, что коэффициент прохождения делается исчезающе малым Р=З,6 ° 10 ' . 4. (ае — х.! з1пе ха (' =Г 2ИЕ Г' 2Н (Š— 1'е)) 4аьлл -1- (лт — х=.1 з1пз «а ( и ' Ь Б.

Лля случая Е ( (ге волновая функция может быть полученз из выражения для волновых функций задачи 11 Э 1 изменением знака у Е и (ге. Общий вид волновой функции, относящейся к энергии Е хт ы / Иа Гяа 1 з х'ъ ф = (сЬ вЂ” ) Е( — Х+ —, — Х вЂ” —, — ' — зйа — )+ 2 ' 2' где 4($27 1~ )' Л Коэффициенты с, и са определяются из того условия. что при х — ++-со волновая функция имеет асимптотический вид еелх ОтВеты и Решения Для нахождения асимптотического вида (1) воспользуемся соотношением В(а, 3, т; е)= ., ( — е) Г(а, а+1 — -1, а+1 — р; — )+ г(т)г(Р— а) -а / 1л 16)1(1-1) ( ° ° ° е) +,, ( — )- ф 3+1 †.

+ — ', -). г(т)г( — р) 1л 1' (а) 1' (т — Г) Отсюда находим: гл 1 1 1-гье ~,.„ ф .л ( — 1) г(слАл — сгАг)( — — ) е '"+ 2) +(с,В,— сгВг) ( — — ) е ~~). (2) Г1 Л вЂ” еьа 'те++~ ')(СлАл+сгАг)(2) е е+ +(с,В,+сгВг)(2) е ~~~, (3) где для удобства введены обозначения г(-')г( и ) г(-1-7) г(1+ ~-7) ' г(з)г г( — 1+ ' — '~") г (>. +1 — '~) г(1) г(а~» В,— Г( — Л+ — '") Г (1+ — '+ — 'в) (2) (- +Ф -- )'(1+'+7) рааличие в знаке перед коэффициентом с в выражениях х (2) и (3) .объясняется тем, что вй — функция нечетная и второй член выражения (1) меняет знак при переходе от положительных К отрнцательным значениям х, Ф 21 пгохожданиа чеРез БАРьвг Требование того, чтобы на + со была только прошедшая волна, приводит к следующей связи коэффициентов с,не: саА +саА = О.