Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 8

имеем: 7. Искомая вероятность е зл'у тз = — "— — 0,16. ~ .-з'пу о 8. Волновая функция должна обращаться в нуль при х=О. При х~ О она удовлетворяет дифференциальному уравнению обычного осциллятора. Нетрудно видеть, что волновые функции осциллитора при нечетном п= — 21+1 обращаются в нуль при х=О и в области х .

О дают решение рассматриваемой задачи. Следовательно, Кл=й.(ж+;,') 1й=О, 1,а ...) 9. — — — —,~ а„(р) = Е„а„(р), (, '';-) - =.- де Нелйз Зв1 Р / 1О. Исследование поведения при х-+ из решения урав- нения Шредингера показывает, что ф имеет асииптотический вид ф — ехр( — ,"), где $ †нов независимая переменная х2. М2р.Ъо При х-+0 ф пропорциональна Р, где ч = — ~)/ — -1- 1 + 1) . бб ОтВеты н Решвния Делаем подстановку Ф = ""1""п(1) и получаем для и(1) следуюплее уравнение: 1иа+ ~«+ — — 1) и — ~ — + — — ~ а = О. (1) 1 т, г «1 ра (Е+ 2«г)1 2 4 2й )Г2р(гг Уравнение (1) есть уравнение для вырожденной гипергео- метрической функции и обпцее его решение имеет внд 1 1 3 и (1) = с Р Га, «+- —, 1) -1- с,.Р~ а — «+ —, — — «, 1) 1г 2'2 где через а обозначено выражение в квадратной скобке в уравнении (1).

Из требования ограниченности ф(О) вытекает с, =-- О. Кроме того, надо потребовать, чтобы волновая функция при х — ьсо убывала, т. е. чтобы функция и(:") сводилась к полиномам. Этого можно достигнуть, полагая а= — — и (п = О, 1, 2, ...), откуда находим уровни энергии Таким образом, энергетический спектр (при соответствуюшем выборе начала отсчета энергии) такой же, как у осцилляГа(; тора с циклической частотой ы = у —, Интересно от- У рг' метить, что нулевая энергия частицы для потенциала /а к1г $;( — — — ) всегда превышает нулевую энергию соответ- 'Ь .) ствующего осциллятора.

Волновые функции имеют вид гаек. =е х'е ~' гг'а" "ь ( — ц, «+ — р ехг) где « — — — у' + 1+ 1), а постоянные с„могут быть найдены из условия нормировки. 88 ОтВеты и Решения Для того чтобы волновая функция ф=(сп — ) и обращалась в нуль при х-+-!-со (г — ь — со), гипергеометрические функции в выражениях (2) и (3) лолжны сводиться к полиномам.

Это условие означает, например, для и„ что либо Л вЂ” х, либо Л+к являются целыми неотрицательными числами. Однако второй случай должен быть отброшен, так как при этом волновая функция при х -+:+-оз экспоненциально возрастает. Итак, получаем л — а = и (Ф = О, 1, 2, ...) и уровни энергии АналогычР!о этому для выражения (3) находим, что условие конечности волновой функции при х †Р-~-со выполняется, если Л вЂ” а — — =1 (1 =- О, 1, 2...,) 1 2 откуда Объединяя эти выражения, находим: 2 [2 У 1а + ( +2)] (н ==- О, 1, 2, ...). Число дискретных уровней равно наибольшему целому числу М, удовлетворяющему неравенству И( 1 а+1 1 /ар~, '- 21! йа 2' Отметим, что полученный спектр энергий совпадает при соответствующем выборе параметров со спектром для потенциала Морва (см.

Вадачу 1! й 8). 12. В волновом уравнении . ла ль!, у — — — — ( — 1 с(а — Х1! =О 2ила 1 а $1) 59 одном ванов движвнив сделаем подстановку ф = (а1п — х) и. Полагая приходим к следуюшему уравнению для и: аии а зх аи 4чд — — 4 — Л с!и — — + — '(че — Ле) и = О. але а а ах ае Введением независимой переменной их в = сова — ' л л(1 — з).— + ~ — — (1 — 2Л) г1 — „+(чз — Ла) и =- О.

(1) Сравнивая с общим видом гипергеометрического уравнения аэи а'и г (! — л) — „я+ [у — (а+ р+ 1) г) — — ари = О, находим параметры: 1 — и= — ч — Л, р=» — Л. 2 ' Уравнение (1) имеет два решения. Одно отлично от нуля и конечно при а=О соответствует х = †! 2) 1. и =Р( — ч — Л, ч — )„—. 1 — ( 2 из этих решений (этому значению Другое решение и,= угвР( — ч — Л+9-, ч — Л+ —, ~, «) 1 1 3.

обрашается в нуль прн в=О (х = — ). Чтобы определить а! поведение решений при а= 1 (это значение соответствует последнее уравнение приводится к гипергеометрическому отвкты и гашения двум значениям х = О, х= а), воспользуемся соотношением Р(а, 'р, у; г) =(1 — л) "Р(а, ( — р, у; — ). Для и и и получаем: и,=(1 — в) Е~ — т — Л, — я+Л+, —; — — ), (2) 1 и.=-Ма(1 — л) ' Х Х Е( —, — Л+ —, — +Л+1,; — ).

(3) 1 3 г 2 ' 2'з — -! )лля того чтобы выполнялось условие обращения в нуль волновой функции ф при х=. О и х =. а, необходимо, чтобы л ряды по степеням — содержали конечное число членов. — 1 Гипергеометрнческий ряд в выражении (2) для и, обрывается, если либо «+Л вЂ цел положительное число нли нуль, либо 1 ч — Л вЂ” — — целое положительное число илн нуль. 2 Однако условию ф==-О при х=О. х=-а удовлетворяет только второй случай т — Л вЂ” — =й (А=О, 1, ...), 1 2 Уровни энергии при этом Еь —— - 1(2й+ 1)'+ 4(2А+ 1) Л вЂ” 2Л) — '.

(4) Аналогичное рассмотрение выражения (3) показывает, что уровни энергии определяются условием т — Л=-1 (Х= 1, 2, 3, ...). (5) Выражения для уровней энергии (4) и (5) могут быть объединены Е„= — (и'+4пЛ вЂ” 2Л) — "-, (п=.-1, 2, 3,....). При этом нечетным значениям п соответствуют волновые функции ф =-с 1з1п — ) Е( — — — 2)„—, —; сова — ), Одномеэноз дзижвнив а четным и соответствуют Г . ах! м ях ф =с Б!и — ) соя М а) а а ! а Х Г( — — — 21,+ —, — + —, —; созе — ).

2 '. 2' 2 2' 2' а)' Нормированная волновая функция основного состояния , / .г(2х+1) (,1и ) '" Р~1) )у „ $ аг 12) г 121+ 2) Рассмотрим предельный случай Ре-ь О. При этом задача сводится к задаче с частицей в потенциальном ящике (см. задачу 1, й 1). Величина Х обращается в нуль и для уровней энергии получим, как и следовало ожидать, значения етлв Е == — 'гР.

2пав В противоположном случае Х)~ 1 для низших уровней (а(~Х) Е„=- Зы (~ + — ) (а =- 1, 2, ...), 1т где Этот же результат можно получить, разлагая потенциальную энергию вблизи точки х = — и ограничиваясь квадра- 2 тичными членами. 13, В рассматриваемом случае имеется только непрерывный энергетический спектр и собственные функции невы- рождены. Перейдем в уравнении Шредингера ьа пеь — — — ' — [Е+Ех).) =О 2а ахэ от координатного представления к импульсному; получим: — а(р) — Еа(р) = Иà — а(р). рв .

а' 2а йр ответы и гвшвнйя рещение этого уравнения, принадлежащее собствейндму зна— зе "6 ег нению Е, ал(р) =-се "~'"г ' представляет собой волновую функцию в импульсном представлении. Произведем нормировку функций а(р) на е(Š— Е'): У а* (р) а, (р)с1р =. й(Š— Е'). т. е. г -' — "1к-я"1 ар = сс"2кйг"й (Š— Е'), откуда 1 с==. Г' 2кБР Волновая функция в координатном представлении з со е ф(х) == ~ е з г1и= — ~ соз( — — щ)аи. 2е ф'Р, в ур . '13 д=(х+ — )а, а=(ф Этот интеграл можно выразить через функцию Эйри Ф(д): Ф (Ч) = — ~ соз "— + иг11 г1и, ф (х) == —" Ф ( — а). о 14.

Оператор Гамильтона при данном потенциале имеет зид д а 1 1 зае 1 -заев , Н = р'+ — Ъ'ее ее+ — Ъ'ое ал 2м 2 е 2 0 Так как „е е ела(р) =а(р+ И), то уравнение Шредингера будет представлено в виде уравнения в конечных разностях 1 — рта (р)+ — 11еа (р+ ал)+ —, Ь;а (р — И) = Еа (р). 1 1 2и $11 63 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 1б.

Волновая функция в области ямы Ос.,х(а имеет вид ф=-с еых+с е-$чх х =— )гф.Е 1 2 ~ 1 а в области барьера — Ь(х~ О ф= с е™ +с е-", х = '«~2Р (Š— Р ) 3 в— Так как 6(х) = сопв1 ° ф(х+1) (сопв1 равна по модулю единице, 1 = а+Ь), то в области следующего барьера а < х < (а+Ь ф = е1а1(све1М1е-о+с е-'" <е-й). Из требования непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках к=О, к=а получаем четыре уравнения: с,+с,=-с +с, с,е'*"+ с,е-'"" =- ееы(с е-1*в+ с егчь), х, (е, — с ) =- х (сх — с ), «,(С,Е'Еи — Су-™й) =.. (С,Е '"'" — С Е1 ") Е™. Эта система имеет нетривиальное решение только тогда, когда' х +« сов й1 = сов х1а ° сов «. Ь вЂ” — в1п х,а ° ып «ЕЬ.

(1) 2хсхх Исследуем два случая: а) Е С (ГО. хе †мним величина. Введя обовиачение х = — 1х, перепишем уравнение (1) в виде х — х сов И =соек а ° сйхЬ+ в)их,а ° вй «А (2) 2х1х 64 О'гввты и Рвшвиия Таким образом, разрешенные зоны энергии определяются из соОтношения 2 2 к — х — 1 ~созх,а ° сихЬ+ — з)пх,а ° зп хЬ ~1. ,$и Для выяснения общих закономерностей в расположении раз- решенных зон рассмотрим предельный случай "',"" Ь«1, .»Ь, В«1,. Введем обозначение —, аЬ =- Т.