Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 6

Справедливость соотношений взаимности нарушается, если между потоками или силами существуют зависимости. Это обстоятельство необходимо учитывать при составлении баланса энтропии и выборе сил и потоков. Дальнейшие упрощения в матрице феноменологических коэффициентов основаны на использовании свойств пространственной симметрии континуальной среды. В этой свнзи система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно ряда ортогонвльных преобразований координат (принцип Кюри).

В случае изотропной среды применение операций инверсии и враьчепия к системе (2.1) указывает на сохранение при преобразовании связей лишь между потоками и силами одной тензорной валентности. Это означает, как было Глава 2 показано де Гроотом и Мазуром, обращение в сферические тензоры феноменологических коэффициентов в линейных законах, записанных применительно к изотропной среде: (2.11) (Рй+~ 'Ул У(У 'У))х— (а(У, Х) — 4 (У..У) ) х — — глах, (2.12) (2.13) д(О(У,Х) — Ф(.У,.У)) = О, б.У ~ О, где Ф(.У,.У) — потенциал рассеяния (2лб) в энтропийном представлении, выраженный через потоки. Экстремум, определяемый (2.12), может быть только максимумом в силу положительной определенности где ЕУ вЂ” единичный тензор; У, сьаляр. Положения (2.1) — (2.10), отмеченные вьппе, составляют линейную феноменологическую теорию необратимых процессов Онзагера.

К этому необходимо добавить, что совокупность законов сохранения энергии, массы и импульса н баланса энтропии вместе с линейными феноменологическими уравнениями, условиями, вносимыми соотношениями Онзагера и принципом Кюри, и эмпирическими уравнениями состояния можно считать полной в том смысле, что из нее следует полная система дифференциальных уравнений для переменных состояния среды. Наряду с отмеченной существует и другая формулировка линейной термодинамики необратимых процессов, в основу которой положены вариационные принципы и аппарат континуальных уравнений Эйлера — Лагранжа (9 — 12]. Первый вариационный принцип линейной термодинамики необратимых процессов был установлен Онзагером (1]. Этот принцип, названный принципом наименьшего рассеяния энергии, утверждает экстремальность некоторого локального функционала, записанного в представлении варьируемых потоков .У при постоянстве термодинамических сил Х в следующем виде: 6( — У)х = ~„~Хь — ) 6Хь = О 6Ль ф О.

(214) дФ '1 2.7,,] Другая форма принципа Онзагера была установлена Дьярмати (9] для локального функционала, записанного в представлении варьируемых термодинамических сил при постоянстве потоков: 6(Р— С), = '> ' ~.1; — ~ 6Х, = б, 6Х, ~ б, (2.1б) / д6'1 ох,,] Обе альтернативные формы вариационного принципа Онзагера (принципа наименьшего рассеяния энергии) в силу произвольности вариаций эквивалентны линейным законам и соотношениям взаимности Онзагера (2.1), (2.7). Впоследствии обе формы принципа наименьшего рассеяния энергии были объединены Дьярмати (в] в одном вариационном условии: 6( — ж — а( = О, (2.16) где варьирование в равной мере может осуществляться и по силам, и по потокам. Таким образом, принцип (2.16) утверждает экстремальность локальной функции (Π— й — С), известной как функция Онзагера Махлупа, и содержит все положения линейной термодинамики Опзагера: 6( — .в — С) = ~ ~Х, —, ~ И'„=О, дФ'1 д.Уь ) (2.17) А-1 Ь-1 ьу = 1ь: производства энтропии и потенциала рассенния.

Варьируя по потокам с учетом (1.20),(2.5), условие (2.13) можно представить в виде тйава 2 Другая запись принципа (2.16) возникает, если потенциалы рассеяния (2.4), (2.5) взяты не в энтропийном, а в энергетическом представлении С* = ТС, Ф* = ТФ, а производство энтропии В заменено диссипативной функцией 6 = ТВ.

Наряду с локальной формой принципа наименьшего рассеяния энергии (2.16) Дьярмати была дана и его интегральная форма для континуума в виде +'+1т..т,-С Ф)Л =Вт~(В-С- Ф)Л =О. (2.1О) '1астная форма интегрального принципа (2.19) возникает при рассмотрении необратимых процессов в адиабатически изолированных систеМак, ГдЕ ) т .т,Л' = ) .тз д() = О И ) ВИЪ' = ) МЪ': — Х, И СЛЕдОааи и и 1 тельно (рй — С вЂ” Ф)г(Ъ' = / ( — С вЂ” Ф)ДЪ' = шах, (2.20) В~( — С вЂ” Ф)ог' = О при / рЫЪ' = ~В4К (2.21) Еще одна важная форма интегрального принципа (2.19) возникает при рассмотрении стационарных необратимых процессов в открытых системах, когда параметры состоянии не зависят от времени и полная энтропия системы остается постоянной, т.

е. ) а ВЪ = О и уст .т,л = твл; (2.22) )'(~т .т, — С вЂ” Ф)Л' = ) ( — С вЂ” Ф)Л' = шах. Этот интегральный принцип Онзагера для стационарных процессов приводится к более удобному виду, если, используя теорему Гаусса., учесть, что ~..т„л'= ~.т„.ВЫ =: и, следовательно, /' С«Н' = пггп, б ) СМЪ' = О, бХ ф О, (2.23) ) Ф(Л1 = пйп, д ) «РЛ' = О, д,У Ф О, (2.24) М + 4')'«~ = глггч 4М+ ~)'Н' = О' (2.25) Этн принципы минимума прн фиксированном значении интегрального потока энтропии на граничной поверхности системы определяют распределение потоков и сил в стационарных необратимых процессах.

Интересно, что принцип минимума (2.24), сформулированный как условие минимума потенциала рассеяния, был первой формой принципа Онзагера! определенной им как принцип наименьшего рассеяния энергии. Независимо от принципа Онзагера для стационарных процессов был установлен другой весьма плодотворный принцип термодинамики необратимых процессов принцип минимума производства энтропии.

Его перван формулировка для прерывных систем принадлежит Пригожину и известна в виде следующей теоремы ~4]! если система поддерживается в состоянии с постоннными силами Хг, Хз,..., Хь(й ( гя), то минимальное производство энтропии !В=шш, бО=О ~2.26) отвечает состоянию. в котором потоки с номерами й + 1., й + 2!..., т исчезают. Альтернативная формулировка принципа состоит в утверждении: в стационарном состоянии., совместимом с внешними ограничениями, производство энтропии в системе минимально, если выполняются линейные законы Онзагера, соотношения взаимности, а феноменологические коэффициенты постоянны.

В случае непрерывных систем формулировка принципа Пригожина дается как обобщение (2.26) иа «языке! локального производства 42 Глава л энтропии: вв 0(Л' ~ ~ЛвхьВЪ' = ш1п, В/ 0(Л' = О. (2.27) ь=з и Таким образом, производство энтропии обладает экстремальным свойством в условиях стационарных состонний системы, вызванных фиксированными граничными условиями. Предельным случаем стационарных состонннй явлнется, как известно. равновесное состояние системы, где производство энтропии равно нулю, а сама энтропия максимальна, Сравнивая формулировки принципов минимального производства энтропии (2.27) и наименьшего рассеянии энергии (2.23), (2.21), легко убедиться, что оба принципа взаимосвязаны.

более того, принцип Пригожина являетсн лишь эквивалентной формой принципа Онзагера на основе энтропийных представлений. Эта связь была впервые отмечена Дьярмати (9). Плодотворный вариационный принцип линейной термодинамики, известный как принцип максимальной скорости порождения энтропии (максимальной скорости работы диссипации), был предложен Циглером (111. Он также сформулирован в двух альтернативных формах в представлении через потоки и силы, Так, формулировка принципа в представлении потоков состоит в утверждении, что функционал (в(.т, х) — л'г(л, х) ) имеет экстремум при варьировании по потокам .т при постоянных термодинамических силах Х: в(в(л, х) — л'г(л, х) ). = О, (2.28) и дополнительном условии Г(Л, Х) = 2Ф(Л.,Л) — 0(Л, Х) = О, где Л' — неопределенный множитель Лагранжа.

Альтернативная формулировка принципа в представлении термодинамических сил имеет вид В(В(.т. Х) — ЛаГ'(.т, Х)) = О., (2.28а) Е'(.Х, Х) = 2С(Х, Х) — 0(,Х, Х). Принцип (2.28), (2.28в) эквивалентен линейным законам и соотношениям взаимности Онзагера.

Обобщение интегральной формы принципа наименьшего рассеяния энергии (2.19) при варьировании по силам в свете полевой теории способствовало установлению глобального интегрального вариационного принципа термодинамики необратимых процессов, сформулированного Дьярмати [9]. Этот приициц утверждает экстремальность так называемой термодинамической функции Лагранжа Ы системы: .К= з~(рй — С)Л' = / х"~Л' = шах, (2.29) о / (рй — С)Л' = О. Экстремум функционала 2' реализуют уравнения Лагранжа— Эйлера — = 0 (й = 1,2,...,т), (2.30) д.У' д д У' даь д»'л д(ам»(дгд) где х : — рй — С вЂ” термодинамическая плотность лагрвнжнана, представляемая как разность между лкинетической» частью рл, содержащей скорость изменения энтропии л. и потенциальной частью С, рассматриваемой как потенциал рассенния в представлении термодинамических сил.

Варьирование в (2.29) осуществляется при постоянстве потоков по интенсивным параметрам оь состояния системы, градиенты которых доь[дгд являются термодинамическими силами. Условие постоянства потоков означает обращение в нуль вариации доь, и по этой причине в (2.29), (2.30) отсутствует вариация параметра аь. В этом заключается основное различие между формулировками интегрального вариационного принципа Дьярмати и обобщенного принципа Гамильтона ) [ У»ДГ й = 0 для непрерывных сред, где »» .'с = с (с»ь.аь, -ок —,г,1) — - плотность функции Лагранжа: аь - по< ° доа Зт ' левые переменив»е, (с = 1,2,...,т;г,1 радиус-вектор и время.

Глава 2 Принцип Дьярмати весьма продуктивен в прикладном отношении. Он позволяет получить систему динамических уравнений переноса в форме уравнений Лагранжа . Эйлера длн плотности лагранжиана х'. Иной подход, используюший лагранжев формализм в линейной термодинамике необратимых процессов, был также развит Ьио (8). Он базируется непосредственно на принципе Гамильтона в представлении обобщенных координат а и обобщенных скоростей о: 6~Ща,аДЛ1 = О, У— : Ело, — (1, (2.31) и и уравненинх Лагранжа — Эйлера, реализующих экстремум (2.31) с учетом диссипативных и внешних сил в предположении, что силы инерции несущественны (Еы = О); дог дФ + .