Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 4

Считая, что полнан энергия при необратимых процессах сохраняется, т. е. д»ре = -27 ,У,, найти уравнение баланса внутренней энергии ри для элемента объема неполнризующейсн системы, содержащей внзкое движение среды, перенос тепла и массы в электромагнитном поле и поле сил., связанных с гравитацией и вращением системы (Рь = я' + и»зт + 2[или»)). Использовать ответы к задачам 3, 8, 9, 10.

Ответ. д»(ри) = — 17 (.Ду + рии) — Р: 17и + 2и» ° 2Ро+ +7 ° (Е+с ЦюН)) + 2 .Ун ° Еы Прнмвчлнив. Это уравнение вьц>ажает первый закон термодинамики в локальной форме и указывает на то, что внутренняя энергия при необратимых процессах не сохраняется. Источник внутренней энергии определен работой вязких снл, диффузионным переносом массы во внешних полях и количеством удельной электромагнитной энергии, превращающейся во внутреннюю энергию. 12.

Построить выражение первого закона термодинамики в локальной форме для элемента объема полнризующейсн среды. Следуя Глава 7 условиям задачи 11, считать, что полная удельная энергия и ее поток в системе определены в виде (без учета энергии внутреннего вращения) ре = р~о- + ~(Ег + Вг) + ри + с 'Е' [иМ') — М' ° В, г уз = Р о + с~ЕН) +.7гг+ рии + р~~-ив — (Р' Е+ М' В)и. Уклзлпиь. Использовать локальный баланс кинетической энергии (решение задачи 9 без учета гравитации и вращения), выражение (1.17) для силы Р = р ' ~ рьРь, действующей на единицу мессы поь=г ляризованной среды, и локальный баланс энергии электромагнитного поля (решение задачи 3). Ответ.

дг(ри) = — т ° (.юг + рио) †.Р: чи-ь +7' ° Е'+ Е' й~Р'+ В' ° ВАМ'. 13. Найти условия, накладываемые на систему и внепшие поля, при которых локальный поток внутренней энергии, определенный как .7„ :— ,7~7 — х ~7гь.7ь, где .юг — тепловой поток, Ьь,.7ь — удельная ь=г энтальпия и поток Й-го компонента, ипвариантен к выбору макроскопической скорости движения элемента объема среды.

Использовать выражения полной удельной энергии и ее потока, введенные в задаче 11, и результат обсудить. Рншннии. Используя онределенин в,,7, и заков сохранения полной удельной энергии дг(рв) = — 17 ,7,,можно найти — ~7 ° (А7+ рии) = дг р~- + дг(рд)+ +~~Ого'+Н)+д Ьи)+ 17 (Р )+ +17 ~ дь.7ь + ~7 с ~)ЕН) + 17 р-2-и + Я(р~ри). ь=1 25 дд Законы сохранения С учетом балансов потенциальной энергии (задача 10) и энергии электромагнитного поля (задача 3) преобразуем это соотношение к виду — ~7 ° (.Уе1 + Рпо) = де Р~- + 17 Рг2-о + де(Ри)— и — 1 Ь' — 2 рьрянь + 2 2 иьрояые+ ч (Р о).

я=ге=1 Определим, далее, удельную энтальпию системы 6— : ~~~ рябь = рн+ р, ь=1 / и где р "- давление. Следовательно, я' (рио) = и' ° ~ 2 рьнь — р о = я=1 и и Ььрянь — '7 ° ~ ЬяА — ~7 ° (ро). я=а я=1 В качестве следующего епага исключим слагаемые, описывающие локальное изменение кинетической энергии и ее конвективный перенос, используя соотношение д, рр2- + ~7 рр2-и = 2 ряРл — ~7 ° Ф . о = Е рьгь — у Р— чр я=1 возникающее после некоторых преобразований из совместного рассмотрения балансов импульса (1.4) и массы (1.2в).

В результате оказывается и — ~7 .Ур — ~ ЬяЛя = — ~7 -.У, = (рная — '7р) ° н — ((Г ° Р) ° о + ~7 (Р ° о)+ и и +д, ~ б,р„— д,р — 1.Я вЂ” ~. р,Р„.оь+ ь=з ь=1 и и +ч ' Е Ряпаоь 2 Х оьсйеоч. я=г е=1 Глиии 1 Наконец, используя соотношения ~7 (Р ° е) = о (17 Р) +Р1~7а, "7 (РьЬьгь) = 1сьЛ Рьоь+Рьоьт~Ьь, дс(рьМ = Радеть+ 11ьдсрь, п С Е 1сьссдсрь + !7 1РС пь)) = ~ , 'х, Рьсйьсис, !=С 1=1 окончательно находим Этот результат дает представление потока внутренней энергии .7„ в системе центра масс.

При переходе в другую систему характеристических скоростей отсчета правая часть этого выражении меняется. Однако можно видеть, что в частных условиях, когда рьРь = ~р, ~о = йоо Ь=1 патасс,У не зависит от характеристической скорости. Первое условие, в соответствии с выражением баланса импульса (1.4), требует механического равновесия системы.

ПРИЫЕЧИИИЕ. Эволюция необратимых систем включает этапы установления механического и термодинамического равновесий. Как известно, система находится в механическом равновесии, если в пуль обращается сумма всех сил и сумма всех моментов сил, действующих на любой элемент ее объема. Первое условие означает отсутствие в системе поступательных компонент — Аи = тх ссрьРь Ь=1 + Е Рьоь уяь ь=1 — ~р) о+ Р:~7е+ ~ рьдсйь+ Ь=1 — дср — Х Ж вЂ”,) рьуь юь+ Ь=1 С иьсиссс Ссь — срл). 1.1. Зинины сохранений ускорения, а второе — вращательных компонент. Кроме того, существует целый класс практически важных систем, для которых в условиях равновесии в нуль обращанзтся также и градиенты скоростей, а следовательно, и вязкого тензора давления. В этом случае уравнение механического равновесии, как следует из выражения баланса импульса (1.4), отвечает соотношению ~р=,~ рйЕ'й; й=з которое широко использовалось Пригойкнным длн исследовании многокомпонентных термодинамических систем (4].

При этом считалось, что время установленил механического равновесна, описываемого предыдущим соотношением, значительно меньше характерных времен термодинамических процессов. В частности, для таких медленных процессов., как диффузии. теплопроводность, термодиффузин, медленные химические реакпии, молйно считать, что механическое равновесие, по Пригожину, устанавливается к моменту начала этих процессов. Разумеется, это положение носит приближенный характер и выполняется тем точнее, чем медленнее развивается исследуемый процесс. 14. Доказать соотношение ~~'й,,дй((~1йй)т — Рй) = О й=й для системы, находнщейсп в состоянии механического равновесия, описываемого условием и рйв'й = з1Р й=й 15. Для закрытой и-компонентной прерывной термодинамической системы.

состоящей из двух подсистем (а = 1.2), обменивающихся массой и зарядом с участием химических реакций, вывести 28 Гливи 1 соотношения г)~тй = О сйо й=1 2,' 1й = 2 Г1ййннйи = О и=1 а=1 1 и 2.' нй, = — 1, й=й й=к-~-1 (а = 1,2), (к = 1, 2,..., и), нй; = 1, (1 = 1, 2,..., 1). Укйзлпик. См. соотношения (1.7), (1.8). 1.2.

Принцип локального равновесия. Баланс энтропии Пгимкчйник. Идея о локальном термодинамическом равновесии была впервые высказана Пригожиным и оказалась весьма плодотворной в развитии термодинамики необратимых процессов. Разумеется, не всякая неравновесная система локально равновесна, но можно утверждать, что в локальном равновесии находятся те макроскопически неравновесные системы, в которых скорость изменения макроскопического состояния значительно меньше скорости любого элементарного процесса, определяющего микроскопическое состонние системы.

В частности, для процессов теплопроводности это общее утверждение соответствует условию (ЬТ/Ьк) (( Т(т., где ЬТ вЂ” макроскопическое изменение температуры за время Ь1: Т вЂ” средняя температура; т --. времн элементарного процесса, оказывающего основное влияние на установление равновесия. Аналогичное условие можно записать и для неравновесных стационарных процессов: (ЬТ(Ьх) (( Т(Л., где ЬТ вЂ” макроскопическое изменение температуры на расстоянии Ьх: Л вЂ” длина свободного пробега частиц в элементарном процессе, ьонтролпрующем установление локального равновесия. 16. Дать обсуждение применимости принципа локального равновесия к макроскопически перавновесным системам и указать на возможные ограничительные критерии. КК. Принцип локального равновесия.

Баланс энтропии 29 На установление локального равновесии оказывают влияние не только столкновительные, но также и излучательные процессы в системах, особенно в газах цри высоких температурах. Как известно, в условинх равновесия эти процессы, идущие в прямом и обратном направлениях, должны быть скомпенсированы. Однако излучательные процессы скомпенсировать значительно труднее, ибо действующие градиенты температур обусловливают локально нескомпенсированный поток излучения в округкаюшую среду. Следовательно, локальное равновесие устанавливается лишь тогда, когда частота столкновительных процессов намного превышает частоты излучательных процессов, обусловливающих те же изменения состоянии системы.

17. Является ли область электрического разряда с поперечными размерами 1 см и температурой на оси 10 К локально равновесной, если свободный пробег, оказывающий основное влияние на установление термодинамического равновесия в системе, ограничивается столкновительными процессами атомов с электронами и при атмосферном давлении имеет порядок 10 з сму 18. Считая, что понятия локальных внутренних параметров термодинамической системы определены, доказать справедливость соотношения Гиббса ди = Т 'с)и — Т срс1и — Т с 2 рьс1ся для неравновесь=1 ного состояния, лежащего в окрестности равновесия. Ршцкпик.