Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 3

Последующее сравнение результата с (1.6) или (1.12) определяет явный вид выражений потока и производства энтропии. Так, для непрерывных систем 16 Глава 1 0 = -Т-'Дг) - ЯТ вЂ” й Ль Я ~(~Т" ) — Т-' Ф Л— Л=1 — Т '2 А(61~1+Т ' 2 Лл ° [61[Е+с 1[елН[)+ 1=1 Л=1 +й+ызт+2[оль2[) > О; [1.14) для прерывных систем [1.16) [1.16) Для описания непрерывных систем, поляризующихся в электромагнитном поле, вводятся два дополнительных параметра состояния — векторы электрической и магнитной поляризации [на единицу объема): Р = .Π— аоЕ = эг Е, В = а ° Е, М=Š— доо=Х ТТ, где [112 Е), [Ю,.Н) — индукции и напряженности электрического и магнитного полей; аоыао электрическая и магнитная постоянные; ж, т -- тензоры электрической и магнитной восприимчивостей: е = соГ+ 2г.)2 = РоЕТ -Ь 2( — тензоРы злектРической и магнитной проницаемостей.

Если отмеченные величины измерены в системс, движущейся со скоростью о, и обозначены штрихами, то в нерелнтивистском случае можно записать 17 Р =Р— с [оМ[ В' = Р + с» [оН'), Е' =.Е+ с ~[еВ'[, М М + с» [ и Р ) В' =  — с '[оЕ'), .Н' = Н вЂ” с ~[~В'). При этом в выражение производства энтропии [1.14) добавляется два слагаемых, обусловленных электрической и магнитной поляризацией среды [5): Р = — Т Л ° тт — Т ~ .7л ° (ТК ® — д Е')~— »=1 — Т '4» Ро — Т ' ~: А«АЬ вЂ” РТ '«1»Р' [Ео — Е')— «=» рт-'г,т' [В<, — В') >0, [1,14а) Р» = дл[Е'+ с»[олВ')) +»Е' р'»+»В' т'ь+ +с»17о[[р',В'[ — [тдЕ')) + с ~ «1«~р',Вг — с»«1,[тдЕ'1, [1,17) где р' = ~ сьрю т' = ~ с»тпл, сь = р»/р, »=1 л=» где р' = р 'Р', т' = р»М' удельные [на единицу массы) электрическая и магнитная поляризации; индекс «О» отмечает равновесные значения напряженности электрического Ео и индукции магнитного Во полей.

В частном случае покоящихся систем [е = О) в выражении [1.14з) штрихи можно опустить. Сила. действуюшан на единицу массы поляризуюшегося й-го компонента системы, есть Глиии 1 а градиент химического потенциала соответствует представлению Ярь = — эьЯТ+ пьер — с~Е' ° р'ив — 1~Е' ° пт'ь + ( и11ь)тр,и,и, (1.18) где эь, оь, тп'1, р'ь — парциальные удельные энтропия, объем, магнитная и электрическая поляризации. Соответствующее уравнение Гиббса — Дюгема длн поляризующейся среды есть рь1~рь = — рэ иТ+ чр — чЕ' Р' — члз' ° ЛХ', (1,19) (1.20) где кч — число сил (или потоков), действующих в системе; (.) — ократная свертка; 11 --- ранг тензорной величины.

Наряду с энтропийным й используетсн и энергетическое ф описание рассеяния в необратимых процессах: 1р = Тд = ~~~ .7'1(.).Х' > О, Ф = ТО = ~~ Х'-Х' > О, (1.20а) 1=1 1=1 где ф, Ф вЂ” диссипативная функция, названная по аналогии с релеевской функцией рассеяния в механике. Практически оказывается удобным использовать энтропийное представление для анализа неизотермических систем, а энергетическое длн изотермических. где э = 2 сьэь -- удельная энтропия.

1=1 В представлении обобщенных потоков .71Ч и обобщенных сил Хз производство энтропии (1.14), (1.14а), (1.16) имеет характерный вид билинейной формы: КАК Закипи созриненил 1.1. Законы сохранения ййз = дйз+о Умножая это выражение на р = ~ рй и преобразуя, находим й=З Рдиз = Рдйз+ Ро. "Уз = Рдйз + ~ Рзо — з~ Ро. Далее суммируем закон сохранения массы по всем компонентам сис- темы и результат умножаем на величину йч здйр = — а~7 (ре). Совместное рассмотрение двух последних выражений дает искомое балансное соотношение Я« ='А(рз) + С'. (Р ).

2, Вывести локальный закон сохранения электрического заряда д~(ро) = — и ° 1, используя уравнение локального баланса массы в виде д~(рй) = — т рйой. Записать этот закон в субстанциональной форме, используя решение задачи 1 и представление 1 = рое + т', где агар Е Рйдй, и=1 Р= Ер и=1 =— Р 'Ерй й=й ,7 — = 1 Чй 1й~ и=1 1= 1 рйойой, и=1 1й - =Рй(ей — о). 3. Построить закон сохранении энергии электромагнитного поля в элементе объема среды без учета поляризации. 1.

Построить балансное соотношение для произвольной термодинамической величины з в характеристической системе скоростей отсчета, базнрукйгдейся на скорости центра масс о = р ' 1 рйой, ней=1 пользуя закон сохранения массы в форме д~рй = — ~7 (рйой), где рй, ой — плотность и скорость Й-го компонента системы. Ркшкник. Запишем субстанциональную производную от величины з: 20 Слава т Ркшкннк. При отсутствии поляризации среды напряженности Е,.Н и соответствуюшие индукции О., В электрического и магнитного полей совпадают и уравнения Максвелла имеют вид '(7 Е = ро, деЕ = с [т7Н) — 1., ~7.

Н = О, с)~Н = — с [~7Е~. Умножая скалнрно второе уравнение на Е, а четвертое --" на Н, легко найти д~(Еа/2) = с ~КН[ ° Š— 1 Е, д,(На/2) = — с [~7Е] .Н. Складывая эти выражения и учитывая, что ~7 ° [НЕ) = — [~7Н) ° Š— [еЕ) Н, приходим к необходимому результату де(Е +Н )/2= — ~7 с[ЕН[ — 1 Е, где (Ее+На)/2 плотность энергии электромагнитного поля; с [ЕН) — вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова — Пойнтинга); 1 .Š— работа, производимая электрическим полем. 4.

Используя уравнения Максвелла, найти локальный зеков сохранения плотности импульса электромагнитного поля с ~[ЕН) в среде без полнризации. Ответ. с 'д,[ЕН) = 17 Т вЂ” роŠ— с ~[1Н~, Т = ЕЕ+ НН— 1/2(Ез + Хз)17 "- тензор натнжения Максвелла. 5. Считая, что полный импульс вешсства и поля в элементе объема среды сохраняется, т. е. г),(ри + с е[ЕН)) = — е (Р+ рии — Т), найти уравнение баланса импульса для элемента объема среды в электромагнитном поле (см, задачу 4). Ответ.

д~(ри) = — ~7 (рии + Р) + рйЕ + с ~[1Н). 6. Разложить тензоры давления Р и градиента скорости ~7и на скалярную часть и симметричную и антисимметричную тензорные части; записать результат двойного скалярного произведения этих тензоров. Ркшкник, Р = рЮ+ 4 = РСг+117+ р" + 4', ~и = —,'(~. и)0 + (~и)' + (~7и)', Р:~7и = (р+ о)~7 и + Ф': (~7и)" + Ф': (~7и)', д = Яр Ф; р — гидростатическое давление; Ф", Ф' — симметричная и несимметричная части внзкого тензора Ф; (~7и)', (~7и)' = (1/2) [Х7и) 21 1. Е Заколет еохриненин — симметричная и несимметричная части тензора градиента скорос- ти. 7.

Найти уравнение баланса внешнего М' = [то[ и внутреннего М'— : Ло моментов количества движения для элемента объема среды, используя баланс импульса [1.4) и баланс полного момента количества движения [1Ла). РЕШЕНИЕ. Баланс полного момента количества движения М = М' + М' есть рт1тМ = — 17 . 1[ Р]+.7, ) + р[тР1 Уравнение баланса для М' легко найти, умножив векторно слева на т уравнение баланса импульса вещества [1.4) р4 М" = — 17 ° [тР) + р[тР) + 2 йт", где использовалось векторное соотношение [т7 Р) = 17 [тР) — Р [7т[ = 17 [тР) + Р— Р и введены обозначения: Р— транспонированный тензор давления; Р— Р = 24т' --- антисимметричная часть вязкого тензора давления йт.

Баланс внутреннего момента количества движения находится как разность двух последних уравнений. ПРИМЕЧАНИЕ. Взаимные превращения внутреннего и внешнего моментов количества движения являются перавновесным процессом, обусловливантщим рассеяние энергии внешних источников движения. 8. Построить баланс кинетической энергии внутреннего [вязкого) вращательного движения элемента объема среды,Уатт,т2, используя решение задачи 7. Отеет. р т1т [,1 атз,т2) = — 2ит, Ф' — ит ~7 ° .7 . 9. Найти уравнение баланса трансляционной кинетической энергии роз/2 длн элемента объема среды в электромагнитном поле без учета поляризации.

22 Глпва 1 Укйзйние. Воспользоваться выражением баланса импульса (1,4) и соотношением о ~7 ° В = ~7 ° (В ° о) †.Р: 17о. Ответ. Ей — = Чй[Е+ с [ойВ]) + я+ш г+ 2[айш]. где ~р, ~пй понента. Ответ. Ов(РР) = — ~ РРо+ Е Рй Уйй] — Е РАЕЙ о— ййй / й=1 и и — Рй + 2,) Рйпйв~: й=1 й=йг=й Ей = ой(Е+ с й[ойВ]) +а+ и зг + 2[вью], ПРИМЕЧАНИЕ. Если в 1-й химической реакции потенциальная энергия сохраняется, то необходимо считать пйпрй = 0 Е й=1 (1 = 1,2,...,1), и последнее слагаемое в решении задачи 10 равно нулю.

11. Полная удельная энергии термодинамической системы определяется как сумма соответствующих удельных энергий 10. Построить баланс потенциальной энергии р~р для элемента объема среды в электромагнитном поле без учета поляризации, используя локальный баланс массы (1.2). Считать, что 2, 'рйй»й = рв», й=1 удельные потенциальные энергии системы и ее Й-го ком- 1.1. Зинины сохранении трансляционной и вращательной кинетических, потенциальной, элек- тромагнитной и внутренней: ре=р — +р — и» +р~р+ — (Е +Н )+ри.

2 72 2 2 2 2 2 Поток полной удельной энергии,У„по определению, есть сумма суб- станциональных и конвективных потоков этих же энергий: и, 2 ,Уе = У» ° и + У,„но + ~ ~рь.У» + с(ЕН~ + .Уф + рт~-о+ ,Уы~ +р — 2 — О + рффи + рию.