Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 73

Траектория относительного движения сталкивающихся частиц в системе центра инерции: О в центр инерции частиц, траектория †совокупнос точек, представляющих собой вектор расстояния между сталкивающимися частицами; р †прицельн параметр соударсния, 0 †уг рассеяния. модействия этой частицы с силовым центром равен потенциалу взаимодействия между сталкивающимися частицами. На рис. П1.! представлены параметры стол. кновения при упругом рассеянии частиц, При сферически симметричном потенциале взаимодействия частиц угол рассеяния 0 определяется прицельным параметром столкновения частиц р, причем при монотонной зависииости потенциала взаимодействия от расстояния между частицами зависимость угла рассеяния от прицельного параметра столкновения одноаначная.

Поэтому частицы, рассеиваемые в рассматриваемый элемент угла от 0 до 0+ей однозначно связаны с интервалом прицельного параметра соударения от р до р+г(р. Получим выражение для дифференциального сечения рассеяния частиц. Будем считать, что имеем поток частиц д!и (Л! — плотность частиц, о — их скорость), падающих на силовой центр.

В рассматриваемый элемент телесного угла рассеиваются частицы с прицельным параметром, находящимся в интервале от р до р+ор. В этот интервал в единицу времена попадают частицы, находящиеся в объеме о.2лрйр, а число частиц, рассеиваемых в единицу времени в заданный алемент угла, равно Д)о.2прг(р. Разделив эту величину на поток падающих частиц, для дифференциального сечения рассеяния получим г)о = — 2яр яр.) (П1.3) Это соотношение соответствует однозначной зависимости угла рассеяния от при. цельного параметра соударения.

Вобщем случае следует заменить соотношения (П1.3) суммой по отдельным ветвям зависимости 0(р). Определим дифференциальное сечение рассеяния на малый угол. В этом случае движение частицы в поле силового центра происходит по прямолинейной траектории, так что ее расстояние ст силового центра согласно закону свобод. ПРИЛОЖЕНИЯ 396 ного движения равно)7= у' ра+ох!а. Сила, действующая на частицу со сто. роны силового центра в направлении, перпендикулярном траектории движения, равна — ~ — ~, так что в конечном итоге частица приобретает в этом р !д0 )7 (д)с направлении импульс АРЕ=,) (( ~ал!~',,);д)7~ТГ)— 7 — рц и Р Отсюда находим угол рассеяния при прицельном параметре соударепия р: и о (П1.4) Здесь р=,ро — импульс в системе центра инерций, о — приведенная масса стала кивающихся частиц, е= — — энергия частиц в системе центра инерций. 2 В частности, если (7=С7)с», то формула (П1.4) дает В=А!ер», и дифференциальное сечение рассеяния равно 2п /А1з/» дб ! С Р»я Г (»12+ !12) »о=2яр "р=- — „(- ! х 1» ' где '! 2Г(а(2+1) В случае кулоновского взаимодействия частиц (у=еэ(!7 отсюда получаем формулу Резерфорда: 2пА' ой йчеа бд пса лбе еэ 8в = гх дз едее (П1.6) глебе=брэ 12р=ейх — энергия, которой обмениваются сталкивающиеся частицы в системе центра инерций.

Перейдем к определению интегральных сечений упругого рассеяния частиц. Оии бынают двух типов. Один из них — сечение рассеяния на большие углы. Такого типа сечения входят в выражения для коэффициентов переноса — коэффициента диффузии, теплопроводностн, вязкости, подвижности частиц, ибо сами процессы переноса при отсутствии неупругих процессов столкновения частиц определяются именно рассеянием частиц на большие углы.

Сечения рассеяния на большие углы являются интегралами от дифференциального сечения рассеяния„причем малые углы рассеяния в эти выражения входят с малым весом. Например, наиболее распространенным сечением рассеяния на большие углы является диффузионное, или транспортное, сечение рассеяния, которое определяется следующим выражением: а'= ~ (1 — саз В) до. (П!.7) (П1.8) и=-п)7'„где (! Фа) — з Как видно, малые углы рассеяния входят в подынтегральиое выражение с весом Ох!2 и не вносят вклада в интеграл. Получим оценку для сечения рассеяния на большие углы в классическом пределе, Основной вклад в сечение вносят углы рассеяния порядка единицы, а для этих углов рассеяния при расстояниях наибольшего сближения частиц взаимодействие достаточно сильное, т, е. потенциал вааимодействия частиц при этих расстояниях порядка их кинетической энергии.

Поскольку величина расстояния наименьшего сближения частиц в этом случае порядка прицельного параметра столкновения, то сечение рассеяния на большие углы можно оценить на основе соотношения: !. СЕЧЕНИЕ СТОЛКНОЕЕНИЯ АТОМНЫХ ЧАСТИЦ 00У Здесь (I (1х) — потенциал взаимодействия сталкивающихся частиц при расстоянии Я между ними, е — энергия частиц и системе центра инерции. Другим типом интегрального сечения столкновения частиц является полное сечение рассеяния (П1.9) Полное сечение рассеяния частиц характеризует изменение фазы излучающего атома за счет соударении его с окружающими часшцами газа и поэтому оно входит в выражение для ширины спектральной линии излучения или поглощения, если уширение спектральной линии обусловлено соударениями частиц.

Нетрудно убедиться, что в классическом пределе полное сечение рассеяния частил обращается и бесконечность. Действительно, предполагая классический закон столкновения частиц, находим, что при любом прицельном параметре соударения имеет место рассеяние (пусть очень малое), т. е, интеграл (П1,9) равен бесконечности. Оценим полное сечение в случае, когда само движение частиц можно рассматривать как классическое движение частиц по траекториям. Классическое приближение нарушается при больших прицельных параметрах соудареиия там, где произведение момента соударения ! иа угол рассеяния 0 порядка единицы. Обрезаа интеграл (П1.9) на этих прицельных параметрах„ получим следующее соотношение для полного сечения рассеяния частиц: п„=краш где 1(р„) 0(рп) !.

Раскроем полученное соотношение, Момент столкновения 1(р) =рро4. Здесь р — приведенная масса сталкивгюшихся частиц, о — относительная скорость, р — прицельный параметр соударения. Далее, согласно формуле (П1.4) угол рассеяния в (р)-— и (р) и (р) е Отсюда имеем следующую оценку для полного сечения рассеяния частиц: р ('(р ) о„= — пр„, где — !. Йа (П1. 10) Что соотношение справедливо, если сталкивающиеся частицы движутся по класнческим законам, т.

е. основной вклад в сечение вносят большие моменты столкновения частиц: й (П(.1!) — — >) 1, и()1,) ро „ и(р„) т. е, па >) о (полное сечение рассеяния заметно больше сечения рассеяния нз большие углы). В заключение рассмотрим рассеяние частиц на модельном потенциале, который имеет вид и=4 0' (П! Л2) — ( ае, г~йа. Сравним сечение рассеяния частиц на большие углы и полное сечение рассеяния, считая, что движение частиц описыеаегся классическими законами и что потенциал взаимодействия частиц монотонно убывает с увеличением расстояния между частицами. На основе соотношений (П!.9), (П1.10) и (П1.11) имеем ПРИЛОЖЕНИЯ Такая модель носит название модели твердых сфер и хорошо описывает стол. кновеяие атомов и молекул.

Поэтому она получила широкое распространение в физической кинетике нейтральных газов. Рассеяние частиц в системе центра лиерций в модели твердой сферы подобно упругому рассеянию точки от твердой сферической поверхности (рис. П!.2). Отсюда получаем соотношения для параметров столкновения угол рассеяния й=п — 2о, где зш сс=рУ)сэ, т. е. р=)2эсоз 012. Это дает для дифференциального сечения рассеяния: ба.—.2пр с(Р =Пап)2эз б сов 8. (П1.13) Отсюда находим для диффузионного се- чения рассеяния: и'= ~(! — соэ 8) с(о=лДэ', (П1.14) Рис П1.2. Рассеяние частиц в системе центра инерции для модели твердой сферы.

а также для сечения рассеяния на большие углы о">, определяемого по формуле (1 34) и входящего в выражения для коэффициентов теплопроводности и вязкости (см. задачи 1.13, 1.18).' озаз= ~ (1 — соэз 8! с(о =' а!ап)2э ° (ГП.!5) Как видно, формулы (П1.14), (П!.!б) находятся в соответствии с формулой (П1.8). Если рассматриваемая пробная частица рассеивается в гаае, то ч — гусов частота, с которой происходит рассеяние пробных частиц (У вЂ” плотность частиц газа, о — характерная скорость столкновения, о — характерное сечение рассеянна на большой угол). Соответственно, Х вЂ” оГт (Уо) ' — длина пробега пробной частицы в газе, т. е.

характерное расстояние, которое пробная частица проходит в гаае без столкновений, Отметим, что таким способом мы опрезеляем длину пробега лишь по порядку величины 2. Принцип детального равновесия Принцип детального равновесия устананливает соответствие между характеристиками элементарного процесса в прямвм и обратном направлении протекания процесса. Это соответствие связано с симметрией системы относительно обращения знака времени. Выведем эту связь между характеристиками прямого и обратного процесса, исходя из микроскопического описания процесса. Пусть переход системы из состояния 1 в состояние 2 илн наоборот осуществляется а результате пззимодействия, описываемого оператором Р Вероятность перехода в единицу времени нз одного состояния в др)гое равна 2п, Цйэ ш - — ()гтэ !— Й (П2.1) где )гзэ — матричный элемент, взятый между рассматрнваемычи состояниями, с(йз/де — статистический вес конечного состояния, приходящийся на единичный интервал энергии.

Пусть каждое из состояний соответствует наличию двух частиц, столкновение которых приводит к рассматриваемым переходач Поместим систему в пространства объема Й и будем считать, что до и после столКиовения в Этом объеме имается По одной частице каждого сорта. Тогда по определению сечений перехода между состояниями ! и 2, обозначаемого как 2. НРинцин детдльнОРО РАВнОВесия аш, и для сечения обратного перехода о„ имеем ! 2п, 2(яа о,о„ ш„= — ( И„('— 2(Е Й 2н, 2(лг о о ш21= ( Ую( 1(а 2) (П2.2) где о„э,— относительные скорости столкновения в соответствующем канале реакции.