Вихман Э. Квантовая физика (Вихман Э. Квантовая физика.djvu), страница 8

С другой стороны, если все переменные, имеющие размерность действия, очень велики по сравнению с й, то систему с достаточной точностью описывают законы классической физики. Подчеркиваем приближенный характер высказанного критерия, который лишь указывает, когда следует проявить осторожность. Малость переменной действия не всегда свидетельствует о полной неприменимости классической теории. Во многих случаях она может дать нам некоторое качественное представление о поведении системы, которое можно уточнить с помощью квантовомеханического рассмотрения.

21. Отметим сразу же, что постоянная Планка «мала», а это значит, что в единицах, установленных для описания макроскопических явлений, например в единицах СИ или СГС, она выражается малым числом. Таким образом, величины макромира, имеющие размерность действия, в единицах Й выражаются огромными числами. Рассмотрим, например, маятник часов. Чтобы найти величину с размерностью действия, образуем произведение периода маятника на максимальное значение его полной энергии. Период маятника близок к 1 с, а кинетическая энергия во всяком случае больше 1 эрг. Таким образом, произведение обеих величин )10ы й, т.

е. гораздо больше Ь. Согласно нашим критериям классическое описание движения маятника должно быть полностью справедливым. Рассмотрим таким же образом вращающееся тело. Пусть его момент инерции равен 1 г см', а угловая скорость равна 1 рад1с. Тогда момент импульса будет равен 1 г.см»Чс=1 эрг.с=10" й. Таким образом, момент импульса по сравнению с й очень велик.

Даже если тело — песчинка с периодом вращения, исчисляющимся часами, ее момент импульса, измеренный в единицах Ь, все же будет выражаться огромным числом. Рассмотрим, наконец, небольшой, но макроскопический гармонический осциллятор.

Пусть его масса равна! г, максимальная скорость 1 см/с и максимальная амплитуда х=1 см. Тогда его максимальный импульс р = 1 г см!с. Величинах р=! эрг.с есть переменная с размерностью действия, и ее значение опять порядка 10" Й. Таким образом, применение указанного критерия к макроскопическим системам подтверждает нашу уверенность в том, что подобные системы могут быть описаны классически. 22, Теперь постараемся получить более глубокое представление о значении приведенного критерия. ") Динамической переменной называется любая переменвая, характеризующая состояние системы, например координата, составляющая импульса нлн момента импульса, составляющая скорости, полная ввергая н т. и.

В классической физике считается, что каждая динамическая переменная системы может быть измерена в принципе сколь угодно точно. Это не означает, что практически имеется подобная возможность. Важно, что в принципе возможная точность измерений ничем не ограничена. В классической физике динамическими переменными являются координаты, составляющие импульса, момента импульса и т.

д., а также такие переменные, как составляющие векторов электрического и магнитного полей в данной точке пространства в определенный момент времени. Тщательный анализ реального поведения микроскопических систем показывает, однако, что существует принципиальныи предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены. В 1927 г.

В. Гейзенберг произвел глубокий анализ причин существования это~о предела, который называется принципши неопределенностей. 1(олнчественное соотношение, выражающее этот принцип для данного частного случая, называется соопшоиюнием нсопрсделенностей. Рассмотрим соотношение неопределенностей для пары переменных 1о, р), где д — координата положения частицы, а р — ее импульс. В этом случае Ьд«бр>й'4л.

122а) Здесь Ьд и Лр — средние квадратичные погрешности измерения а и р. Написанное неравенство означает, что обе переменные нельзя измерить более точно, чем в том случае, когда произведение их «неопределенностей» имеет порядок постоянной Планка. Сразу же заметим, что вследствие малости постоянной Планка соотношение неопределенностей не буде» играть никакой роли в макрофизике. Другие погрешности для а и р будут в этом случае гораздо больше. Таким образом, соотношение (22а) никак не противоречит нашему эмпирическому знанию явлений макромира, хотя, конечно, оно находится в противоречии с классическими теориями, разработанными для макроскопических систем. 23.

Принцип неопределенностей иногда «объясняют» следующим образом. Такие динамические переменные, как, например. положение, импульс, момент импульса и т. и., будут определены, если мы укажем экспериментальный способ их измерения. Если мы подвергнем анализу реальные методы измерения в микрофизике, то обнаружим, что любое измерение возмуи»аегп систему. Это возмущение принципиально неустранимо, так как происходит от взаимодействия системы и измерительной аппаратуры. Если мы попытаемся точно измерить положение частицы, то изменим ее состояние таким образом, что импульс окажется весьма неопределенным. Наоборот, выполняя точные измерения импульса, мы делаем очень неопределенным ее положение. Если же мы попытаемся одновременно измерить и положение и импульс частицьн то оба измерения будут влиять друг на друга, и погрешности окончательного результата измерений будут связаны неравенством г22а).

Дальней- 28 шие рассуждения имеют целью объяснить происхождение указанных влияний в некоторых конкретных случаях. Такое объяснение принципа неопределенностей можно прочесть во многих учебниках. Автор не настаивает на том, что оно совершенно ошибочно, но ему кажется, что оно может привести к большим недоразумениям. Это объяснение обходит существеннук> особенность, которая заключается в следующем: соотно и нив неопределенностей устанавливает пределы, за которьсми принципы классической физики становятся неприменимыми. «Классическая физическая система», описываемая классическими динамическими переменными, которые определенным образом зависят от времени и могут быть известны нам в принципе с произвольной точностью, является плодом абстракции и существует лишь в нашем воображении.

В реальном мире таких систем нет. Это подтвердили многочисленные эксперименты. Описывая реальную систему классическими методами, мы допускаем приближение, а соотношение неопределенностей показывает степень его справедливости. 24. Чтобы разъяснить эти идеи, рассмотрим одномерное движение частицы. В классической динамике мгновенное положение частицы может быть задано координатой а=а(~). Если масса частицы равна т и частица движется достаточно медленно, ее импульс р=:р(В= =-т йу(~)!й. Мы могли бы считать, что принцип неопределенностей выражает неспособность наших измерительных приборов определить д(0) и р(0) с произвольной точностью, но что у нас остается возможность рассуждать о точных значениях этих величин и о последовательном движении частицы от точки к точке.

Иными словами, мы могли бы думать, что следует продолжать пользоваться понятием классической траектории, по которой движется каждая частица, но что существует неопределенность в том, по какой именно траектории следует частица, вытекающая из соотношения неопределенностей, примененного к начальным условиям. Это не так. Опыт показывает, что наши идеи нужда.отся в более радикальном изменении. Необходимо отказаться от самого понятия классической траектории.

Вопрос об одновременных значениях о(~) и р (1) не менее бессмыслен, нежели вопрос о цвете волос короля Соединенных Штатов. 25. Может показаться, что в наших рассуждениях имеется логическое противоречие. Сперва мы установили соотношение неопределенностей, а затем утверждаем, что входящие в него переменные р и д лишены смысла.

Если это так, то какой смысл в самом соотпошениир Ответ заключается в следующем. При квантовомеханическом описании поведения частицы можно ввести некоторые математические объекты а и р, которые во многих отношениях соответствуют классическим переменным — координате и импульсу. Эгн объекты, однако, не идентичны классическим переменным. Соотношение (22а): говорит нам, что если мы будем пытаться интерпретировать квантовомеханические объекты а и р как «координату» н «импульс> и рассматривать движение классически, то существует принципиальное ограничение точности, с которой могут быть известны «координата» и «импульс».

другими словами, соотношение неопределенностей показывает, что, пытаясь описать движение частицы с помощью классических переменных д и р, мы имеем дело с принципиальным ограничением точности такого описания. 26. Следует ясно понимать, что соотношение неопределенностей не является выводом из анализа процесса измерения, рассматриваемого в классических понятиях. Это соотношение отражает экспериментально обнаруженные свойства природы.

Реальные частицы не ведут себя подобно точечным частицам классической физики или подобно малым биллиардным шарам. У них иные свойства, и именно поэтому некоторые измерения не могут быть выполнены даже мысленно. В последующих главах мы изучим свойства частиц реального мира и увидим, что соотношения неопределенностей, кажущиеся странными, естественно вписываются в общую схему явлений. Открытие постоянной Планка 27.

Обратимся теперь к истории открытия постоянной Планка. Интересно проследить появление и триумфальный путь этой константы в физике. Нам следует вернуться к началу нашего века и рассмотреть некоторые не решенные в то время проблемы.

Вот важнейшие из них: 1) проблема излучения черного тела; 2) проблема фотоэлектрического эффекта; 3) проблема стабильности и размера атомов. Это далеко ие единственные проблемы, занимавшие физиков той эпохи, но в них наиболее отчетливо проявились противоречия классической физики.

С исторической точки зрения наш обзор более чем схематичен. Вопрос о развитии квантовой механики невозможно уложить в несколько страниц. Рассматривая ситуацию начала века из сегодняшнего дня, мы понимаем, что три перечисленные задачи были ключевыми. Однако если просмотреть статьи, опубликованные в 1900 г. в «Аппа!еп бег РЬуз)к» (один из ведущих журналов того времени), то мы обнаружим, что большую часть физиков привлекали совсем другие задачи. Во все времена способность отличить значительные проблемы от незначительных была редкостью. Тем больше у нас оснований признать замечательную интуицию и силу воображения тех, кто положил начало квантовой физике.