Радушкевич Л.В. Курс термодинамики (Радушкевич Л.В. Курс термодинамики.djvu), страница 6

Следовательно, работа в этом случае определена только, если известен ход расширения. Очевидно, в случае замкнутого процесса (цикла) работа не равна нулю. На рис. 4 работа на пути асЬ равна площади фигуры (У,асЬУ»У,). На пути Ыа происходит сжатие тела, когда необходимо совершить работу над телом, т. е. эта работа имеет знак обратный по отношению к знаку в первом случае. Эта работа равна площади фигуры (У,ае(ЬУ»У,). Отсюда видно, что для всего контура работа равна площади фигуры (асЬйа) и она не равна нулю. На этом основано действие машин, которые работают циклически и дают конечную работу.

Во многих разделах физики рассматривается работа, которая не зависит от формы пути (в механике это пример. работы консервативных сил). Очевидно, работа в этих случаях является частным выражением более общего случая термодинамики, когда работа зависит от вида пути. Рис. 4. Рис. З. 27 У 9. Математические методы термодинамики $9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ где хь хм ..., х„являются независимыми переменными, тогда как Х1, Х„..., Х„суть функции этих переменных. Когда аФ„=О, то получаем уравнение Пфаффа: Х,с(х„+ Х,йх, + ... + Х„е(х„= О.

(1,15) В простейшем случае двух независимых переменных х, у пфаффова форма имеет вид: йФ = М (х, у) йх + йГ (х, у) йу. (1,16) Эдесь М(х, у) и У(х, у) — некоторые функции независимых переменных х, у. Этот вид часто встречается в термостатике, где существенную роль играют два разных частных случая, в зависимости от вида М и тт'. дм дУ 1.

Если соблюдается условие — = —, называемое услоди дх вием Эйлера, то легко показать, что существует некоторая функция Ф переменных х и у общего вида. Ф=г(х, у)+С, полный дифференциал которой выражается соотношением (1,!6). Действительно, если такая функция Ф(х, у) существует, то полный дифференциал ее есть с(Ф = ( — ) ах+ ( — ) йу. (1,!7) В обычной термодинамике широко применяются методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, что обусловлено необходимостью введения в задачи нескольких переменных параметров состояния, которые могут быть функционально связаны друг с другом. Эта связь между переменными выражается дифференциальными соотношениями.

Главный результат почти всегда сводится к анализу частных производных: к установлению их физического смысла, и особенно к определению знака этих производных, который часто позволяет определить собой течение и направление физического процесса. Пример этого метода в самом простом виде нам встречался при выводе связи между термическими коэффициентами ($ 7). В последующих главах мы убедимся в важности указанного метода. Наибольшее значение в этой области получили линейные дифференциальные уравнения в полных дифференциалах независимых переменных, называемые фар м а м и П ф а ф фа, а также дифференциальное у р а в н е н и е П ф а ф ф а.

Эти дифференциальные формы имеют общий вид: йФ„= Хте(х, + Х,йх, + ... + Х„йх„, (1,14) 28 Г л а в а 1. Общие понятия и определения Сравнивая (1,!7) с (1,16), находим, что в этом случае дФ дФ М= — и У= —. дк ду Дифференцируя М по у и Ж по х, получим: дМ доФ дУ доФ вЂ” = — и ду деду дх дудя Так как правые части этих равенств равны друг другу, то получаем условие Эйлера, т. е. дМ дй ду дя Была доказана необходимость условия (1,18) для существования функции Ф.

Нетрудно видеть, что соотношение (1,18) является также достаточным условием существования функции Ф. Обратное заключение тоже является справедливым, т. е. если имеется функция Ф переменных х и у, то условие (1,18) справедливо. дМ дУ 2. Случай — + —. Можно показать, что в этом случае ду дх не существует функциидвухпеременных х и у,длякоторойуравнение (1,16) представляло бы собой полный дифференциал какой-то функции. В самом деле, если допустим существование функции Ф=Р(х, у)+С, то прежним путем получим усло'вие (1,!8), которое противоречит принятому неравенству частных производных. Следовательно, в этом случае дФ не есть полный дифференциал, а представляет собой просто бесконечно малое приращение некоторой переменной величины Ф.

Однако, как известно из теории дифференциальных уравнений, для пфаффовой формы (1,16) двух независимых переменных всегда существует так называемый интегрирующий множитель р=р (х, д), т. е. умножением этой формы на множитель 1л мы вновь получаем полный дифференциал некоторой функции. В самом деле, введем функцию 1л=1я(х, у) и умножим исходное уравнение (1,16) на эту величину.

Тогда получаем: (Фо — — р (Ф=РМ6(х+рй( (у. Легко видеть, что е(Фо является полным дифференциалом функции Фа=Фа(х, у), т. е. Ф дФо ( 1 дФо ( дк ду Сравнивая оба выражения, находим: дФо, дФо 1оМ= —; рУ = —, дк ду Э 9. Математичеекие методы термодинамики д>тМ дя>т' откуда — =, т. е. условие Эйлера соблюдается, а это ду дх значит„что функция Фа=Фа(х, у) существует, а е(Фо есть ее полный дифференциал. Если число независимых переменных больше двух, то пфаффова форма (1,14) может вообще и не иметь интегрирующего множителя, т.

е. нельзя в общем случае подобрать такой функции, которая обращала бы (1,!4) в полный дифференциал. Для существования интегрирующего множителя необходимо соблюдение некоторых условий. Найдем условие существования интегрирующего множителя при трех независимых переменных х, у, г, т. е. для пфаффовой формы: л(Ф = М т(х + )т' е(у + Р е(г. (1,19) Пусть 1л=1л(х, у, г) есть интегрирующий множитель для (1,19).

Тогда е(Фр —— р. т(Ф = р М Их + >тЖ е(у + р Р т(г, где е(Ф„= — е(х + — е(у + — е(2. дФе дФо дФе дх ду де Следовательно, дФе . дФе . дФо им= — '; нй(= —; нР=— дх ду де При этом должны соблюдаться условия Эйлера вида — (нм) = — Ьй1); — Ьй1) = — ЬР); — (нм) = — (нР). д д д д д д ду дх де ду де дх Выполним дифференцирование произведений в этихуравнениях, а затем, произведя группировку, умножим их в той оке последовательности первое на Р, второе на М и третье на йт. Тогда после сокращений и помня, что 1хФО, находим: Это выражение представляет собой условие существования интегрирующего множителя для пфаффовой формы при трех независимых переменных.

В термостатнке нам придется встречаться с разными случаями пфаффовых форм, а также с уравнением Пфаффа. В дальнейшем случай, когда е(Ф есть полный дифференциал, 3О Г л а в а 1. Общие понлгия и определения будет особенно важным, так как простым интегрированием получаем: г г(Ф = Ф,— Фз» ! и для замкнутого контура имеем: 1 (Ф=В. Следовательно, Ф является функцией состояния. $10. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ Можно вполне точно установить дату возникновения классической термодинамики.

В 1824 г. появился труд молодого французского инженера Сади Карно под названием «Размышления о движущей силе огня», в котором автор дает теорию тепловых машин и указывает пути их дальнейшего усовершенствования, Именно такую практическую цель преследовал автор в своем сочинении. На самом деле, однако, в труде, помимо принципиальных вопросов теории тепловых машин, содержится первая формулировка одного из важнейших положений термодинамики — так называемого второго начала термодинамики. Работа Карно вначале не обратила на себя внимания, и лишь спустя примерно 30 лет идеи автора были использованы в трудах Клаузиуса, продолжившего учение о втором начале. Таким образом, этой работой Карно и положено начало развития классической термодинамики.

Необходимо отметить, что учение о теплоте появляется в физике значительно раньше, Однако с этим мы не связываем развитие именно термодинамики, так как в отдельные эпохи развития физики теплоту рассматривали как особую невесомую жидкость, называвшуюся теплородом, Даже в труде Карно мы встречаем упоминание о теплороде, хотя в позднейших трудах автор уже не придает того значения теплороду, как его предшественники. Дальнейшим важным этапом в развитии термодинамики являются работы 40 — 50-х годов Х!Х в., связанные с формулировкой первого начала термодинамики, которое в науке, таким образом, появляется после второго начала. Установление первого начала термодинамики, представлиющего собой и общем выражении закон сохранения энергии, связано с трудами трех исследователей, подходивших с разных точек зрения к формулировке этого основного закона природы.