Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985), страница 9

сг (в) = 5о (го) Н (в), (3.8) где Ве(в) — спектр импульса (3.5) или (3.6), Н(в) = ~ а„ехр [ — 1 (и — 1) вт,[ (3.9) и=! — спектр кодовой последовательности. Представление спектра ФМ сигнала в виде произведения (3.6) удобно тем, что можно сначала отдельно найти спекпры Зд(в) и 40 Н!(в), а затем,,перемножив их, найти спектр ФМ сигнала.

Для ФМ сигналов символы а являются действительными., величинами. Поэтому амплитудный спектр кодовой последовательности )Н(в) ~ является четной функцией частоты, а фазовый спектр !р(в) — нечетной функцией, причем )Н(вИ = )~/// с! ~ а„а, соз(и — н) вте, (3.10) 1 и=! к=! 1Я!р(в) = (~' а„з!п(н — 1) вт,~/( ~~ а„сов(п — 1)вт ~а=! // 1п=! (3.11) На рис. 3.3,а изображен !Н(в) ~ — четная функция частоты относительно в=О для произвольного сигнала.

Штриховой линией представлен амплитудный спектр )Яе(в) ~ прямоугольного импульса. На рис. 3.3,б.изображен фазовый спектр ф(в) — нечетная функция частоты относительно в=О. Необходимо отметить, что аиплнтудные спекторы кодовых последовательностей ~ Н(в) ~ реальных ФМ сигналов отличаются от изображенного на,рис. 3.3,а наличием значительных флюктуаций.

Средняя частота флюктуаций амплитудного спектра веж2п/Т, что объясняется наличием кооинусоидального множителя в правой части (3.10). При в=О значение амплитудного спектра согласно (3 10) !Н(0)! = ~', а„, (3. 12) и=! т. е. равно среднему значению амплитуд импульсов. Среднее зна- чение !квадрата модуля амплитудного спектра ! Н (в) )' !1 в = ~~ аз (3.13) !2 и/т!) — и/т, . и=! Поскольку а„=~1, то из (3 13) следует, что и/т, ! Н (в) !' !! в = Л/ . (3.14) !2 и/то), /, Поэтому флюктуа!ции амплитудного спектра !Н(в) ~ кодовой последовательности реальных ФМ сигналов происходят около среднего значения ) А/.

Флюктуаций ам!плитудного спектра не бу- дет у тех сигналов, которые обладают идеальной АКФ без боко- вых пиков (рис. 2.10). Ам!плитудный спектр таких сигналов !Н(в)! ц ) У '(3. 15) Поэтому чем меньше уровень флюктуаций апектра ФМ сиг- нала, тем меньше уровень боковых пиков АКФ. Корреляционные функции ФМ сигналов. ВФН двух ФМ сиг- налов с номерами / и й в соответствии с (2.18) записывается сле- дующим образом: (3.19) При й=О ВКФ согласно (3.16), (3.17) л — ! о„ Вм (т) = —;~~ ~ ано ао, „,„Яо (т — рто), (3.21) Н=- — (Л вЂ” 1! о=о, где пределы суммирования определены согласно (3.19). При вьоводе (3.21) двойная сумма в (3.16) была .разбита на внутреннюю с р=сопз! и на внешнюю с изменением !о от — (А! — 1) до (А!+1) Ко(т — [ото) — АКФ единичного прямоугольного импульса, определяемая согласно (3.17) при Й=О.

При т=рто ВКФ ФМ сигналов определяется соотношением Рт~(р)=(1!А!) У а! а~,.— ю (3.22) п.=а, 42 У и Р!о(т,й) = —,, ~, '~~ ат„аон]7о !т — (и — ио) то Й] х о= ! юи=! х ехр[((и — 1) Йт,]. (3.16) В (3.16) а;, ао — символы кодовых последовательностей А, и Ам причем * — знак комплексной сопряженности — введен для того, чтобы (3.16) была справедлива и для многофазных онгвалов. Для ФМ сигналов с двумя значениями фазы ао =ао,„. Функция Яо(т, й) — ФН единичного импульса. Она определяется согласно (2.21). Если единичный импульс является прямоугольным (3.1), то о!и 0,5 Ото !1 — !т[/то) О о Ито !! — [т[(то) х ехр [! 0,5 й (то-[- т)] при [т! ( т„ (3.

17) где т — задержка, Й вЂ” доплеровский сдвиг частоты. При т=[ото ВФН Я!д(!ото, й) зависит только от слагаемых с данным и, так как соседние слагаемые в (3.16) с р~! на линии т=рто равны нулю. Поэтому !о !г!1 од Кто (рт„й) = — ' ~ ат„а„„„ехр [! (и — 1) йт,], (3.18) о=о, причем пределы суммирования определяются следующими равенствами: и =р,[-1, и,=У при р) 0;[ и, =1, из=Ж вЂ” !р! при р,(0. ] Число слагаемых в (3.18) равно Ж вЂ” [и[ при любом р. Корреляционная функция (3.18) определяет сечения ВФН вдоль линии т=!ото при изменении р от — (А! — 1) до (Х вЂ” 1). При р=~У ВКФ Л,д(ьй!то, й) =О. Если р=О, то ВКФ 8,(а) ", ° Км (Й) = ' ~ а!„а„„елр [! (и — 1) Йто].

(3.20) о=-! и(д аа~ат)~Д 4 1~.й>! 1и„(а)1 1~2 ЫИ (ил 9)! Рис. 3.4. Фааомаиипулиро- иаииый сигнал и АКФ Рис. З.Б. Апериодический и периодический режимы работы передатчика 43 а при 1=А АКФ— аг Й (р) =(1/У) ~; д„а„и, (3.23) а=и+! поскольку Я( — )а) =Я()а). ВКФ и АКФ полностью определяются своими отсчепными значениями Я~а()д) и Я(14). Эти значения, отложенные по оси времени т через интервалы то, образуют там называемую решетчатую фуващию. По известной решетчатой функции можно поспроить ВКФ вли АКФ, если около каждого значения 1сза()д),или Я((д) поспронть АКФ 11В(т) единичного импульса с амплитудой,,равной Й;а(р) или Я(14).

На рис. 3.4,а изображена комплексная огибающая (в данном случае действительная функция времени) ФМ сигнала с единичным прямоугольным импульсом для 0=5, на .рис. 3.4,б — решетчатая функция ФМ сигнала, на рис. 3.4,в — решетчатая АКФ. Тонкими линиями на рис. 3.4,в показана АКФ ФМ сигнала. Для прямоугольных единичных иььпульсав единичный отклик Йп(т) имеет внд тругольного,импульса, поэтому для построения звтокорреляционной футввйни ФМ сигнала достаточно соединить между собой соседние значения 1с (1а). Все предыдущие определения ВКФ н АКФ (3.16) ... (3.23) справедливы для апериодического,режима работы передающего устройства, т. е.

~в том случае, когда излучается н принимается одни сигнал. На рнс. 3.5,а представлены временные диаграммы для аперноднчеокого режима в виде модулей огибающих сигнала '~ 0,(1) ( и импульсной характеристикя фильтра ) Уа(1) ). Сдвиг между ними т является аргументом ВКФ 1с;а(т). Кроме аперио- дического, возможен также периодический, режим, когда сигнал излучается периодически с периодом, равным длительности сигнала Т (рис.

3.5,б). При периодическом режиме ВКФ и Рж (р) = (1//т') ~,' а/„ав, „„, (3.24) а АКФ— Я (р) =(1/А/) ~ а„а„в. (3.25) а=1 В (3.24), (3.25) число слагаемых в суммах равно /Ч, т. е. чис- лу символов в кодовых последовательностях. Интегральное равенство. Между корреляционными функциями и опектрами кодовых последовательностей существует взаимосвязь, вытекающая .из определений (2.18), (3.7), (3.8), (3.9), используя которые, можно аокаэать, что имеет место интегральное, равенство д (11) и/те Р~ь (рта, ь)) = ' ) Н/ (а — ь)) Йа (оз) е'иитм(а. (3,26) 2 и Д//та иут, Интегральное равенство (3.26) широко используется при на- хождения оценок АКФ и ВКФ. Если /=й и Я=О, то из (3.26) получаем определение АКФ и/та И(р)= ( 1Нщ е (3.27) 2 и 1У/та — и/та При р=1 яз (3.27) имеем (3.14).

Перейдем к рассмотрению наиболее распространенных ФМ сигналов. 8.2. Сигналы Баркера Кодовая последовательность сигнала Баркера состоит из символов а„=-~1 ~н характеризуется АКФ вида для р,=О для р = 21+ 1, (3.28) для р=21, где 1=О, 1, ..., (У вЂ” 1)/2. Знак в последней строке (3.28) за~висит от величины У. В табл. 3.2 приведены известные кодовые последовательности Баркера'. В последнем столбце таблицы приведен уровень боковых пиков автокорреляционной функции (1). ' для некоторых л/ существует две последовательности. Например, дли У=3 имеем (1, — 1, 1), 11, 1, — 1), для У=4 — (1, 1, 1, — 1), (1, 1, — 1, Ц.

44 Т а 5 л и ц а 3.2. Кодовые последовательности Баркера и АКФ с„ при л пы 1О 12 1З 7 з 9 2 3 — 1/3 +! /4 1/5 — 1/7 — 1/11 1/13 3 5 7 11 13 — 1 — 1 1 1 1 1 ! — 1 — ! — 1 1 1 — 1 — ! 1 — ! ! — 1 1 — 1 — 1 Комплексные огибающие сигнала Баркера для й/=б и его АКФ изображены на рис. 3.4, а АКФ сипнала Баркера для А/=7, 11, 13 —,на рис. 3.6 [121.

Кодовые последовательности, обладающие свойством (3.28), для А/) 13 не найдены. Рис. 8.6. АКФ сигналов Баркера с А/=7, 11, 13 Рнс. 3.7. Амплитудный и фазовый спектры кодовых последовательностей Баркера с 57=,11 и 18 -Угх/(Гн у 7,а л/г е тг/г е пуг л г) -гг -е -9 г 9 е гг г/ и/г к а) Спектр кодовой последовательности. Ам1плитудный спектр ~Н(х) ~ кодовой последовательности может быть найден непосредственно из выражения (3.10). Энергетический спектр кодовой последовательности Баркера при /г(!5) =1/У описывается выражением + ! 1Н (3.29) М 57 51П Х а при /г(!5) = — 1/А/ (3.39) где х=вгто. На рис.

3.7,а изображены зависимости !Н(х) !/)/Ф, 45 рассчитанные по формулаи (3.29), (3.30) для У=11; 13. Из рисунка видно, что амплитудные спектры при х=О, гс имеют или провал, или пик. Фазовые спектры для сигналов Баркера были рассчитаны численно и изображены на рис. 3.7,6 для тех же У, что и аматлитудиые спектры. На рнс. 3.8 изображены амплитудные спектры сигналов Баркера с й7=11 и 13, построенные согласно формуле (3.8), т.

е. при перемножении спектра одиночного импульса (3.8) на спектр кодовой последовательности (3.29) или (3.30) !12!. Тело неопределенности. На рис.. 3.9 и 3.10 изображены 1Р(т, й) ~ для й!=11; 13, построенные в соответствии с формулол (2.23) при й = — для ! =О, ~ 1, ..., ~ У. (3.31) та Ф Дискретные значения !)с(т, й) ~, полученные для 1=сопз! и )а=наг, соединены прямыми линиями. Как видно из рис. 3.9, 3.!О, основной,пнк тела неопределенности окружен довольно большими боковыми, пиками. Вдоль оси й боковые пики.не ~изображены, так как при выбранном смешении частоты (3.31) сечения !Я(т, й) ~ проходят через нули сечения !К11е11/~а Я(й) =и!п(йТ(2)((йТ72) (2,28), У=/Х Для Лг= 11 максимальное значее иие бокового пика равно 0,53 (!а~3, 1=~1), для й(=13 максимальное значение бокового пиг ка — 0,378 (!а=.+-2, 1=~1).

На- и личие относительно больших бо- 1 ковых пиков на плоскости (т, й) представляется естественным, йв 64 да аг сечугл так как сигналы Баркера (сч. 3 6 д и п л н ту д н и г е с п ~ а б л . 3 . 2 ) п о х о ж и н а с и н а л с л и сигналов Баркера с 31=11 „1и НЕйНОй ЧаетОтНОй МОДУЛЯЦИЕЙ =13 (ЛЧМ сигнал): чем больше вре- Рис.