Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985), страница 6

Еслн помеха является гауссовским случайным процессом, спектральная плотность которого равномерна (белый шум), то корреляционный ннтеграл имеет внд т г = ) х(() и(1) Й. ,(2.9) о Значение корреляцнонного интеграла (2.9) находится с помощью коррелятора (рнс. 2.5) нлн согласованного фильтра (рнс. 2.б). Основными элементамн коррелятора, как следует нз выражения (2.9), являются перемножнтель, генератор сигнала н интегратор. На перемножвтель поступают входной снтнал х(г) н 26 На рнс. 2.3 праведен пример распределения энергии сигнала на частотно временной плоскости (Т, 2).

Спектр сигнала сосредоточен около несущей частоты То .н располагается от ~о — Р/2 до ~о+7/2. Рнсунок имеет качественный харатстер, поскольку для фннитных сигналов энертня распределена в полосе 0((~Т, Щ ~ (оо. Посколъку комплексная огибающая является вндеоснгналом, то частотно-временнбй прямоугольник, на котором распределена основная часть энергии сигнала, будет расположен так, как это показано на рнс. 2.4.

Частотно-временной прямоугольник рнс. 2.4 получается нз базнсного прямоугольника рнс. 2.3 прн сме- щеннн последнего вниз по часто- ,У те на )о, чему н соответствует пе- реход от радиосигнала с несущей Уа' частотой )о к его комплексной огибающей. сигнал и(2) от генератора сигнал~а. Произведение я(1)и(1) интегрируется с момента прихода (1=0) и до момента окончания обнаруживаемого сигнала (1=Т). Отметим, что коррелятор является устройством с переменными параметрами, так как режим его ра:боты зависит от,изменения и(1) во времени. Поскольку операции х® ой! — (се ~— Рис. 2Л. Коррелятор Рис. 2.6. Согласонаннмй фильтр -умножения и интегрирования линейны, то коррелятор является .линейным устройством.

Имея в виду, что он отфильтровывает сигнал от помех и является линейным устройством с переменными параметрами, его иногда называют активным фильтром в отличие -от пассивных фильтров, параметры которых посгоянны во времени. Согласованный фильтр является, пассивным фильтром. Напряжение на выходе согласованного фильтра в момент окончания .сигнала (1=Т) с точностью до постоянного множителя а равно напряжению на выходе коррелятора У (Т) =аз.

(2.10) И~мпульсная характеристика согласованного фильтра й (1) = аи (Т вЂ” 1), (2.11) -которая по форме является зеркально отображенным сигналом с запаздыванием Т. Общим между коррелятором и согласованным фильтром является равенство (с точностью до постоянной) выходных напряжений в момент времени 1=Т. Это .н определяет их взаимную эквивалентность с точки зрения обнаружения сигнала. Различие заключается в следующем. Коррелятор является устройством с переменными во времени параметрами, а согласованный фильтр— устройством с постоянными параметрами.

Следствием этого яв.ляется то, что согласованный фильтр инвариантен относительно задержки сигнала и его начальной фазы (насколько эти величины изменятся в сигнале,на входе фильтра, настолько онн изменятся и в снгнале,на,выходе), а коррелятор не ннвариантен. Если сигнал имеет несколько неизмеряемых или измеряемых случайных параметров, то структура оптимального приемника изменяется, но его основная часть остается прежней, так каж всег.да должен быть согласованный фильтр или коррелятор.

Например, прн случайной начальной фазе сигнала в приемнике с сог.ласованным фильтром за фильтром должен следовать детектор 2В для выделения огибающей. В приемнике корреляционного типа должны быть второй (явадратурный) канал и схема выделения огибающей. Поэтому в оптимальном приемнике всегда есть согласованный фильтр или коррелятор. Коэффициент передачи согласованного фильтра с импульсной характеристикой (2.11) к(в) =ай(в) ехр ( — 1вТ), (2.12) где д(в) — опеквр сигнала, ' — знак комплексной сопряженности. Иэ (2.12) следует выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) 1к (в)1 = а (п (в)1 (2.13) и для фаэо частотной характеристики (ФЧХ) согласованного фильтра $ (в) = — в (в) — в Т.

(2.14) Из (2.13) следует, что АЧХ согласованного' фильтра тем больше, чем больше спектральная плотность сигнала. На рис. 2.7,а Рис. 2.7. Амплитудночастотиая и фаао-частотная характеристики со. гласонанного фильтра о) изображены амплитудный спектр сигнала а)й(в) (, спектральная плотность помехи Уе и АЧХ фильтра 1к(в)~, построенная в соответствии с (2.13).

Фазовый спектр сигнала ~р(в) и ФЧХ фильтра ф(в), описываемые уравнением (2.14), показаны на рис. 2.7,б. Штриховой линией изображены составляющие правой части уравнения (2.14). ФЧХ фильтра компенсирует фазовый спектр сигнала, в результате чего .на,выходе фильтра в явкой-то момент времени эое частотные составляющие отхлнка оказываютоя в фазе и, складываясь, дают максимум отклвка. Исключительная роль согласованного фильтра (или коррелятора) ~в оптимальном приемнике объясняется тем, что он маисимнзирует отношение сигнал-помеха иа своем выходе.

Это отношение при действии на входе фильтра белого шума со спектральной плотностью Уе и сигнала с энергией Е не зависит от формы сигнала д =)/2 Е/У . (2.15) При этом максимальное значение сигнала на выходе фильтра равно аЕ, а среднеквадратичеокое значение помехи — а~ГЕр)с)2. 27 2.3. Коррешщиоввые функции смгввлов Оптимальный прием сигналов осуществляется с помощью сог.пасоввнных фильтров или корреляторов. Нормированный отклик согласованного фильтра, определяемого с помощью интеграла свертки, Ф гж(т)= — ) ит(Г) и„(1 — т)Ж, (2.

16)' где и;(1) — сигнал на входе фильтра, согласованного с сигналом из(1). Энергии сигналов с номерами 1 и й равны Е, а т — сдвиг сигнала и;(1) относительно отклика иь(1)'. При )=я и т=О нз (2.16), отбрасывая .индексы, имеем О т (О) трах ~ и (г) е(1 (2.17)' что и определяет нормированность отклика согласованного фильтре. Выражение .в лравой части (2.16)' определяет интегралвную взаимосвязь между сигналами и;(1) и и«(г) при некотором сдвиге т.

Если т — переменная величина, то О«(т) — фуикционал, зависящий как от функций и;(1) н ии(1), так и от сдвига т. Именно поэтому О«(т) называется корреляционной функцией (КФ) сигналов и~(1) и и»(1). В зависимости от того, согласован нли не согласован сигнал с фильтром, имеется ли дополнительное доплеровское смешение несущей частоты сигнала, корреляционные функции имеют, различные представления. Взаимная 4уннция неопределенности (ВФН) двух сигналов с номерами 1 и я, по определению, .выражается через комплексные огибающие снгналов,и через нх спектры следующим образом: О )гл, (т, 1«) = — ) У~ (1) Ьь (1 — т) ею'Ж = 2Š— бт (а — О) б„(м) еьп д ы, (2.18) 4пЕ где т — сдвиг по времени между сигналами, Й вЂ” доплеровский сдвиг частоты.

С точностью до малых более высокого порядка нормированный отклик согласованного фильтра связан с ВФН (2.18) соотношением гтз (т, Й) = Йе Рж (т, й) ехр (1 в, т). (2.19)' зв Результаты, приведенные в данном параграфе, строго справедливы для помехи в инде гауссовского случайного процесса с равномерной спеквральной плотностью мощности («белый» шум). Вместе с тем коррелятор или согласованный фильтр (или их набор, или модификация) всегда входят в оптимальный приемник. Взаимокорреляционная функция 1'ВКФ) является сечением ВФН при 11=0. Полагая Я=О, из (2.18) получаем ФО %~А (т) 1 (// (1) (/ь (1 т) г(1 2Е 1 ОФ вЂ” бг (в) 6„(а) е'"' г(в. (2.20) 4нЕ Функция неонределенноети (ФН). Если фильтр согласован с сигналом, т.

е. /=я, то .из (2.18), опуокая индекс /, получаем определение ФН ОО Я (т, Я) = — )" (/ (г) (/ (/ — т) ею! а( = 2Е ° 0 — 6 (а — И) 6 (в) е'"' е(в. ~(2.21)' 4к Е Аетокорреляционная функция (АКФ) — сечение ФН,при Я=О. Полагая Я=О, из (2.21) находим Я(т)= 1 ) (/(/)(/(/ — т)г(/= 1 )" ~6(в)~'е'"'да. 2Е 4кЕ (2.22) Из равенства (2.22) видно, что АКФ является преобразованием Фурье энергетического спектра комплексной огибающей сигнала.

Согласно обратному преобразованию Фурье энергетический спектр О !6(а)14=2 Е )" Р(т) е-'"тдт . (2.23) СО Рассмотрим пример, иллюстрирующий свойства автокорреляпнонной функции. На рис. 2.8,а, 6 изображены простойсигналввнде прямоугольного импульса и его автокорреляционная функция. ' Максимум Я(т) приходится на момент окончания сигнала /=Т. Это объясняется тем, что /г(т) является нор~мированным напряжением на выходе фильтра, согласованного с входным сигналом, максимум которого совпадает с моментом окончания сигнала,т.е.

прн т= Т максимум /т (0) =1 н соответствии с (2.17). Для автокорреляцнонной функции ~в виде треугольного импульса, изображенной на рис. 2.8,б, энергетический спектр (квадрат модуля а~мплитудного спектра) в соответствии с (2.23) описывается функцией ~6 (а)!' =(з(п в Т/2)з/(в Т/2)з. (2.24) На рнс. 2.9,а изображен фазоманнпулнрованный шумоподобный сигнал (ФМ ШПС) длительностью Т, а на рис.