Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993), страница 5

ам та„ам т ау а а ау а'к а ахл аиг —,+ Зм' т амар иду эу ( И и аа т Змау аи т1 ау ть ау» 3 ачв я самос пятна н о еае т Г772 (Ъа 6.1. Функция и т (а,((, хъ нааывается цаыорснной функциея намерения т , сваи она опрелели4в в йт ч 1(й,О,ОЪ ) и лля лпбого К , О выпоанено соотномение аИас . Фу, 1»Ъ »"' а(м,у,»Ъ. Локввать, что длн всякой павкам дм$$еренцнрусной функции намерении пх спрввваливо равенство Сж — « у — а — Ъ и а а а а а„а а 7, ДййВЕУЬ)~ЦИЮВАЯИЕ НкйВНО ЭлДА«йй«Х еУИИПИД Пусть функции »г« < а, ..., ж„, у,,..., У у О, « «,...,нь )) ОбРВИавтСЯ Л НУЛЬ Л ТОЧКЕ М, <«С«о,...,п„ „ У«,, ..., У , Э; 2) днфференцируемы з окрестности точкй М, ; 3) лкобнан отличен от нуля а точке г«, .

Тогда сметена дд , ад ау, ву„ эл„эд эу, "' э„ алканий ур г«<с, „,з„, у,,...,у ) О, ««...,,и« (7.!) однозначно определяет а некоторой окрестности точки )у < ~ °, «о" х„ъ дифферанцируеныа функции у«1«< юс,,..., н„ъ, ««, „ удовлетлоряищие уралнениям (7.)) н условиям у«<уК7 У.

«ч!...,гп . Функции у< у«< х, „,н„~назыаавтся заданными неяапо услолмями (7.)). Дифференциалы этих функций могут быть нацаены нз сиате«ы у+ — у т«пу а«', вд в. дн ЭР Эл а, аг В Ъг нл 1 «Вг.к' + — — у н'(ну- - е«пай д» Эй дн ак а» ( Вам у а«ал.

д», эд э» вд. а дй ау э«а» Х ад ад ал.а.. В. У эт й). ая а ай дГ; т эд: — с(м 2.: — ' с<У„О, < «...,, (7.2) ~ «ап. 4 я-«аы„ С В " р ц Вт вз в ву функции д < и, ы), неявно спрсаеляемой ураененаем «'< и ул .у"~,саед Э-О. у Ф нк к Ренение, Полонны ««ду» у, ь» сое —, откуда, о учетом (7.2), получаем у вь эг' э зк э ай э эм в э»э„ ал аг жу-~ ал. и — Фзсу е — мху + — — ьоп— а.

а. .Э ау' Ю Вл' у сс (о у — — -~ в(ив а. у Фю амона пе ен в ли е ивльн вы вжзнн омена незвал нных пе сменных. Если з лвааеренцмальном лв ' Воо Ву 8ювч Виру Вув м уГи «Ъ у а(ы чЪ, тле и и ч - независимые переменные, то частные произзохные н опрахвзлитсл из уравненил а ал аз ах ау ах Эа 3Й Ж Ри ау ы (7.3) ал ах ау ах аз Ф аа Эч ау Э Дифференцируя соотновенил (7,3), можно получить соотновенил ллв произволных высиего порнлив Функции Х а,з ахз Пащ(а~~ 7,2, Преобразовать выражение à — Ъ + ( —,Ъ е попару' гел аеич, у а Гил- ч Ъ. 4 л в 2аиение. Разрезал систему ах ах а з относятеыж- «» — + и -я»вЂ” льно ай Эм откупа ах« Вх ( а ах з Г Ъ~ Г Ъ" у — у(Г« —.+и Ъ+ аз' Эу ио«ч Вы Э« Эи и в Вл Эу ах Эх а, а эу — юи — «ч , полуовем Гч — + и — Ъ.

Вд 4 Эх Эх а, ил+ ч Эо Э. ах а а. В -у — з Г» — -и — Ъ, ат ах в ахв е.л 4-(» — -и — ) )" ( — ) т( — ). а. а. а. а» 2. Земенв' невввисимых пе нонн н нх ии. Если новые пеев' ввсныые переменные 'и и » и новая фунвция ь»('и,») свяэены с нееввисвмыыи ререненными м н у и санкция» т ( м, у) соотноаенвями й»у(и,»,ы), у» 9(«,»,»»), х Ь(и,»,«), то чвотные производные 9» и — определяются иэ системы урввненнй зх ам еу зт ау Еуа .

а* Зв аеа Е» 9),З. — ( — + — — )+ — ( — +- — )-.— +— ал и« а а» ау а« а а» а« Е„ Е» ат зу ау а . ах Э ее а ° ау аа е, — ( — + — — ) т (-»»-~ — )»вЂ” ума. З а. Эу 9 За а Э Е Е Проиввохные высаего порнвкв аункции й новно определить ио уравнение, полученных поолвдоввтельныы дм(х)еренцнроввннем (?А). м»»т~. п~~ »,, (, ~ и зев е т та ах ю ы . м~ ненни м( — )+ у( — )» х — —, если ж»ые у»»е х,'»в, ам ау ь ау ! ° Равенне. Дифаеренцнруя вырввенив яля ~ по и н х, получввы (Ф+4)е 9, а,(В +«е а ) а (»В З".) а« ал „а. ах „а~ ах „'„а.

9» (и»ь)е — — (ие — )т — (е т»е"-а-) а« а а ау откуда следует системе урввнвнид а ах а, а* ад ((+ 9«. Зм Зи Эу 9« (?,6) ах е а* ах и( — — т(А+» — )— 9» ем а.,ау з Ревел евсееву (7.6) относительно ЗХ И ~Я м песо»виляя недденнне внравення в исконное урввнйе, пол)4веи и ( н» ) + ,ах,а а а» е» ( — ) ° ю 9» Э«з» 3 ачи ля свмоотоятельного внии 7. 1. нвйтн )' и 1е аля Функции у т Гаъ , опрввелен ной уравнением Кеплере у — язону ж ( осяс 1). 7.2. Найти —, —, — ), — .

— аля Яун- 91 ЭХ РХ УХ ЮХ аа ' ру ' В ' а Эу ' б~л кция 'Х анбло,у), опрекеллемоя уравнением к .тофа+ уз'„ и "аДТЬ 7;3. Найти Я-Е-, если А'Ги ту+к, зол+уз влЪ О Э ау 7.4. Нвйти и, Вм, б", г, если в) др ы.еов ~т, у~ив)н ) б) а е"~ ивояы, уюз» возы, и 7.5. Принимая и и е ва новые незввнсеее переменные, Эк —, Яя преобразовать уравнение и — + ъ~л+ ул — ау, еалм а„ и«Фм оз, ы 1» су+ч~А у'Ъ, ) ул Ф ~в.

нр у,а,р азу ф~ Й- — '~ а+су„Ъ )ь вырвзнть в полярных коорвинзтвх)з, су. 7.7. преобрваовзть уравнение Г то - х ) — ~ у — О, ря рл з~ вт приняв м за новую ~Я~пинию, в у и Х - вв новые йеременные. 7,8. Поолваовзтельнын яибференцироввниаы исключить произво- льные йтнкции / и ~ г з) Х ю ос т1Сйу>; оо ов б) 2 а/ 1 — л) $ в) Х ~у~оо~+у~ ) г) и ю Е( — ю лЪ $ ул ° у к Л) $ ~~(й) + У~У),' Е) Х ~лги) ОСУ),' Н) Х е «.Ю+У)тфГЮ-УЪ э)2зог1уЪРЕСй))н)тугое~и)ьзеС оо МС 7.9. Поолввоввтельныы явЩереицироввнлвм иоилвчить произволь- нлю Функцию у Си, чъ: г'йс, у, 1Ъ ф1ю-у, у-хЪ, ОТВЕТЫ К ЗАПАЧАМ ЛАЯ САНОСТОЯТЕИНЮГО РЕШЕНИЯ 1.2. в] линни уровня -.

параллельные пряные; б) окруинооти о центром в нвчвле коорвинвт, парзболонв врвиения; в) гиперболы, гиперболический пврвболонл) и) рио. 17; я) пооле перехолз к полярна коорвннатзм получзатоя лгл )зь сов вюзи (рно. !В); е) рис, 19. 34 !.б. Если значения лонстанты С брать с постоянным нагом, то картине линий уровня будет выглядеть как не ряс. 21 (разница в том, кек меняется расстояние мелку линиями уровня при удалении от коринны). Рис. 21 1.7.

Прн г ~ 0 - двуполосные гиперболоиды, при конус, прн С л 0 - сднояолосные гиперболоикы. 36 с =0- 1.3. Линии уровня - пряные, параллельные пряной а сс + + оосл + с 0 (ах густота монет меняться в зввисииости от поведения Функции ~у ); б) концентрические окрукности; а).кривые, симметричные относительно оси м ; г) кривые, симметричные относительно осей Ф и .с (и слааовательно, имеет центр симметрии в начале коорайнат); д) кекдый дуч, выкодяцнй из начала коораинвт, целиком нринцклвкит одной из линий уровня. 1.4. в).~(ос,жр '.)ж,)тес ' б) У <Ф(,юс ) )м, ) т 1 м, ); а)у(м„ос,) )з'а(о 4~у а ма,м,-4м,ж,.

1.б. Рис, 20. 1.8, а), б) не существует; в) О, 1. 11. у , О. О 1.12, в) неустранимый разрыв во воех точках внаа (1, -И„. б) неустранимый разрыв в начале коорпинат; в) уотренкыый разрыв в начале коорвинат (мохно лоопреаелить г<б,б) О ). 1. 13. Указание: линии уровня бынкции "рвостояние ло блиаайвей точки отрезке" состоят из пусков прямых н окрумностей. Для проототы ачитвйте лист бумаги бесконечным. 1.14. Дибо ~(м) и О , либо тсм) 1 Лля всех м , кроме, быть мовет, ю О, а Г'(О) - произвольное число. 2.

1. а) плоокая кривее, б) прострвнотвенная кривая, в), г) запаяна на плоскости нлн в проотранстае системы коорвинат, преобрвэоввннеь л) проецрроввние, мультипликация, е) пвумврная поверхнооть в Й 2.5. Сннусочпа. м «Чиэ~+иээ -Я эи-,+и, Чи,~и ю~ Гй+гсов иэЪооь и, Юэ (Р чт оов иэ) вои м, ж ° ивцъм Ф э р, й 2.8. У(ос зэ,м э сю — -' ю,ас - 'ю ~. з е, ' ° ~ ° ' 2+ а) отобрвэенне кавлрвта нв плоокооть эвяаетоя 4ормула- мм Х, - "'в Хэ ж, - мь; квадрат переходят ° пвраяяелегрюа с вер- шинами (-1~0,0), (-2,-1,0,(-1, 1,0),(-2,0,0) 1 б) тань кмевт форму алланов, иэ э Ф,тюл эааввавыого уравнением л + и 1, гае и е — + йчя в л ' л Ю Юь "мэ и Л' 2.10.

эоэ . -4 сот — О. 3,2. "Коорвкнаты" гравнента уввлрчквавтся в ава раза, в то время как каораинаты "нвотоящего" вектора воланы уменынться а вва реза, З.З. и) Гролнант не нерпенпккуляре лннням уровня; б) там, .'Уя тле линни уровня блине псяколят крут н лруту, Этиицня растет быстров, н аначат траккент коллен быть больае; а) в секловОа точас тралнент колчан быть раасн нуле. 0.4.