Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993), страница 4

дкфференцируеность функции у <м, уэ в точке (0,0), получим Равенство /(с~а, йу~ в~ц1~ бу 'е — с(м .т — ~ й у 0((Яэс)+(буй ) 0(((бм)~М) '), ау М э ив $ и а <ою ру (о,о) кэ которого прк Пэо ° с(у олеэует соотношение г(йос, АосЪ (с(м) ю а(йшъ, что невоэмовно. юь 0сновныв свойства н ен иэлв. 1. Прифнетическне свойстве, коли функции у(д<,..., д„~ и о( а„..., м„Ъ вифференцируемы в двиной точке, то: а)4(ф41 ~ й Йт, если й сопвХ; б) 4Ц+о) б~+4~Ф б( ~, р об~~.)бо) г)с((У/ф) уф~ — ~ (о — — с~ о~ .

и. э.ар эа~ чш чр Пиффшрейнйквла, Формула (4.3) остается справедливой; волн ергуненты 'о,, „, а„ нв являатая незввисиыымэ перемэннынн, е является днфференцируеыйии функциями,вругих переменных Примвр 4.3.)й волить дифференциал функции У(м,у) ".'""', дй+уэ ~аППе.Пайвый способ. Польэуеишя инвариантностьш перв рго дифференциала! < ь.ув)„„,а уа) („~ Уь,й(„ь,уа) (<~ ю < ма,„ь)а <м+ уь)<2 Мм- 2УАУ)- <м-у~)(амом4уйу) <мэ.

1)й < у') и <УАос -мйу). Второй способ. Находим настина производные -~ -йса(ос ьу )-2 с(м -у'),бм а г и ь < ~~~ У.ь «и (,саьув)а йф -ту(м~-у~)- 22(м*-ут) Ю Ю у„ (м* у')' <м+у ) аму стхуда сачкует равенство 4) ю — ( уйж - мчу). (ьь'+у')' Восстановление ии по а и е ал Пусть функции Д (т, у) и К(м, у) непрерывны и имеют непрерывные частные произачаные в сдносаизной области )) е ВВ <ото означает, что асс тсчКН, леаацив внутри лабой замкнутой, нв амавцей самопвресечвний ломаной, располокенной 'а )) , долины тадао лвавть в )) ).

Дли того, чтобы аырааениеру(ж,у)Ьж+Р<м,у)Й» было ди<ррвренциалом нвкоторой фнкции и<м у), необходиыо и достаточно, чтобы выполнааось условии д ГУ Ы . Тогда йу ум функции ьь < м у) панно опрцаелнть слой)имам обрааом: пусть М(м;у) — ° М(х,у) -. Тогда ьь(м,у) ~ВУ<м,'у)йм+ аы ач ум ' ау "су(у).

— - — ~М(ос,урсс+ у(у) Ф(м,у), Ч(у) В а / Ф йу йу Ф(м,у) - — ~В<(', уМх, Ч(у» ВСЯ(м,у)- -" а Э ау ау и )"В<м,у)с< о ) с<у. ~)ример 4,4 Вычислить йункцим ир,у),иоан Л (:с, у) « 4 бм'у та", Ф(м,.у) м . Реша~ив> и<м,у) 1<ли~у +с"Ъ бм т <(<У) ослу тв +>(<у>> Уи 4 4 Л/<м,у) ~ -о.+~у<у),у(у) й откуда и<и,уЪ ж у+в >с.

>> у 3 ачи ля самостоятельного швн 4 . 1. исследовать фуницнс нв дифференцируемость в точке (О,О). Если ответ оквается полоиительныи, найти дифференциал: ~Е й)и + ле О б) >л<вуЪ М и -о. а.И.И ><,д.~( ~' / > .Л, В ция у<со, у) диф)ервнцируема в точке (0,0) тогда и только тогда, когда выполнено условие ! <по 0 н функция <(<1Ъ неп- <)<<Ъ 4-ьот рернвнв справа а точке О.

4 .Э. Известно, что линии уровни функции Г <и, уЪ , взятыв о лвбыы постоянным шагом У< , прапстввлаит ообой ревноудаленные пана от другой окруаности о цвнтроы в точке (0,0). Являвтоя ли 'функция у <ос,>у» дифференцируеыой а точка (0,0)7 4.4. Пусть функции Р<и у, хъ Я (м, у,хъ Я<а:,у,хъ имеет непрерывные честные производные йо сс, у, Х в сдноовяаной (продумать соответствушцее определенна!) области Э с й) и Для и 'того, чтобы вы ракен па Р <х, у, и Ъ Ы сс .ь б) <м, у, х Ъ Ы у а- й (сс, у, хЪ<(к было дифференциалом некоторой <(а>нации и<се, у, хЪ, нвобхф<ыо и ,костаточнс, чтобы и З выполняансь слаауищие ревенотаа:— аа а() аю аа э~ ю — > — — . Проверить, явля- а ' Эх ау а ух атол ли приведенные нмкв выреаения дийференцивлами функций, и, иопользуя армен, раереботанный лля случая двух переменных, найти вти (ункции (таы, где ответ полоаителен): а) (Ыи Ъ(сь -йухЪЫм +<уз-й<скь<(у+<хе-й>суь>(т< $ 61 (Ыи Ъ(4- — +-Ъ<(м+< — ~ — ЪЫу - — у ЫХ; $ У и Ф ос у х х у' ха (а+у-ХЪЫм+ <к+у-хЪЫу+ <и>+и хЪЫх а) (Ы«Ъ Зс ~у*+ Х ьйссу й 8.

ЕйайЕРЕНЦИРОЕйнНЕ СИОжаи йУНКЦИЕ Если т г'( и, у~ есть дифференцируемея фунхция аргументов ж н у , которые, в снов очвревь, являвтся дифферзнцнруемыми функциями наэзвисвмсго аргументе ф; м ° ((( (ъ, у « Е яЪ то производная словной функ(н(ии Х « ~((~((ъ, ф ( СЯ монет быть вычислена по формуле — " .„ ~яй ни.. ит » нх ~Й дл <И ао«у не Зависимость функции от аргументов и ссотвзтствуоцув послед ность дифференцирований удобна выразить диаграммой( 8 частности, воли г совпадает о одним из аргунентов, напрннер с аргунентоы и , то "полнел производная" функции » по (в равна ((» У» Зв с(у «« а~ р ау (.

ПЕннеЕД,~. Найти и, воли д д у ~г(и> ав а» у Е(з ((м Ут у-( ((» Ее Вз з(у ЕЕюЕн низ( у д; «+ « Есс ((Ф 9(с ф М И + и' (и а +(г((вЪ жт[- ь $с в((((аЪ), т-( Ф У Ф Если к - слоинзя функция несаольиих названо(них перемцйных, например х у ((о, уу гдв и (у(и,ы~, у (р(и тъ (( и - незавнсимыв переменные, а ф, у и (Г - дифференцируемые фуницни, то для частных проне»ад(а(х ~$ и я® спранапаиан формулы й( а р Уд а ф ай а эй а, « 'Ф' а Э г Эвф ««еы«.«.««э т «« .

«~нР руемв, проварить ревенство х — т «лу —,1ьт а- ««т «если ау у ' ау ах Оу Е и У у<х.у«л) х а<- ~еавнние: ах — ~ах а< — л ° — д) х ~ э <- — ат))+ ~«< р)~« У й, а 1у а уьт аи хат ам хд ау „ал 1 . „Ва ау „ай 1 л.дао э е - 9 - о ау аы хи а,. ат а. д й, ' ау зу ау «е — е «ту — 'рт — «т г««х,у, л), а ау а* 3 ачи я самостоятельного Ь. 1. Найти чвстнуп проиэводнув— ат а 4<к мт — функции й <оо,у) е, где у ц«х б.2.

Для «Инации й ху са Сх, у) и.а. для функции т - у <х'у, ху' вшвнил и полную проиэводнуп глсх). ат найти — . ) найти — и оат У т б. ДИЙФИУа«И1ИййЫ ВИЗШИХ Н)РЯДИОВ « -««, «« дифференцируеыой е точке 1т. <ж,уъ, если она дкфференцируеиа в этой точке н ее частные пронэводныв первого поряпка яалявтоя дифференцируеыыии функцияыи в точке М<х, у) .

л ~б.«:«6«« „, „„,«„,„р „'«««„ ции т Г Сх, у) нвэывается дифгэрэнцивл от ее лнйференциала первого порядке, раосыатриэаеыого как функция переменнык х и у прк фнксироэанныл значениях цх и о<у : И т «э <«« т) . Прн этом справедлива фориула э г э ау, гт а т л э<х +2 «<е«1у + Ыу дх' а ау 2 «л х «ем +НУ ) к а а о а ау И. Т) Этв форнула раскрнвввтся по бнномиальному ввкону. Нвпрнввр, для дифференциале третьего порякха спрвввплнвв форц«ла ь Ф. 3 ь ак а ах' л Зх, еа, сУ к~ сУФ +3 «Уй Ну+в Нм~~у т фу уев сж'ру а ау руь Точно так ке вводится понятна днфреренцнрувностн функция трех н большего числе неоависнмых переменных. ««дл«п, «*у л то О~ ы в О.

« - я *и угу ° ь*й*«, «,~ .„„ са и Исав л л м~Фн«с +уНу + к«хх) Э 1 «УФ «Уу м'+ул«х' У (аЫн ч у«аут х«Ух) Ыуе Нх— л Ин4н у«УУ+ММх )к +у Фх ~У+ уг+ хз -«« '«'*'««Ы+~«'. «*'«- х ч«у тт 1 — глсйт~уИУ+ хй) )~со чучел~) > 0 «,~«.«. ««, и', * *- ° ' «' ' с '+«'«. ~манне: Их. 2 мИн гу«уу +совСмь+ ув)СгаЫн+Уу«уу) = Л(абн+УЙУ)0.свесы~у)) .Считая нх н с1У постояннынн«проднфреренцнруен выраявнне для й х: ~2 1 о<Их) 2Ям' ыуа) ч Ф н1 «совсс +у ))+2~нбн+убу)с-вноснаеут))<вснх~ пну) уй~ сов Сж~+ у~))~бес' Ну')-в~и Тм' у'>Сабы усу)л) Аналогично оправеляется триады'днфференцнруенвя бункцня н дифференциал третьего поряаке: й х И Ся х), а текле днфферень г цнал ц -го поряпка: «л"х «УСсУ" ~х). дифференциал и -порядка функция х /гн,у) двух невввисныых переменных поено вправить твк: так как па неравенству Нона - Вунявскогс мйи +уНу+»Ы» сСж+а+ъ Ъ Им +Нт + 4» Ъ ем~ а т а ив Напомним, что в случае, когда переменные м и у является дифйеренцируеныни фнпцнами других нееавиоимых переменнык, выра- кение (4.3) лла первого ди$$еренциала бэнкции сохраняет свой вна (свойотво анвврквнтности первого дифаервнцивла).

Ыырваення для дифференциалов аысвик порпаков слоаной функции, вообще говоря, отличветса от (Б.1). Например, дифференциал второго соркина выраааетсл форнулсй л а а а ал х аа и х Им — ." о(у — Ъ я ~ — ~( к " — с(У а ° ау а ау ц~ил. н в, . * *-Ф\, ют з' а'» аи* з а гле лс ю и ы, е И . т Щайййв: З'» а 1 з ау ау — + — — Ъу + 0 — +Π—" 3иа ам т Эу Зм Эу , а'у а'у . 1 а'ю М ай '1— З * э~ау те зд' Зу З (З а и а ЗУ 1 За Ст — — Ъ(и — - -Я ю-)~.сЗыа.