Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993), страница 2

Укззвние к ввривнту в); грнзнить рсаеннны запвч, 1.2,д). 1.0. нострокть грпфики Функций, картине линия у( и я к ~ь) .х ен ~плит, квк з знлвче !. 1. 1.7. Квк внгляаят поверхности уровня 4ункцни трех пвременсь (х,, х, й ) ха хь- с(т Как ивэывавтся эти поверхностиу ° ь ю л 3 1.8. Выяснить вопрос о сукестэованин прааела данных 4ункцня с х, у) со, о) . Если окакется, что прапел суцествует, выФу .

лить его) а) усх,у) ~ —; б) фсх,у) —,— у х~т ф ту хул усх,у) 3 . ф 1.В.Похавать,что дия 4у)кирси у(м,у)ех у /(х у (я-у) ) та ах Ю .Нйолнкетсв равенство (сеъ 4 1(фн лсх у)~ ю4(гф [ фсо~ фсм ы)1 й.е.е у о ' у.~е м~.о чо прааел 1(н у с х у) не суцествует. см,у) со.о) 1.10. показать, что для 4)нации у сх,у) ~(х ~ у)есч — вю4. у орвделы Фсп) 4(ото усх, т) 1 н 1(ее ! (ст усы у)~ не «о у о уе'с х юа суцаствувт„но предел 4(м у' с и И ) суцествует. сх.ч) сцс) 1.11.

Расснотрии ваарс сбьеном У~, в.дне которого имеетс отверстие плоцаььи ~ . В начальный момент времени вахро целикон заполнено волок, потом вода начинает выливаться чарек отверстие. Вудам считать, что схорость вылиаання вцхн просо(х(иональна а Обозначим М(с,я) объем воды, оставведся в иваре к моменту времена у . Вычислять првкелы 1( о 1 (с 1с((,тЪ1к 1с ~ [ 1(г У(ч,а)1.

к о г о 1. 12. Исслваовать на непрерывность 4ункцки иэ эаяачк 1.9, доопранелнв нк а грвничнмх точках естестаенноя области опрвхелеци 1. 1сн. Нв обратной стороне листа бумаги нарисован отрезок единнчноя длинм, Заплатив окну копвяку, вы монета узнать расстояние от выбранной точки да блиавйиея х неи точки отреэка.

Иак вычислить рвсполокение отрезка, эаплаткв как монно меньив денег? 1. 14н. найти все 4ункцни одной переменной, уаовлетаорянцке тохвестэу х /су) + ужасы) ~ сй+у)/сх)~су) %е,уа и(, Ф 2. ВИ(ТОИйк ФУ)ФАИК ВИ(ТОРНОГО АИУ)ИНТЛ ихнее ~д. в в.в ь ц в р ° .р~ эываетсл пахан соответствия Г', котормя канкану элементу х " Ивась и далее "эаеакочкоя" поыечены захачи повыаенноИ слочности. 10 (м, , ос„) некоторого мноаестзв Ъ с И" сопоставляет вектор у ~ /с%) н )й . Множество ЭГ иазйзвзтся облзстьи определения, в мноазотво и. 1 ) у ОИ ~; % еЪ") - облвстьн значений функции Векториуа функции удобно рассматривать как совокупность сквлярннх функций~ ( й,, „ „ ч .) ° 1 1а,, „ , Ж„ Ъ „или У, .

/з 1Ф1,, ую /п ( ось °" ° з~ Превер Я,~. Отабрзазние у': ф с )р(а заазно формулзни с у ю а:. овв (облаоть опреаалзния Ъ ь оого отобракенвя - не зся плоскость ~' , в тв ее часть, где,' во ь 6 ). Требуется выяснить: 1) а кексе мноазство отобраавется квадрат 1 с Ф в й $ 1Ф и! ай', 2) какое мнокество при данном отобракеикк отобрзаается а кваарат с 1еу вй фбйвбй Рйаенйе. уннокиз первое из уравнений, задающих данное отабрзаенвка, нв второе„получим у (/ ~ ва, а.разделив, ь у /у э 3 Ф в $ з ю . Поэтому прямой й с ,соответствует гипербола й у 4 4 ' в з л Св р а прямой Ж с п(мнвк а /й я с1 ° Нз границе кззп а в 3 Ю рата либо г 1, либо С й ° либо Е 1, либо с й .

в '~ я Образ квадрата - фигура, ограничзннан дауна гиперболаии н двумя лучами, внходяйими из начала коорпинвт (рис. 6). Рис. б 11 Рассыотрим назарет нв плоскости у (у и . При (( с полУчаем гнпеуболУ и| Сс во, РРИ '- Уаф пРЯмрм,. й ЛВ | л ь«а Ф 4 ° с' . прообраз квааратв состоит на лвул с|ив|ее(а|чнык частей (рис. б). "Ув Рис. 6 п~~~«.ь«, «»-р ° коораинат иаи отобракенив И ° й( . а Решйндее. Рвсснотрим часть плоскости о "декартовыми" коораи натвыи ( р,|л) н отобрвавние ~|в ю )о спею( . Честь плоскости ~,я ре'и «т (р,|() .выбирают так, чтобы ев обрезоы была вся пяоокость (|к |в Ъ Обычно берут полуполосу)Ом р с + ее . Соответстау Ю.,"- виве отобрааение оквэываетсв взонмно-олмовначным везде, кроме то чек, где и О .

Причина этого - в бессмысленности понятия "нв правление нулевого вектора". Крянин р юсопаь и «г ~сопа1 соот оетстаувт окрукнооти и лучм на плоскости зо 0 со (рно. 7). Прн атобрааеннн из В в ))(е область 2 двумерной плос- а й | ° кости переходит, нвк правило, в нвкоторув даумернув поввркность а З: («,,ир (ж,(мь,ил), л (и„нл),|т (и,,илО. 'мы«,'«э. и ° « -' Л ~ (~,",«,'> ~'«' ц',««и, — ее « ц с +ос'~,Какая поверхность получветсн при отобракенни а < и; » Юсов и,, а «и |и чЮа(п и,9 12 ~епППяе.

н< + а и. . Получввнвяся поверхность— $ я 1 пилиняр хряс. 8). .. Капля поавряность'пояучавтсн яэ прпнсуюльняяв э: ~и, ир( они, ай~с,-йряиенб3.'прп отбре пн а У сан цл сов нл З юЯМКи сепия, й -уа!н ияр ~ещПпе. а, + пт + а ~ Я . Получается сборе, Заветна, а я в я что, в отлпчпв от яреааунего примере, пря етсм отобрваенян пронсхояпт саатне, тон больнее, ча< бавяв я полюсам е4еры. Пфафф 2Д.

Рвсснотрвть пвнтрельнсе провнпроввняе прсстрян- взтстзуат отобракзния; з) щ з )рл б) )з~ 2(з; ) у(а с й ,'г)9 в 9;л) й в й;в) ))~~в % 2.2. Рассмотрите слалувщиз отобрзкзния Ж а % а ) щ ж б) у а,-жл, ) у ~с -ос з) а,- и,+~, улюйф-ъжл у ф -с, р ~фз-я Для кзклогс из зтпя отобраавний нвбкитв.' 1) о раз иа йлоскости л 0 кв а у алрвт /1ба бр, лвчаавгс нв плоскости к де, ~Ос а,л1 2) прообраз на плоскости (р ()» отрезка ЛВ, леаащего на плоскости у О у, тле А (1,2), Н (1,-1).

2.3. $ля отобрзкения из примерз 2.5 на((анте образ лваащзго на плоскости ос Ощл треугольнике ЯВС, гле А(1,1), В(2~1) ° С(2,2) на плоскости у ду . .е. знтарпретмроаатз с~зрачесрв и цвлинлрическув систе~н коорванат как отобрааания )ЗЗ ~-а й~(см. пример 2.2). Зо что отобразаетса пвосаости (о. санов ° у сонет, В соаа1 ~ т топите и эосна2 т ЗО Чтс Парвяааат П(ММНЕ ,(в сонИ, )о юоанеФ, лт аавбЬ, гу оапек, Р~сепМ.

д~еепвл, т»чтбйак з. бане%, З ессне$, ~~~ сосал уесфнаЮ З ю санат т З.б. (Ъе юч ° . ~ъа~ оберщтла лисам брнагм н разрезали новом наискосок. После атего осле атего ласт бзнагм развернула. )(акре линас лралстлалявт собой арве разрезанного листа брмагат 2-б. Запасала ' - .

Запасала 4о(в(таама отобрааенмв, которое получаетсл, коза нз паатирргв ' ° онзст 2,7, Записать форнуламн отобрлкение, "скленввющее" иэ пряно- угольника тор (рис. 11). Рис. 11 т 2.0. Раоомот ть проецирование Щ на плоскость ® Он Ф вдоль направлении У (и, Ф рр как отобрвкенив и( ь. ИФ, В какуе точку отобраааетоя точка о коораинвтвми ( а; а , ж Ъ 9 2,9. Солнечные лучи павапт на плоокооть в найрввленин, составляющем члииаковне углы оо всеми трема осами коорпинат. Иакова форма тени, отбрванваеноб на плоокость й, Ош л .

в) квалратом к -0 , лшкащнм в плоскости ,Ф Ож 3 1с щ'ет 1С щ' Су, б) шерон й~ +щй т1щ' -2у С( з 2. 10. Йоточйик авета рпополокен в точке с коорпинатами ( 1,0,2). Какуе тень отбрасывает нв плоокооть ло, О ж швр <вл + + ~в +1нь-1) С а (нвписвтЬ Уравнение границы тени)7 ю л 2.П", Рассмотрим сфер) евиничного рапиуса, каоавщушся плоскости й Ож в начале коорвинат (сфера Римана), Цокввите, что центрваьйое проецировенио ио соверного полшоа Ф вовкино-опнооночно отобраввет сферу о внаолотнн саперным полшоон нв плоокость чон ~р., ил — и; Рис, 12 1О Обозначин 1 эсэ > щл, и ~ кооРлинэтн точки Р на сфеРе и э г Х Хр коорлинаты соответствушщей ей точки нэ плоскости ж 5 и .

Задавим на сфере таккв сферические косрэинаты э Ф 1и и ), где иэ - угол нечку паоокостьв 01ч'Р и коорлинати, ной плоокоотьп й Ощь; и - угол нечку лучои 0 Р и коораннэтноя плоокостьш эг 0 щ .(Кооркината и не опреэеленэ толь! л ' Ф ко в северном и вином полисах.) Напишите фо)л>улы, вырвчающие: а) Х>,Хэ через и,.ыэ: б) Фл,щз мэчерз аю.и > э) щ> щд отэ через Хэ Х $ З.ЧАСТНИК ПРОИЗВОДЫЕ ~л~ыэл->л.>»- - ь» 1) '" Я д ~ у'1щл щ Ъ, и выбрана точка Р с коор>» я» дннатани гщо щеу.

Зафиксировав эсе переменные,кране 1 -В: о ы Щ ° ЭГ>,.„> Щ» »от) > а>( м Ж > .. °,,й в(й > ЫЫ получин $унхцнв одйой переыщн>оВ у»л1щэ дс' м' у . Коля получившалая фв>нкция юеет проиавоа4т$» ''' ° л ную при щ >в' , то ета проиэвсаная называется 1 В частноя производно1) функции у н обозначается ,ва (нлн у ' , нли ~Р ).

УЩА Геометрический онысх чаотннх проиэвппных для случая гэ 2 состоит в слалувщен: провааеы через точку Г>я >ще у1>ш щ т~ вертикальные плоскости Ф аэ н щ щэ . Они пврвсекут ' график функции щ у < ат м эпо кривнй, эаванннн уравнениями э 4 ° 3 й ф(>ш' щ ч н Фэ, лг>в, сс»а). Если'ати кривыа инаят касательные в точка 1асэ щр. л<й» щ»э), то тангенсы углов нвклол' ° на этих касательных рваны рял гу1 >щ»» и Й ~>ш» ээ», ) ф л ° а рщ ° ° э (рис. 13).