Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993)

Иосиоасимй гооуиарстаеннмй технический университет . Н.В.Ваум В.Г.Вогомолоа, М.В.Матаееа, А.В.Филнновсиий АИййЕРЕИИИАЕВИОЕ ИСЧИСЕЕНИВ ИУВКИИИ ИКОФЯЬЕИК ПЕРЕМйИИИК Метаиичеокае уиааанаа и тиковому расчету ао курсу 'Матаматачеоиий анализ' Паи раиакцивй А.В.Канаева Иааательотио МГту ИЭИ ИК 22. 161.1 В74 Рсценвеит В.й.йермалее В74 Вегомолов В,Г., Матйеев М.В., Фалвновсавй Ф.В. Диййеренцисльиов исчисление Фрнацай несвольвап аеремснинз: Мотоличесвае уаееспив а тваовщ рссчету ио аурсу Мствмстачесаай еаслас' / Вол р». Копвевс А.В. - М.: Ива-ва МГГУ, - 60 с1ВВй Ф'-7ОВФ4ЭФ7-Ф В иетолачеоввп увеввиивп привезена арсенис теоретнчесане свваениа, ревсбрепнае првиейм, вмвчв зла есмостовтельното ранении, в том числе вппвчв олиипиввного' уровне.

е тевсв условна тапового расчета. дав стузеитев пврвото аурсе роев опсаиальностей (впличсп специсльность ~йриалвлпеп мвтенставв'), в теапе' ллв аруааосой ропоты. Ил. 21, Ваблнотр. 4 наев. ВВК 22.161.1 © ИГРУ а . М,В.Вщ енв, ЮЭ. $1. СКАЛЯРЙЕ ФУНКМИИ ВККТОРНОГО АРГУМ1мТА ОпВейвленИВ Дл~, СкалЯРной брнкцией вектоРного аРгУмента «зывэется веком соответствия 1 , который канкану алвменту Менстсрого мнокестээ 1у ~ эре сопоставляет некото- л Ипе чноло у Йййуцй . Миоаестэо 11 наэыээется областье опре- я .ввленил Функции у, а нноквстэо й, ( лгм>~~ к 1у )- областьв «начений. Функции у. называет телке функцией ц парененнык м„ и' и пннут у~ф~а В тек случаях, когда йноаество 3 не эвдано, рвсснетривавт еотественную область опрапеленяя, т.е. мноаество всея энвченнй аргументе %, для кото1ых выреаение /(4 у кнеет смысл.' ПВнйед Ал1, Найти и нэобравить на плоокооти ж Оа естеатееннУп облэоть опРакеленил ФУнкции ~1м, млъ пгсв1п т,х э + 1п Г1-м,Ъ.

уеуееМВВ. Естественная облаоть определения данной Функции эадевтся Сяалуицкни Нарээвмотэани1 А КМ ЭЭ Е1; 1-ОСЭ е О. ю л ь Уолоэинся обоэначать участок граннцм сплоаной лимией, если он прннаплеэит даннону мнокаотву, и прерывистой линией, если не прннвплекнт. Тогда Тэу вмглиаит, как покаэано на рис. 1. Снос го аоб кен Ху ий и пе енн 1. Рафа~ фикции.

В случае ээ в 2 мокно преастевить фуикцю, построив ее грабил, т.е. мнонаство точен Юэ, ~(мэ,мэ, м,у ц ВА 1эс Ф<а илу гэо ж ьа эу) (область опреаеления В лепит в плоскости Рис. 1 ц', Р м , энвченне Фу«яцик отклаэнвэвтся но третьей оси). Л~~п.н А Р построить гробин Функции /бц„мр 1-(м,-А) -уСэсэ-ЪЪ Выас- э л нмгь, а каков ннокеотво двннал фуйкцня отобракэет прянув, эедан- '-'роэнанкцВ фв е Вь Реаенне. Данная фрницмя опрааелвнэ для вовк значений аргумента, т.е. А) Л(в . (!оокольку камаза нэ наличии Са -!)э у ! и Сх - ъ> принимает незавмоимо от другой вое значения от О до + ее , то область значений ь. ~ (-ее ! 1 ° ГРэрии Функцинф ° эллиптический пвраболоиз о вврзнной (1,3,1). Фиксируя аначвние пвРвого зРгУментз ц' в 3, полУчвем ф(З,!азЪ -Ъ-йбм -ъ3, л откупа видно, что пряйая Ж ° 3 ртобраааетоя в луч (-еч,-ь).

2. Линии и поэеПхноотиурозня. Ощщвление ~Д, Линией уровни анкина у( а, дв) нзэываетоя кривая в плоокоотн м Ом эааэнная уравнением у(м м у с, гле е - конотанта. 4 л Девая константе С рээличныз эначенмя, получает различные линми уровня данной функции. Обычно изобрзават линни уровня, ооотвзтотвузмне значениям конотанты о , отличэвмиыоя олно от другого на поотояннуа величану (Ь /! а е~к ор иуда е" ц р" нера 1.2. Поотронть линна уровню, проходмц(в через точку (2,б). Решение.

Аннин уровйя эааавтся уравнениен ! -(ж -!у -2!Ф -ъъ «о. л э ! г Прн сь ! получаетоя цуотое нноазотво, при с ! - одна точна (1,3), при о с 1 - зллипоы, виденные уравнениями см' -(> см -э) з' а л ~ л !. !" с С(-счй Через точку (2,6) проходит линия уровня, соответотвуецвл значение константы о у ( 2, ЬЪ - 6 .

Это аллино, уравнение которого (м„-1) (Фл -Ъ)у Заметны, что по мере удаления от точ- 9 912 ки (1,3) гуотота семейства линиЯ уровня увзличиваатол. Связь мекку двуыя опособвын нэобраяения ф~нкции двух переменных показана на рио. 2: линия уровня - это проекция на плоокооть х Ож линии переоечения граФикз Функции и' у(а и ) ! л э ! ° л и плоскости, заааввемой уравнениеы Ф ~ о , параллельной плос- 3 кости м„дал. При р = 3 вместо линий Уровня раооывтрнвавт поверхности уровня, прн и ~ 3 - гипврповерхноотн.

П ел и неп внооть нк нй неоколькнх пе енных ы"" з ,,„~,,з. ~ .....,,.—. л-<,...,-~ В и у (у„,. у )ай" нвэываетоя число „оС%,е Ъ (м -и +...+(м -уъ ь " о о 7 оп )уенкв 1,ч. Проколотой 8 -окрестностью точки ;Оп й ( то) Назнаавтоя МНОаеотэО О ('ПЭ: )уСЯЬ")О ч ч )э(м, у) ч Э ). 3 Таким образом, Ой с Ю - ото открытый и -мерный нар рапи. уса с с центром в точке % , нэ которого улвленв сзнв точка % поы~!б.т. ° ~ %" -- Р .Йа мнокества А сй, если У8 ~0 О~(%>ЛА+)й, т.в. квапвя проколотая 8 -окрестность точки сэ сопераит точки нз мноаества А Заметаю, что прааельнав точка нноавствв А ыоавт как прннаэлеазть, твк н не прннаплеавть самому мноаеству д 0прйвйлвйе ~,бь Пусть у; 'ф - лс - йинкцня, Ъ - провальная точка ев области опракэле((ия Р Число й нвзываетсп прааелом йэнищин ~ а точке а по нноавотву З (кинут Фчн /(мЪ й), если Уэ ь О Лб» О, такое, что иэ У й уса ° Йа О (а)ОЬ .слаэует ) у(аъ- й ( чс Если ясно, о каком ыноавстзе Ь кает речь, символ Ь псэ знаком прелвла не скаут.

-„+Длт цт,з. оеь ю'3~ .д- " в точке (0,0); и качестве Э рассмотреть эсо область опрааеления. ~равнине. Точка (0,0) нв прнналлечит естественной области опрелелвння канной (фикции, но лвляется ее праэвльной точкой. Покааэм, что Йпь Фсм, у ) ° 0 . Пуоть $ ь к ч О Половим (м,уэ (о,о)' 5 В~~-1/Иа~ . Для гм,уха 0'йо,о)) инеем и'+у'сб~- Ю -! ю г а л -4 мл'зу' , значит ло руа2(а у ос —;е <Е 2 Дне (гк что н требовалось. Напонним, что длв функций одной переменноа рассматрнввптс~ понятия "привал слева" и "прааел оправа".

В случае функции неся~ лысых переменных вариантов приблиаения к прааельноа точке бесконечно много, панако они все могут бмть описаны в терминах оправ~ ленив 1.6, если соотаатствувщим образом уменьаить область опрелг аения функпдн ~4. Л Ь Щ Я,Р) '-У 1( ' У'~ Наати ПРааак ПРИ (СС у~ ° ( О, О) В СЛУЧаЕ, КОГЛа: а) Ъ вЂ” ЛУЧ выходвщий из начала коораинвт; б) Э - ися область опракеления. ~моиза. Данная функция опраавленв на воен плоскости, эа ~ влечением точки (0,0). Пусть Р - луч, саставляищиа угол су с полоаительныы направлением оси щ . тогда е-к' ) оа Ч-,я' ~а щ з ° а у ар[ар Фоа 2~2. Итак, прааел зависит от направления, и значит, преаела для случая.

когда Э - вся область опралвления, не существует. ПДицед 1Л. Для функции /(а,у) рх~у Дал+ у') найти орг дел в точке (0,0) е случае, коган: а) Ь - луч, выксллщия иэ начала коораинат,' б) Р - парабола у щ ; а) О - всп область а опракеления. Дааемннве. В случае а) для луче, составляющего угол су с полоантельным направаением оси м , имеен ум т врсоа ~у а(н л а 11п~ е'щ ° ! Ю <м,ут (О,ОО,Р Оь а~рсоа у> уе)оазасу т.е, данных прааел не зависит от направления луча. В случае 6) у аа и уа у да~а~ «ь ю Праввл в случае в) мог бы существовать только в том случае, ес пределы в случае а] и 6) равнклнсь друг другу.

Следовательно,:. не существует. аьаа~л, ь ~ С: д - а .. -. ° рю ~ф в точке ам УЪ, если привел сссп у саъ существует и и и ей й кй вен у СйЪ . В противном случае сь назывветск точкой разрква .: ной функции. Точка разрыва Ь нааываетси устраннмой, если сума вует конечныд предел сань у СаЪ, отличный от фсВ~. 0' е 5 йпъь м~тси ".

и~ з~ ь«: в] фса,]с) МпСал+ ЛЪ а еуй если Са.уЪ чьСО,ОЪ , если са,уь со,оЪ; , вслм са,уь есо оъ вэнса т б) усауЪ- й еу сли СауЪ со ОЪ; а) ° если са,цъч со о) Фсс ',у) если Са,у)- Со,о); 4 г] аэ~ ф Ф са,у) ~ ос~у е! $ и Ф у Э ° , если , если гены нн. счсанпно, что в случаях в), б) и в) функции непреныы ы зо всех тсчкнх, отличных от (О,О). В случвях в) и б) сущвз(н ыь+ .твуег конвзн.к пренел (. постону (е ж,у)-(о,о) Функция / непрерывна в (0,0), а ф имеет устрвниыув точку рвз)ывв. В случае в) 1(н~ дозтоыу (л,у) (со~ у 2 (О,О) - неустрнниызл точка разрыве.

Функция 4 непрерывна во всех ссчкзх, нв леквщих нв онрумностн » + ул э 1 , вели ке » * у л 8 л 1 ° ° ° гд ЬМ ач йл+ ~э-! , позтону г«у 3 - неустс ° а сщ,р- (»„ч,з рвниывя точки разрыве. Йтан, данная Функция имеет линии рвзрызз (окрукнооть а~ ь у = ( ). 3 печи дл свыастонтпл ного енени 1. 1. нвйти и изобрвзить нз плоскости щ ()и естественнуи ь облезть опРвлеленнЯ Лвниых ФУнкний' в) У'(к , ослу 4 э л н,кл (-а, -«, 1н((-«,-»л)( б) /(»ымлз~ агсгое е ( ' Е.((-.,-.з >и „г- — — " — ~- З(»»< 1.2. ПостРоить линии УРовнЯ и гРвфик ФУнкций УС», клЪ й 3 ° л з) гг»',,ал) = сг, (паРебалический цилинпР, или "келоб"); б) ~ с »„ сгл) х', ь,'; в) г'(«, ы,~ к,к (квк нвзнввется эти по- вврхности7); г) у(а, » ) мз сс'("ппокноя еелобн); и) Г г(с - мь+ (с, - Зсс, «, ("обезьянье свило"); е) Г(сс сс З е (щ~ сФ , указание к знпвче д)(перейпите к полярник кооркинвтвы, 1.3, Опрелелить зис линий уровня Функций у ( » «.

3 вила: л н)~(«; ы ) ср(ак, Юх,+с); б) У(«'„жлЪ гл(сс, + ссь,) в)/гсг н 3 $((ж1,зр; г) г(й~,»л) 4ф(! сс), (ф) в) у (», »л) су ( а, /х,~ (зпесь сг - некоторви Функция олчсп переменное). 1 А . Придумать Функции, у которых пертини линий уровни ты~ дн- рят, квк покнззно нв рис. 3.