Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Яа 6 ° 1999 УДК 532.5/031 Ф 1999 г. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ОВ11аИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ! 1. Установив в моем предыдущем Мемуарез законы равновесия жидкостей в самом общем виде как в отношении различных свойств жидкостей, так н сил, которые на них могут действовать, я предполагаю исследовать на том же самом основании движение жидкостей и установить общие законы, на которых зиждется вся наука о движении жидкостей. Нетрудно понять, что эта тема намного более трудна и включает исследования несравненно более глубокие. Тем не менее я все же надеюсь благополучно прийти к цели, причем если и останутся какие-нибудь трудности, то это будет не со стороны Механики, а только со стороны Анализа: эта наука пока еще не доведена до такой степени совершенства, которая была бы достаточна, чтобы получать аналитические ураинения (Топив!ее), содержащие в себе законы двюкения жидкостей.

2. Таким образом, речь идет о том, чтобы открыть законы, на основании которых можно определить движение жидкости, находящейся в произвольном состоянии под воздействием каких угодно сил. Для этой цели рассмотрим детально все объекты, которые составляют предмет наших исследований и которые включают величины как известные, так и неизвестные. Предположим сначала, что природа жидкости известна, но при этом нужно рассмотреть разные ее виды, ибо жидкость либо несжнмаема, либо сжимаема. Если жидкость невосприимчива к сжатию, нужно различать два случая: один, когда вся масса состоит нз однородных частей, так что плотность всюду остается всегда одной и той же, и-другой случай, когда жидкость состоит из неоднородных частей; в этом последнем случае нужно знать плотность каждого рода частей и пропорцию смешения.

Если жвщкость сжимаема и ее плотность переменив, необходимо знать закон, согласно которому упругость (Г6!ае!!с!16)з жидкости зависит от плотности; при этом упругость может зависеть только от плотности или дополнительно еще и от ' Читателю предлагается выполненный З.Н. Добровольской перевод с французского мемуара Л. Эйлера "Рппс1рев 86п6гапх дп шончешеп! г)ея бпЫев" (М6шо!гсв де!'Асад6ш!е гоуа1е дев ясгепсев е! Ьебев 1епгев, Вег1!и, 1757. Т, 11 (1755). Р. 274-315 Орега ошп!а, вег. 11, Ч. 12. Р.

54 — 91). Подлинной рукоп(гси этого мемуара не сохранилось и поэтому неизвестно, писал ли его Эйлер первоначально, как обычно, по-латыни, или сразу по-французски. Во всяком случае французский язык мемуара сохраняет следы латиннзмов. Обстоятельный разбор публикуемой работы Эйлера дан К. Трусделлом в предисловии к соответствующему тому "Полного собранию трудов" Эйлера (1.. Ен1еп' Орега ошп!а, вег. П. Ч. 12. Р. ЕХХХ1Ч-ХС1). Некоторые общие историко-научные комментарии к работе Эйлера содержатся в сгатье Г.К. Михайлова (см. с. 8-25). Последующие подстрочные примечания принадлежат Г,К.

Михайлову н Г.Ю. Степанову. з Еи/ег 1.. Рппс!рев Ебп6ганх де Гбгаг д'6цп!1!Ьге дея бпгбев // М6шо!гея де!'Асаб6ппе дея всгепсев е! Ьепев !сигея, Вег1!п, 1757. Т. ! ! (1755), Р, 217-273 = Орега отша, вег. 1!. Ч. ! 2. Р. 2-53. з Под "упругостью" Эйлер понимает свойство жидкости, отражающееся в создании внутреннего давления, и употребляет поэтому далее этот термин наравне с термином "давление (ср. ниже 6 5). 26 какой-либо другой величины, например теплоты4, которая свойственна каждой частице жидкости по крайней мере для каждого момента времени. 3. Нужно также предположить, что состояние жидкости известно в некоторый момент времени, и я буду называть это состояние начальным состоянием (Гйгас рг1шЩ жидкости.

Так как это состояние является как бы произвольным, в первую очередь необходимо знать расположение частиц, из которых состоит жидкость, и движение, которое в них заложено, если только в начальном состоянии жидкость не была в покое. При этом начальное движение не является полностью произвольным: как непрерывность, так и непроницаемость'жидкости налагают некоторое ограничение, которое я изучу в дальнейшем. Однако часто о начальном состоянии ничего не известно, например, когда речь идет об определении движения реки; в этом случае исследование ограничивается для простоты нахождением стационарного состояния, к которому жидкость в конце концов придет, не подвергаясь новым изменениям. Итак, ии это обстоятельство, ни начальное состояние ничего не изменят в исследованиях, которые надо предпринять, и выкладки всегда останутся одинаковыми.

Все это нужно будет принимать во внимание только при интегрированиях — при определении констант, появляющихся при калщом интегрировании. 4. Наконец, среди заданных величин необходимо иметь внешние силы, воздействию хоторых подвергается жидкость: я называю здесь эти силы внешними, чтобы отличать их от внутренних сил, которыми частицы жидкости воздействуют друг на друга и которые составляют основной объект дальнейших исследований. Итак, можно предположить, что жидкость не.подвержена воздействию никаких внешних снл или же подвержена воздействию только природной силы тяжести, которую повсюду считают постоянной по величине и действующей в одном и том же направлении.

Но, для того чтобы придать исследованию большую общность, я буду рассматривать жидкость, подверженную воздействию каких угодно сил, которые либо, направлены к одному или нескольким центрам, либо подчиняются некоторому другому закону как в отношении нх величины, так и их направления. Что касается этих снл, то исходно известно только их ускорительное действие безотносительно к массам, на которые они воздействуют. Таким образом, я введу в расчет только ускорительные силы, откуда будет легко получить истинные движущие силы, умножая в каждом случае ускорительные силы на массы, подверженные действию этих снлз.

5. Перейдем теперь к объектам, которые содержат то, что неизвестно. Так, для того чтобы хорошо понять движение, в которое будет приведена жидкость, нужно определить в каждый момен'г и в каждом месте как движение, так и давление (ргеза1оп) жидкости, которая там находится. А если жидкость сжимаема, нужно, кроме того, определить плотность, зная упомянутое выше другое свойство, которое вместе с плотностью позволяет определить упругость; последняя, будучи уравновешенной давлением, должна быть принята равной этому давлению точно так же, как в случае равновесия, где я разъяснил эти поднятия более тщательно".

Итак, мы видим, что число величин, входящих в задачу исследования движения, значительно больше, чем в случае равновесия, поскольку нужно ввести символы, которые обозначают движение каждой частицы, причем все эти величины могут меняться во времени.

Следовательно, кроме символов, определяющих положение каждой точки, которую можно представить себе в жидкой массе, нужно ввести еще один, который обозначает время, уже 4 Под "теплотой" подразумевается по существу температура. з Ньютон различал в силе "ускорительную" и "двюкущую" ее величину: первая нз них "есть мера, пропорциональная той скорости, которую она производит", а вторая "есть мера, пропорциональная количеству движения, которое ею производится в течение данного времени".

Таким образом, "ускорительная сила" есть отношение действующей силы к массе частицы, на которую она действует, т.е. ускорение, которое она ей придает, а "движущая сила" есть то, что мы, собственно, н понимаем сейчас под силой. " См. мемуар Эйлера, указанный в Примечании ~2). 27 протекшее, и который в силу своей переменности может быть приписан каждому заданному времени. 6. Итак, пусть после начального состояния протекло время г (фяг. 1), и жидкость находится теперь к движении, которое нужно определить. Каково бы ни было иространство, занимаемое жидкостью в настоящий момент, я начну с рассмотрения некоторой точки Х, находящейся в жидкой массе. И для того чтобы ввести в расчет положение точки я",, я отнесу ее к трем неподвижным осям ОА, ОВ и ОС, взаимно перпендикулярным в точке О и имеющим заданное положение.

Пусть две оси ОА н ОВ находятся в плоскости, представляемой этим листом, а третья ось ОС ей перпендикулярна. Из точки Х проведем перпендикуляр 2У к плоскости А ОВ, а нз точки У нормаль УХ к оси ОА, с тем чтобы получить три координаты Ох = х, ХУ = у и УЕ = з, параллельные нашим трем осям.

Для каждой точки, содержащейся в жидкой массе, три координаты к, у н з будут иметь определенные значения, и если давать этим трем координатам последовательно все возможные значения, как положительные, так н отрицательные, то будут пройдены все точки бесконечного пространства и, стало быть, также и те, которые находятся в объеме, занимаемом жидкостью в калцзьзй момент времени. 7. Кроме того, я рассматриваю ускорительные силы, которые действуют в данный момент на частицу, находящуюся в К Каковы бы ни были эти силы, их можно всегда свести к трем силам, которые действуют в трех направлениях ХР, 43 и ХВ, параллельных нашим трем осям ОА, ОВ и ОС.

Примем за едииицу ускорительную, силу природной силы тяжестит и пусть Р, Д, и Ю являются ускорительными силами, которые действуют на точку Е в направлениях ХР, ей над, причем символы Р. Д и В обозначают отвлеченные числа (пошЬ|еа аЬао1па)", Если в одной и той же точке пространства е действуют всегда одни и те же силы, величины Р, Д и Ю будут представляться определенными функциями трех координат х, у н з; но в случае, когда силы меняются со временем д эти функции будут содержать еще и время ь Итак, я считаю этн функции известными, поскольку действующие силы должны быть среди известных величин, зависят ли они только от переменных х, у, г нли еще от времени ь 8. Пусть теперь г выражает теплоту в точке е или же то другое свойство, которое помимо плотности оказывает влияние на упругость в случае сжимаемой жидкости.

Величина г должна также рассматриваться как функция трех переменных х, у, х и времени б поскольку может случиться, что она будет изменяться со временем в одной и той же точке У пространства. Итак, эту функцию можно рассматривать как известную". Далее, пусть в настоящий момент времени плотность частицы жидкости, находящейся в точке Л, равна д. При этом плотность некоторого однородного веще- т Имеется а виду ускорение силы тяжести. " Здесь подчеркнута безразмерность величин Р, Д ид.