Трусделл К. Создание и развитие понятия напряжения

К. Трусдьлл ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МЕХАНИКИ Перевод с ангднйскоп> Е. В. БОГАтывввой Под редакцией д.ф.и.н. А.В. БовисовА Москва Ф Ижевск 2002 ГЛАВА 1'у' Создание и развитие понятия напряжения 1. Законы движения Коши (1822) Р()2) = / 1дтч)а + / Ьйтц д У Те,()з) = / (ш — шо) л Цзрйа + / (ш — шо) л Ьс1т, !2) ду У где йз и бт показывают интегрирование относительно площади поверхности и массы и где Ь -- массовая сила на единицу массы. Таким образом, па тело действуют силы и вращающие моменты двух видов: тс, которые являются абсолютно непрерывными функциям массы, и те, которые являются абсолютно непрерывными функциями площади граничной поверхности.

Термин «тело» применяется к первым, а нконтакт» или ннапряженне»вЂ” к последним. Рациональная механика материалов — это теория контактных усилий. Рис. 58. Первое заявление Коши о существовании принципа напряженна в Вп!1е!ш бе 1а 8сс!ете РЬ!!ошалт!спе, 1823, 30 сентября 1822 года Коши обьявил о существовании принципа напряжения, который с тех пор стал основанием рациональной механики сплошных сред (рнс. 58). Этот принцип утверждает, что на любой гладкой замкнутой ориентируемой поверхности д) Т является ли она воображаемой поверхностью внутри тела или ограничиваннцей поверхностью самого тела, существует интегрируемое поле некшорон лапрнззсепия 1др, равносильное действию, прилагаемому материалом, внешним к д)з и смежным с ней на этой внутренней стороне к д)2 (см.

рис, 59). Таким образом, равнодействующая сила й'(У) н равнодействующий вращающий момент Т „Я„действующие на материал в области )2, прилежащей дУ, определяются уравнениями: СОЗДАНИЯ И РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ( юе ) НЬ«с «1и р1»п 1«!юй«)ас, ювй саюи1дсш деихсерЬхи де Гаюсюь ртадм!1ю« 1»ь шиа р»с!«дйециюиам Ь сои!тедом, 1ет»мйта рю Ь Йс«Ьп де са «1««и«с рЬп. Ве р!оь, Н ат»Н *арро«с, депе ьеь с»!сиЬ, 1ее ииеь с| 1«т «мист рсюрюнйсаЬ|ю«ь емх Ьрп«ь ои »их йоса сов!те йи1иейею ейет ь ехетссю. Н |ве р»тш яие сюь деих еьрссеь дс Гоююеь роисо!с|и 4юге т««- до!ц ь «ипе юсм1е, «ри дет»Н со«и!«ююспю ь'»ррс1ю иют1оп ом ртетьюи, юю «ри еьй де 1«юеюе шюмте «р|е 1» р|шиои Ьрдтои»11яыс с»стасе рвт ап йиЫс еи ирою сов|те 1е витГесе д'ип союрь вайде.

НеаМшеию 1» иантейе рюсьиои ие деюемю11 рвь юамр«ить реюреи«йсмЬ|юе еих Гесю «рд Ьи ««|«1еи1 ьоиш1юеь, о! Ь юоате даш |оию 1с» есмь ев ии роют допп6 Кп дате!ар!1»пх с»Не 1дее«!'ютЬ»| Ь|то|ГН амх сепо!имаме »штеп|ею. 51 д»пь ии сюра ьа)Ые Мазййие ом поп В1шНЯие ап тЬШ в сеид«с «1ЯЫ» с| ютегЬЫе мп р«0| »Н«шеи! дм |о!моте юетш1ид р»ю дю'Йкез «риЬои«!ась, се рюй «Ьиюсою ю«рюпитееа ьит ьеь д|6 тем|се Г»«хп, е| еп с1«а«!мс роЫ дс сЬ»смит «Гейсе, мие рюеьиои ам Ь«иьюп д Четш1пдс.

Гс«юс рюсвнои ои им»1оп ьст» ьюиЫ»Ы«» Ь ргюььюи Ям'мп йв»1е »хе|се сои|«с ии с!стет дс!'апта!орре «Гмо аоюрь »ойдо, »тес сеце ьсм1е дНГеттпсе, «ри'!а ртеюпоп сьеюо1» рею аи Ни!де си теро«сои|те Ь ьиюГ«ее д ип саюрь ье!Ые, сью д1ю|Я«Ь реюреп«йсмЬистеою» сеце ьи«Г»се де деЬол см дед«иь, с| 1««дд«рею«д»««юс сп сЬ»«!ме рою«вх дс Г1исйм«Ьаи де Ь юи«Г»се р»ю ю»ррог| амт р1»иь саотдоипбь, 1»и«йх «рюе 1» рт«м»1ои ов !описи гхеюс«' си ми роид дамис д'мп смерь хайде сои|те ип юю««««рейх «1И«иепх дс н|«Ьсс р»ьь»и| р«т се рою|. рви| Мю дЬ1йде рсюрспд)смЬ1юштпх ом оЫ1«!«««юссю» «сне ьп«1«се, |моют де «Ыюоть си дадопю, »Ч1 ум совдеп|«нам, |«ииИ де дс«Ь»ь «и деЬотю.

а И р *дйеаиьм, сю ревю дереидюе дс Г!пайи»!юм «1« !» ьиюГ«се р»т |»рраюю»их рЬш допю й ь ввта Зе 1дмь, 1» рдеть!ои ом |сот|оп сюсюс«е совете ип рЬи Ние!саюирю юе 4««дм11 Н+ьЬс|1»шюа, ю»ию еи яиииЬмю яйеи д|тесьои, дюь рюсюьюоь ом юсиьюиь юхеюс«еь сом|те |юа1| рЬмь тес|вийи!»Ьсь «1аипдь.

3'тп еЫе З сс ро1ию, Ью«Гмс рй рюсьшди теи»ш» юе рв«1ет деыю»т»их»пх«!меЬ Н ьс !Ью»И ью 1» 1м«и1с«т. с|дои| Н и»«ию| епсоюе ри«ююс «!пмво !и»1!с В Г1иьдюпх, ю»ррию яш, дс ьап сто. й енюю аЬ«е««и ецю !сю !аЬ, той«ин !си!и»Нет ГеЬивЬНЯ «««1« депе 1«ь «йтстьсю «йюссйопт «рд еошпспю д ип рапи мш«1ие. ии |Ьсотше «п«1»йае ви пис««. Т иисхои 1 «Ь»о«вше доо| Н ю'«я|ю с|»1Т!ош дс и|е ьм1йюс рамю ГоЬ1«| «!мс 'р: мк рюороь»Ь, дю» сеит ««ро«р|е, де Ьюююю 1еь ««яи»«1опь я««««сю!ть де 1с«риНЬ«с сю ди юомтеи|«ои Нмдю1юмю «Гмп саюры сю с «мю м««1«!мс«««спю д«пь ось депиегь юсшрь ям Р ьми р«ют«пм» «т««Ы!ю де пом«е»их рюис«рсь ршрюсь д ше сопдм1|е» «с ю«- ь««1««1.

ю «!ис 1е |»Ь Г«1«с сопи«Н«е. О» |!нц ютю«шюмс««р!а«!«ип, ю| югюойс «!ц«' Ь ргсюши о» |,». аи «о «Ьз«1»с р«дл| ю| ю«ри|«!«ив: .«Гмп|Ы «Нт|«В. Рат 1, ю»ъю| и |«сг дои ей|В «Ы,«А»ю |«оп «ш«дс «та с!Нрьа|«!е саги.На|и!ем| «««и р««|И*о« «и |то|««»««1«««иаю |и|шит«о|1» р«тис«раш». ю 1»н 1»и| Глянл !у 21б Рнс. 59. Напряжение тдУ, действующее ца границе дУ области У, занятой частью тела. Коши предположил, что напряжение тец зависит от поверхности дУ только через нормаль ьи поэгому все тела, ограничивающие поверхности которых имеют общую нормаль и в некой точке, испытывают там одинаковое напряжение. Применив принцип количества двингения, он затем доказал, что 8„изменяет знак, если изменяется ориентация дУ: или напряжение, прилагаемое внутренней стороной на внешнюю, равно и противоположно напряжению, прилагаемому внешней стороной на внутреннюю.

Используя згот результат, который называется лемма Коши, и обратившись вновь к принципу количества движения, он доказывает, что если, по предположению, Ԅ— непрерывная функция тт. тогда она — однородная линейная функция ьи (б) То есть над пространством векторов существует линейное преобразование Т, называемое тснзортпн напряжения, действие которого на единичный вне1пний вектор, нормальный к дУ в некой точке, дает вектор напряжения Рнс. бо. Основная теорема Коцш о тензоре напряжения, Еясгсме Ые Матяеяипщие, том 4,!829. СОЗДАНИИ И РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ НАПРЯЖЕНИЯ 217 ! рь(соэ!ьньэ», + ннрьсмр +ннзз~ $$7 ) ь С) = р,(ан7$»оэ «, + нарзмэй. + созьзсоэ7.), сь =рз(соэвьсоэа~+смрьннрз+сов змз7з) ° (а) ЬТ ювпасюаь аа юйзНсае, 4эав 1сэ йьузвгюю (4).

(э), (й). Ьн зз!совь 4е р.сезь,, р,совр., егс..., Нсйез 4а» 4ь!о»$(овэ (ь), (з), (5), оп ейгзюйм !с» зьв (огьььо)сэ ьЬ = а ем'э. +Ввоз*й, + Своз'г+ »Вмьемь7, + »Всоэ7со$», + »Р«ьнэ,см ь„ (7) Яв=.рсоа*э,+Всеь р,+Сон'7.+зВ $$(.мгн+»Бмэь,с ь +зрсоэ,са 7„ ~= акмэ' ь+ВсоьНвь+Соз$'7$+»6смрзсозгь+»Вньз7зоньз+з)зсем сов!,ь й7= рсвээ,веэ»з+Всозр,созрз+Санс,созгь + Р(ан),соьгьэсоЯььоаз,)+В(со»7.соьэь+мз7зсом,)эр(ннэсоэгэзэсомноь) ) э С =.вон ьон», + Вмэйьсеюй, + Ссоьз,соьз, (й) +В(оьзйньас,+оьзй.соьгз)+В(севрном.

+сов!,сом»)+Р(он»авар,+мм.мьрь), В= Всеь»,соэ + Ввоз!, онй. + Сссзг. еоэз, + В(оьэв.мэ7,+соАс,соэг.)+В(созв,он»,+со»э,онз,]ОХ(ьоз .созе.+воз .онр.) . !.вэ Н» йиапйм йпнпнзапь )с юоувл 4е с»!сп)ег !ез рго!сннпз в!ЯЯЬг!Дом 4сз ргсэ«1опэ р,, р, ° рз, $»ррогьйсз регион р(вов рсгрспзНсо)ыгсз свьгс сов, эы ьппэ 4еюй ввез рсгрепйнвйь!мэ Ь сев пьйьпм р!вю, яоап4 оп сова»Я )ю рго!есНопз в)44Ьняою 4еэ ргвньовз юррог$4св рвг ноьв р!авэ раг»НЬ!ез ввв р!еоз смгййпп(в ваг !еэ в»сз 4сз и, 7',з.

ОЬзегзопв сасове ь!ее,!ез 4спп'-вюз ОБ ° ОМ, 017 йюпв рсгрсв4!сп1а1геэ !'пп Ь !'ваьге, еп вага, еп мгсп 4е (мюп)ю соаппсв раг нпю оа Нгсгв 4ез ййюНею (4), (й), (6) соз'э, + сов'в.+ соэ'»з = з, (я) он'р. +сов'р*+ сов'рь = э, о "'г + сов'7 + сьз 7$= ь мэра»н7*+ннр.еоэ7*+мьрзсозгз=о, ннгнмо +'е'ю'оээ +соьзьон з =о ° нна Совр, + сева,свзр, +ннозннрз =е . 218 1ллвА 1Ъ" ( ерй ) ййвыюю уаг ГГ,. !), у, )юэ рте)есю)евэ а)44Ьыавею йе )е Госсе ассйМыююг!сс Ча! ветви сараЫв 4е рмюйаЬм Ь а))е ыюйе 1е вюемгаыеююс айюсю)Г й'аае рагюымЬю, ею уюевваю и, у,, ю реет мыыЬ)еэ ймЫреайааюы.

еп еЬт)ыюйы, Ь )в р)асе йею йю)всю!оею (ю). сеПев 1ю ваттов! 44 4Я И вЂ”,+ — + — +т Г=э'в ° Фу сю 44 МГЮ МС + — + — +!~=тут. й му ~ю рейв, ы Гоа иввмююс Г, в, С !ею юЫР1ассаыиюэ 4е !в реюскм)ь ю)ы, эо Ьып 4'ав июырю ю, со)выйе атас Ью рыпт (и, у. э) . ыеиыйэ раеаПИыпыы ааэ эавв аоог4веа4в, оп югеивеюа, еа эарроыюп сеэ 44у)асаамииэ ысю-рею)ы, м'Е м'в с*с 4Р мм 4)т ° 4*» — + — + — у=ттг+ Г Р = т —. св йу мю.

мк 4)т «С 4 с — + — + — +у~=с —.. ев Му Мю Сг' Гвм Гогым)ев (ю). (э), ($) эопю!ев тйг!МЫеэ йю)маю!овт юГ(т)юйГюЬюм ов йа авомюсыепю ыюйгымг 4аэ сегрю совий)гсю соыые йею етаыаю совиамвюю ею роаг еп йййи!гь, раг еюеыр)с, 1ею )оЬ йь!Ървйне оа йм ывмюывыи йею согрэ юЬйев 4)ыю)овею, Н юе)рю йвсЬггсЬвг соанпеаю, йапю сев йеюмыы, )сергевыоию ом !симове вГ. Я, С. Гт, Е, Р 4оютын э'егрйыюг В 1'ейе йы ю)йр)эсьвсвы Г, в, 1.

Иомю Гегопю, ь са ви)аю 1еэ теыем!мев ююиюватсэ. Йе!ювю, ам Ьюнюю 4м таврю ю, в, р. т )ев аай!сею)марогвюе атее 1сэ йеан-ювеэ йсв ссоюйвписво рою!ю!тее мие йинюе итсавв рег !е ро)пю (м,у, ю) „ею гергйэсвюеев раг !ю 4!1эюа6ом оа сепйевввйоп !!авве!гь °, еюеэмюйе вм)юепю аейв йвйы, Оп аига. еа р ° Ч.)-ййр! ° вэ !*..! !Ый рой!э. 219 Сполнив и нлзвитин понятия нлпвяжнния в этой точке.

В частности, на языке самого Коши, напряжения на трех взаимно перпендикулярных плоскостях в некоторой точке однозначно определяют там напряжения на всех плоскостях. Существование тензора напряжения часто называют пгипвиой теоремой Коши. Применив его в (1)„Коши затем доказывает, что в точке, внутренней к области, где в определенное время тензорное поле Т непрерывно дифференцируемо, где Ь непрерывна и где существует ускорение ж и оно непрерывно, принцип количества движения в инерционной системе координат эквивалентен дифференциальному уравнению в частных производных (6) г)1» Т + Рб = — Рж, где Р— массовая плотность также, по предположению, непрерывная.

Затем он доказывает, что при тех же допущениях, если выполняется (6), принцип момента количества лвижения эквивалентен Т= Т (7) Таким образом, тснзор напряжения симметричен. Зти два уравнения, (6) и (7) — первый и второй законы движении Коиги.

Если мы подтверждаем правильность принципов количества движения и момента количества движения, то первый закон Коши доказывает, что равнодействующее контактное усилие на единицу объема — йз» Т, в то время как второй — необходимое и достаточное условие, чтобы равнодействующий контактный вращающий момент был моментом равнодействующего контактного усилия. Для современной механики сплошных сред эти два закона иногда недостаточно общие. Во-первых, то, что все вращающие моменты являются моментами сил, как утверждается в (2), не всегда подходящее предположение, так как там могут быть контактные пары и пары тел, а также в связи с ориентированными материалами может возникнуть необходимость ввести напряжения высшего порядка, вращающий момент количества движения и т.и. Во-вторых, допущения о гладкости, необходимые дзи получения законов Коп!и, могут оказаться слишком сильными.