Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 30

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 30 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 30 - страница

С полсощью формулы (4), п,б.7. находим с у й а а а а* а„ а х д гос т = Решая прилсер 207, мы нашли. что Вгас) )(г) = Р-л-'Р-г. Таким образом, окончательно имеем: гоС(у(г)т) ш~ — 'т, г~ = О. » [у (,) 218. Найти а) гог сс(р ). б) гол [с, [(г)г] (с — постоянный вектор). Ч а) Пользуась обозначеннялш н правнлалш. которые были прилсенены прн решении примера 21б, получаем: гос су(г) = [л р су(г)] = [с', сус(г)]+ [су~ с,р'(г)] = 1(г)[гр, с] — [с, 17Яг)] = = Т(г) гос с+ [брасс у(рг), с] = — р..

с = — с г, с]. г ) г где значок "с" указывает.что оператор набла на данный объект ие действует. Если объект, иа который оператор 1т не действует, находится позади лР, то будем индекс "с" опускать. Имеем 3 6. Элементы векторного анализа 209 б) Воспользуемся известной формулой векторной алгебры: [ц, [Ь, с]] = Ь(а, с) — с(а. Ь), Действуя оператором»т на вектор [с, В], где В = у(т)г, находим: гот [с, В] ж [~, [с, В]] = [С», [с, В,]] + [»7, [с,, В]] = = с(Р, Вь) — В(~т, с) + с(T, В) — В(С», с,) = (В, ~г)с — В(»7, с)+ с(~», В) — (с, ~')В = = (В, ~»)с — Вд»т с+ сейл  — (с, т»)В. Тах как с — постоянный вектор, то справедливы равенства / а а а 1 / дс ас дс'1 (В,С')ежП.) ~, +у +з ) с=У(.) ~* — +у — + — ~ =О, д; с=о, дк ду дя) [ дх ду дг) в силу которых гог [с, В] = с»1Н В вЂ” (с, ~')В.

(*) Прн решении примера 212 мы нашли д»т В = ту'(т) + Зу(т). Чтобы решить пример до конца, требуется вычислить (с, »т)В. Пусть вектор с ил»еет вид с = (а.,3.;). Тогда получим: / д д д» (с. ~г)В = [ а — +,3 — +; — ) Х(т)т = [, ая ау 'а) = а ( — кт+ г,у(т) +д — ут+уу(т) +; — гт+ ЙУ(т) у'~'( ) . ~ у'г( ) ~ у'г( ) т ] [ т ) [ т = у(т)с+ — т(с, т). у»( ) т Подставляя полученные выражения в (*), находим: го1[с, у(т)т] = с (т~'(т) + ЗГ(т)) — 1(т)с — — т(с, т) = .»"( ) = 2у(т)с + — с(т, г) — — т(с, т) = 21(т)с + — (с(т.

т) — т(с, т)). > У (т) У (т) 1 (»') т т т 21 а. Доказахь формулу ойт [В», Вг] = (Вг, го»В») — (В». »отВг), ч Действуя по той же схеме, что и при решении примеров 216 — 218, получаем: »(»»' [В» Вг] = (г», [В», Вг]) = (г». [В», Вг]) + (Т». [В» Вг]) = = (Вг, [»г» В»]) — (В», [»»,. Вг]) = (Вг, гогВ») — (В», »огВг). (воспользовались известным правилом векторной алгебры для смешанного произведения: (а, [Ь, с]) = (Ь, [с, а]) = (с, [а, Ь])). > 220. Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси е = (соьа, созд,соз;) с постоянной угловои скоростью ь». Найти вихрь вектора линейной скорости е в точке пространства М = (к, у, я) в данный момент времени.

° Направление вектора угловой скоросю» ь» совпадает с направлением е, поэтому а» = ые. Вектор линейной скорости е частицы жидкости в точке М определяется формулой е ж [ы» т], где г = (к, у. з). Для вычисления вихря векторного поля скоростей е воспользуеьюя формулой, полученной при решении примера 218, полагая в ией с = ы, т(т) = 1. Находим: гот в = 2ы. > 221.

Найти поток вектора т = (т. у, т): а) через боковую поверхность конуса К = ((к, у, г) Е Й~ » кг + у < яг; О < з < Ь)» б) через основание этого конуса. ч Для вычисления потока воспользуел»ся формулой (1), п.б.б, которая в данном случае принимает вид: (; а) =Ц( (м), (м))дд. В случае а) ецииичный вектор нормали в каждой точке на боковой поверхности Яь конуса ортатонавен к вектору » вследствие чего ш(т: Яь) = О. 16. Элементы векторного анализа 211 Решение примера свелось к вычислению мнтеграла Гаусса (см. лрилгер 166), когда замкнутал поверхность окружает фиксированную точку (в данном случае начало координат). Таким образом, гл(и; Я) = 4яш. > п е; 225. Найти поток вектора Р(т) = ~) бгаб (- — '1, где е, — постоянные и т;— 4лт, У ' '=1 расстояния точек М; (источников) от переменной точки М(т), через замкнутую поверхность Я.

окружающую точки М; (з = 1, и). и Векторное поле и(т), рассмотренное в предыдущелз примере, поясно представить в виде и(т) = бгм( (- — „), вследствие чего приходим к выводу, что расгматриваеыое поле Х(т) являетсл суммой полей вида и(т), для которых т = ~" . На основании решения предыдущего примера можно сразу записать: и и зз(Р;Я) ж~ 4т — ж~ еь > 226. Найти работу вектора Г = т вдоль отрезка винтовой линии т = засозг+уазш г+йбг (О < 1 < 2т). чЗ работу поля Х вычислиы с помощью формулы (1), п.6.5. Найдем единичный касательный вектор т в каясдой точке кривой: т =, = ( — аз(в(, асозт, Ь).

т (1) 1 Цт'(Г) б /аз + Ьз Таким образолд получиы А = Ь / 131 = 2тзЬ а (приняв во внимание равенства (Х, т) = — =~ =, Ж = (х'(Г)) +(у'(1)) +(з'(1)) 31 зг ~+ь~' ~/ау+ Ьз 41). > з у й 227. Найти работу поля г1 = -+ -+ — вдоль прялголннейного отрезка. соединяющего у х х точки М = (1, 1, 1) и з17 = (2, 4, 3), 1 / з з т ч Очевидно, т = =(1, 3, 7) = ~-т, -т, -т ~ — единичный вектор, совпадающий по направлению с векторе г Мз17, в силу чего имеем: 3 чтГ9 ~,у х х) Уравнение прямой, проходящей через точки М и з"7, имеет вид х — 1 = — "' = — *, и мы з можем параыетризовать эту прямую, выбрав в качестве параметра переменную х.

)1ри этом ° '.: ° -*,,= ° -г, *=; -к а=~~.*~~,*~а'=,атг., "= У " - "=У( — — -)'ж 1 3 71 Зх — 2 7х — б х ыгг 1 = ~-1в(Зх — 2) + — 1л(тх — 6) + 71л х) ) = — 1п 2 > /1 ~з 7 21 228. Нанти работу поля Л = (у+ з) з+(х+ х)ба+(к+ у)й вдоаь меньшей дуги окружности большого круга сферы о = ((х, у, з) Е Ьзз: хз+ у + хз = 25), если эта дуга соединяет точки М = (3, 4, О) и 1'з (О, О, 5). грй Гл. '2. Кратные н криволинейные интегралы М Рассматриваемая дуга лежит в плоскости, уравнение которой у = э-х, и представляет собой четверть окружности радиуса 5. Парамегризуеьг эту кривую, выбрав в качестве параметра > гол у, образованный радиусом-вектором точки кривой, лежащим в упоыянутой выше плоскости, с его проекцией на плоскость хОу.

Тогда параметрические уравнения данной дуги будут иметь вмд х = 3 сов у, у = 4 сову, ь = 5 яп у (О < у ( -), и единичный касательным вектор т в каягдой ее точке будет выражаться формулой 1 / 3 . 4 т— (х (у), у (у), ь (у)) = ( — -яп у, — -яву, сову) . ( ~(, ))2+ (у (, ))2+ ( 2(„))2 (, 5 5 Вектор В на данной дуге приминает вид В = (4 сову+ 5 вшу)2+(5яп у+ 5соь у)у+ (7соь у)й, поэтому имеем: (В, т) = 7соь2у — — яп2у. Применив формулу (1), п.5.5. и приняв во внимание равенство Й = 5 Иу, получим; ь 2 .4 = (В, т) й! = 5 (7соь2у — — яп2у) 4у = 5 (-ь>п 2у+ — сох 2у) ~ = — 12. и 5 ) ь2 5 )1~ м>г о 229.

Найти циркуляцию Г вектора В = — уь'+ ху+ сй (с — постоянная): а) вдоль окружности ", = ((х, у. 2) Е В~: хэ+ у = 1, ь = 0); б) вдоль окружности; = ((х, у. 2) Е В~: (х — 2) + уэ = 1, ь = 0). м Циркуляция поля В вдоль замкнутого контура; равна, по определению, имтегралу Г= ф(В, )Й. ~у В случае а) возьмем параметрические уравнения окружности в виде х = сову, у = яп у, г = 0 (О ( у < 2т). Тогда получим: т я (-вшу, сову, О), В = — ььшу + усову+ йс, (В, т) =1, й=4у, 2ь Г = )2 (В, т) Й = / йу = 2т.

а В случае б) параметрические уравнения окружности берем в виде х = 2+сову, у = йп у, 2 = 0 (О ( у ( 2т). При этом получаем: т = ( — яп у, сову, О), В = — ьяп у+у(2+сову)+ Ос, (В, т) = 1+2соьу. Й =Ыу, Г = / (1+ 2 осе у) 4у = 2т. р о 230. Найти циркуляцию Г вектора В = бган (агсгб -) вдоль контура э в двух случаях; у'> а) ", не округиает оси Оь; б)ау окружает ось Оь. ч Пале  — потенциальное, поэтолгу в случае а) его циркуляция Г вдоль любого контура, не содергкащего особых точек функции (х, у) ь агсгб д, равна нулю.

В случае б) имееьг; Г = ~(В, т) Ы1 = ~ (Згаб (агсгб-), т) Й = 0> — ( агсК -) Й = агсК вЂ” ~ (наполшнм читателю, что выраясение (Огай у, т), где т — единичный касательный вектор к некоторой кривой, равмо производной скалярного поля у вдоль этой кривой), Обозначив †" = гбу, получаем,что циркуляция поля В по замкнутому контуру э равна приращению угла д при его обходе.

При каждом полном обходе угол д получает приращение з б Элементы векторного анализа 213 2х (так как контур т окрулсает ось О«и его проекции на плоскость хОу окружает начало координат), поэтому в общем случае Г = 2ти, где и — число полных обходов контура "с вокруг оси О». в 231. Дано векторное поле Л = у л — — у+ ссхууй. Вычислить гас Л в точке М = (1с 1, 1) ьс«лс'« и найти приблилсенно циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой окружности Т. = 5 гс Т, где 5 = ((х, у, ») 6 Л~: (х — 1) +(у — 1)»+(»-1) = е»).

Т вЂ” плоскость, заданная уравнением (х — 1) созе+ (у — 1) сов 1? + (» — 1) соз З = О, где соз» а + соз»,б + со»» ", = 1. о Применив формулу (4). п.б.?, получим: гос Л = — (лсху) — — — — с+ — — — — (~/хуу) у+ гоС Л(М) = — 1 — 2й. Циркуляцию Г поля Л вдоль заданной окружности вычислим с помощью формулы Стокса Г = О(и, гос Л) с?в, е где в — кусок плоскости Т, осраниченный окружностью 1. На плоскости Т имеем: » = 1 — — ((х — 1)созе + (у — 1) созсз), »' = — — "* .

»» — — — — "*, и = (сола, созсб, соз-), (и. гог Л(М)) = — соз В 2 соз с ° Подставив скалярное произведение под знак интеграла, найдем: à — (со«В + 2 сох "с) с(в = — (газ сб + 2 сов "с)хе так как и — круг радиуса е, лежащий в расслсатриваемой плоскости Т. в 232. Показать, что поле Л = у«(2х+у+«)л+х«(х+2у+«)1+ху(х+у+2«)й потенциальное и найти его потенциал. < попе потенциально, поскольку голл = О (убедиться в этом предоставляем читателю).

В сичУ потенциальности полм Л, нмеелс Л = Огас) Р = в л+ в,1+ в й. вз. вг ве в* в» Пз равенств ф = у»(2« + у +»), — К = х»(х + 2у + «), вк = ху(х + у+ 2») находим: »с(х. у, ») = ху«(х+ у+») + т,"(у, «). — ~ = х«(«+2у+ «) = х»(»+ 2у+») + — с, откуда вз = О, 6 = Ф(»). Пз равенства — ~ = ху(х + у + 2») = ху(х + у+ 2«) + Ф («) получаем: Ф («) = О, Ф(») = С, где С = совал. Окончательно имеем: с»(х, у, «) = ху»(х+у+»)+С, где С вЂ” произвольная постоянная. ~ 233. Найти потенциал гравитационного поля Л = — — г, создаваемого массой пс, гз находящейся вначале координат. О Принимая во внимание равенство Я = угас( ™, находим потенциал Св поля Л: Сз = —.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее