Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 84

е. зщХ ф х — агсХ8р = аггсХйр. оригинала, получаем / зупт Йт Ф о , то — =. 'Ху -т — Йр = — — агсХКр, з1пХ ° У 1 Е ,/ р+1 р Применяя свойство интегрирования Пример 7ВЛ2. Найти оригинал функций 1 р (р) 2 2 2 (р) 2 в 2 (р+ ) (р +ю)'. ~) Решение: Так как Г(р) = ° — т — — ~-, в — т — т — . '—. в1п~Л, (р+~т) (р+ )' р+ ' '" г1 . 1 Г(р) =; / — вшыт — в1п»о(» — т) дт = о 1 2 / (совы(2т — 1) — сово»») г»т = о 1 1 й ~»» †. вши(2т — 1)~ — гово»1. т~ ) = 2ив 2о» о о,~ 1 /1 1 = — —.-~ — апо»1 — 1сов»Л) = (вшсЛ вЂ” о»1. сов»о»), / 2 в 1 1 2 2 ' 3( )' т.

е. Аналогично получаем р в + в)2 Я Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверят»2 фригии «»(») в «з(») и обозначается символом «» (1) в «в(»), т. е. «» (1) * «в(1) = ~ «» (т) . «в(1 — т) 4т о Можно убедиться (положив 1 — т =- и), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. «»(1) * «в(г) = «в(1) о «» (г). Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е. Г» (Р) ' Гв(р) ° «»(») * «2(»). Д Запишем произведение р Г»(р) Гв(р) в ваде р г5 (р) ° Гг(р) р' Г»(р) Гв(р) «»(О) ° Г (р) + «»(0) ' Гв(~ ) р ' Г1(р) 'Гз(р) = (р Г1(р) « (О)) ' Гв(р) + «1(0) ' Гв(р) Первое слагаемое в правой части есть произведение иэображений, оютветству»ощвх оригиналам «» (») («((1) =.

р Гг(р) — «»(0)) и «г(г). Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать р - Г»(р) Ев(р) = «г(1);» «в(1) + «»(О) . «в(1) или р Г»(р) . Гв(р) =; ««Л(т) «в(1 — т) Йт + «»(О) «в(1). ° о Д Формула (78.18) называется форл»улой Дюа меля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде р - Гг(р) .

Гв(р) =. « «в(т) «»(» - т)1т + «в(1) «»(0). о Формулу Дюамеля можно применять,пля определения оригиналов по известным изображениям. 27ри»нер 78. 7 8. Найти оригинал„соответствующий изображению аР (р) — в (;1 Решение: Так как 2р~ 1 р 1 = 2р. ° — и — =, 'ап1, (рв+1) 1в+1 рз+1 р +1 то на основании формулы Д»овменя (78.18) имеем 2р °, -, =,2/ ссят ° сов(1 — т)от+О= 1 р рв + 1 рв + 1 Умножение оригиналов Если «»(1) =. 'Г»(р) и «в(1) = Гв(р), то »+»со «г(г) «в(г) =. —. «Гг(в) Гз(р — в)с»в ' 2я1 , ',где путь интегрирования — вертикальная пря.

'мая Век = у > во (см. рис. 310) (примем без доказан ельства). р Ф сов1, р'+1 1 савв+ ап1. ° Рис. 310 Таблица ориеималое.и мзобраз2семим Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим зтн свойства. 1. Линейность: с1 Я1) +с2 Ы1) =. с1 й)(р)+с2. Р2(р). 2. Подобие: у(Л1) Ф 1 - г © Л > О. 3. Смещение: е" ° уЯ =: г (р — а). 4. Запаздывание: у'(1 — т) =; е "т г'(р), т ) О. 5.

Дифференцирование орвгинала: Х'(1) Ф р г'(р) — 1(0), Ха(1) Ор' йр) — р Х(О) — ('(О), У'н(1) =. .р' К(р) — р'.У(О) — р У'(О) — Ум(О), б. Дифференцирование изображения й"(р) Ф вЂ” 1 Х(1) ~" (р) Ф(-1)' 1' .((1), 7. Интегрирование оригинала: ~,((т) йт Ф вЂ” ~) . р о 8. Интегрирование изображения: / Г(р) 11р =.' У'(11 9. УМНОЖЕНИЕ ИЗООРажвинй: гГ(Р) ° Р2(Р) Ф /Л(т) '22(1 т)нт = ,1 1 « ,1 З ' е 7+1Оо 10. Умножение оригиналов: Л(1) Ь(1) =. ~ ь1(з)'в2(Р 2) '(2. 1 ' 2т1 76.3. Таблица оригиналов и изображений Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие межну некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) н их изображениями.

Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчиснениюэ (авторы В.А. Днткин и П.И. Кузнецов). й 79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 79.1. Теоремы разложения Рассмотрим две теоремы, называемые гпеоремими рпзложениц позволяющие по заданному изобрвженинз К(Р) находить соответствующий ему оригинал 1(1). Слецовательно, на основании теоремы 79.1 1" (1) — 1, —, + — ~ 1 > О. Запишем лорановское разложение функции Р(р) = -тс — в р+1 окрестности точки Р = со: р р Рз+1 Р (1+ ') р 1 ( гх) 1/ 1 1 1 1 1 1 Р Р Р Р Р Р ~1! 12 14 где ~-т~ ( 1, т.

е. 1р~ > 1. Следовательно, 1(Ф) = 1 — —, 4- —, —..., т. е. !Р 1(г) = сов 1, 1 > О. Ф Примем эту теорему без доказательства. Пра иер 79.1. Найти оригинал Д1), если Р г (Р) — — ° юп —, Р (Р)— Р Р Р+1 (~~ Решение: Имеем 1 . 1 1/1 11 11 1 1 11 11 Я!РЗ бара ''/ Р2 Я! Р4 бдр6 Д Отметим, что дробь — у- должна быть правильной (степень многочлена А(Р) ниже степени многочпена В(Р)); в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения 11в Р(р) = 0 (п.

78А), т. е. Р(Р) = — у — не может быть изображением. 6-4 В(р) А(Р) Разложим правильную рациональную дробь на простейшие: ХФ) Г(р) = — = + — +... + —, (79.2) А(Р) с4 с2 с„ В(Р) Р— Р4 Р Р где сь (Й = 1,2,...,и) — — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента с2 этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на р — р4 .. А(р) / С2 СЗ С ) — . (Р— ) =- с, + (Р— ) ~ + +...

+ В() ' ~Р Рз Р 1'4 Р Р / Переходя в этом равенстве к пределу прн Р -+ ры получаем А(Р) (01, А(Р) А(р1) Р Р В А(р) А(рс) 1 4(р ) 1 1( ) + + ... + В(р) В'(рс) р-рс В'М) р-р " В'(р ) р — р ' Так как по формуле (78.3) 1 — Ф е"', р рс с 1 — — =; егс', = Р"сс р рз р рсс то на основании свойства линейности имеем К( )= — = ~ - =~~с егсс= я) ° В(р) В'(р„) р - р, В'(р,) ' Замечание. Легко заметить, что коэффициенты сь (сс = 1, 2,..., и) определяются как вычеты комплексной функции г (р) в простых полюсах (формула (77.4)): сь = — т = Вевсх — ~7;рв). В (рь) А(р) Можно показать, что если Г(р) = -- правильная дробь, но корни (нули) рс,рз,...,р„знаменателя В(р) имеют кратности тс, псс,..., пс„соответственно, то в этом случае оригинал изображения г'(р) определяется формулой /А( ) (тпс-П У(1) = ~ йсп ~ — е"с - (р — рь) д (гпь — 1)! г чссс ~,В(р) (79.3) Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом: Теорема 79.3.

Если иэображение Р(р) = — м — является дробноАс п) = в(р) рациональной функцией от р и рс,рс,...,р„— простые илн кратные полюсы этой функции, то оригинал г(4), соответствующий изображению г (р), определяется формулой К(р) =- — Ф ~ Вез(г (рв) . е'") = Х(1). (79.4) коз Итак, ст =, . Аналогичным путем (умножая обе части равенства В'(р.) (79.2) нар — рс) найдем сс = Вскс —, с =-2,...,п. Подставляя найденные значения сс,сю...,с„в равенство (79.2), получим 79.2. Формула Римана-ссс1еллина ф щи спас о Общий способ определения оригинала по изображению дает обрапснае преобразование Лапласа (формула обращения РиманаМеллина), имеющее вид ъ.~-к» 1(с) = —, / Г(р) .

егссй, 2кс т — Сьс где интеграл берется вдоль лсобой прямой Пер = у > Яв. При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по форт-~-соа н муле у(1) = —. / Р(р) епссй=-,С Нез(г"(р) ° егс;рь). Г ф Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли- пе оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо- том, что функцию Е(р) старюотся представить в виде суммы простей- ших рациональных др обей, а затем пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу абра~ценив и т.д. и 3 17рссснер 79.3.

Найти оригинал по его изображен (р) — 2+4. р О Решение: Проще всего поступить так: — — — Ф сов 21 — — э1п21 = Д1) р 3 2 3 . ррз з+ 2с 2 рэ + 2з ' 2 Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь: ) = — 3, В(р) = рз+ 4 В'(р) = 2р корни знаменателя рс = 2с и рз — — — 2с и, согласно формуле (79.1), 2с — Ззн — 2с — 3 и 1 .

зн = — (2с(ссв 21 + с' вш 21 + соз 21 — с з1п 21)— 44 — З(соз2с+сз1п2с — соз21+сзш21)) = 1 = — (4с сов 21 — бс ап 21) = соз 21 — — з1п 21 = у (1) . ° 4с 593 ,, ее нича и пым условиям (О) = ж, й (0) = и~ Р т, е. «(«) = е' — г 2 (80.1) 595 Пример 79.8. Найти функцню-оригинал, если ее изображение задано как Г(р) = -з — —.

р (р — 1)' О Решение: Здесь А(р) =1 В~ ) з(,,) ~,® простой корень знаменателя, рз — — Π— — 3-кратный корень (т = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем: «'(«) = — ° . ' + — 11 е' ° (р — 0» ьс 4 — 3 2! 1 в1,рз(р — Ц 2 г-ю1р — 1) 2 Приведем другой способ нахожде «.

(«) р. ц на сумму простей р (р- 1) р р' рх+р У Следовательно, «(1) = — 1 — « — — + е'. 2 Приведем третий способ нахождения Щ. Представим Г(р) как произведение -3 — — — — -Г. — и так как Ф 2 — 1 — —. 2 пользуясь свойством умножения изображений, имеем: з с „г и=.г ди 2тдт 2 ди=е' 'Йт и= — е' в в 1 з = — — «~+О+( — т.е' )~ — е' '~ = — — Р— «+Π— 1+с'= О О 2 = е — — — « — 1 = «(«).

° 2 280. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами р'"'+ р'" "+" + .р=~(«), — заданные числа. Вудем считать, что искомая функция р(«) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция «(г) являются оригиналами.

Пусть у(«) Ф У(р) = У и «(«) =' Р(р) = Р. Пользуясь свойства и дифференпирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (80.1) от оригиналов к изображениям: (р 1 — р св — р сг ° с -1)+п1(р 1 — р св - ..— сл — х)+.. ° ... + а„1(рУ вЂ” св) + а„У = Р. Полученное уравнение называют оиераиюриым (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У: у(~+ и — + + + ) Р+,[л — 1+ н в+ + )+ + с, (р™ + агр" з +... + он в) +... + с„ т. е.

У(р).Я„(р) =- Р(р)+«1„1(р), где (~ (р) и ««„т(р) --- алгебраические многочлены от р степени и и и — 1 соответственно. Из последнего уравнения находим ) Р(р) +  — 3 (р) (80.2) Ю (р) Полученное равенство называют операшориым решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой внд, если все начальные условия равны нул1о, т. е.

р(0) = р (0) =... = р (0) = О. (и — 1) ~ В этом случае У(р) = Г(р) 6.Ы Находя оригинал р(«), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1). Замечаниа Полученное решение р(«) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях $ (а не только при 1 ) 0). Пример 80.«.

Решить операционным методом дифференциальное уравнение ун — Зр' + 29 = 12ез~ при условиях р(0) = 2, р'(0) = б. О Решение; Пусть р(«) Ф У(р) = У. Тогда у'(«) Ф рУ вЂ” у(0) = р1' — 2, ри(«) =' рзУ вЂ” «ти(0) — р'(О) = «в1' — 2р — б, 1 зю р — 3 П одставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение: рзУ вЂ” 2р — 6 — 3(РУ вЂ” 2) + 21' = 12 —. Отсю- р — 3 2рз — бр+ 12 дв (Р) = ~- — -()(-, -2)( — 3)-. Находим у(1)- Можно разбить,пробь на сумму простейших (У(р) = — + + — ) но так как корни А В С р — 1 р — 2 Р— 3' знаменателя (р, —.— 1, рз = 2, Рз = 3) простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения формула (79.1)), в которой А(р) = 2р' — бр+ 12, В'(р) = (р — 2)(р — 3) + (р — 1)(р — 3) + (Р— 1)(р — 2).