Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 83

ГРафики функции у(1) и у(1 — т) имеют одинаковый вид, но трафик функции У(г — т) сдвинут на т единиц Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствии между оригиналами и их изображениями: Рис. 305 Рис. 304 вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции У(г) и У(4 — т) описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией У(1 — т), начинается с опозданием на время т. Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра- жения функций, которые на разных участках задаются различными аиалитичсткими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

(1 при 1) т, Функция Ц1 — 'т) = называется обойценной единич- ~0 при 4 <т ной фрнхцнеб (см. рис 305). Так как Ц1) =' —, то Ц1 — т) Ф вЂ” е '". 1 . 1 р' р Зала~и«валяную функцию У(1 — т) при 4 > т, 9(1) = 0 при1 < т можно записать так: д(4) = У(1 — т) Ц1 — т). Пример 7В.В. Найти изображение У(г) ( 1 Решение: Дпя того чтобы быть оригиналом, функция У(1) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко. Если понимать функцию У(1) как 1 — 1 при 1) О, У(1) = 0 при1<0, т. е.

У(1) = (1 — 1) Ц1) (см. Рис. 306, а), то, знал, что г Ф т (см. 1 р формулу (78.4)) 1 =' — и используя свойство линейности находим 1 ' р 1 1 У(1) = (1 - 1) Ц1) =: — — - = Р(Р). р' р 578 579 Замечания. 1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т, т есть г"(р) = — -~; / УЯе "'гм. о 2. Свойство опережения У(г+ т) =.' е' (Р(р) — / УЯе И гй) применяегся значительно реже. о Рис. 307 Рис. 306 Дифференцирование оригинала ф Если У(1) =; К(р) и функции У'(1), Ун(1),..., УОО(1) являются оригиналами, то 0 при1<0, У(1)= 1 при0<1<3, 0 при 1> 3. убй(1) ='р" р'(р) — р" 4 ° у(0) †..- — у~" 0(0). (78.14) ( и = е г' ! 8и = — ре "'4М ) у'Я Ф / у'Яе г гхг = ~ о = у(1)е '~ +р 4(Г у(1)е '"аг = — у(О)+рР(р).

|о о 0 при1<0, 1>4, УЯ= Г приО<1<2, 4 — 1 при 2 <1< 4. Итак, у'Я Ф р г" (р) — у(0). Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной У" (4): у"(1) = (у'(Г))' = р(р Г(р) — у(О)) — у'(О) =р'. г(р) — р у(О) — у'(О). Аналогично найдем изображение третьей производной Уо'(1): у (г) =.р(рв Р(р) — р- у(о) — у'(о)) — у"(о) = = р' Г(р) — р' У(0) — р.

У'(О) — Уо(0) Применяя формулу (78.11) (и — 1) раз, получим формулу (78.14). ° 381 Если же понимать функцию У(1) как гг — 1 при $) 1, У(1) = 1(0 при 1 < 1, т. е. У(1) = (1 — 1) - Цг — 1) (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим У(1) = (г — 1) . Ц1 — 1) =: -~~ ° е "= Г(р). ° ' р Пример 78.7. Найти изображение функции <„~ 1'ешение: Данная функция описывает единичный импульс (см. рис.

307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции Ц1) и обобщенной единичной функции Ц1 — 3). Позтому У(1) = Ц1) — Ц1 — 3) Ф вЂ”" — — е з" = К(р). р р 17ри.мер 78.8. Найти изображение функции (.а Решение: Функция-оригинал изобраРис. 308 жена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда Ц1) н Ц1 — т): УЯ = 1. Ц1) — Г Цà — 2) + (4 — 1) ° Ц1 — 2) — (4 — Г) ° Цà — 4), УЯ = Г Ц1) -(1 — 2+2).Ц1-2) — (1 — 2 — 2). Ц1 — 2)+(1-4) Ц1-4). Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: У(1) =4 Ц1) — 2(1 — 2)-Ц1 — 2)+(1 — 4) Ц1 — 4). Изображение функции У(Г) будет равно — 2г 1 — 4г у(Г) ° 2 е — 2г + е — 4г г'(р) 2 ' 2 У'(1) = р Р(р) — У(О), у" (г) =; р'. Р(р) — р у(о) — у'(о), уо'(1) = рз . Р(р) — р'.

у(О) — р. у'(О) — у" (О), (.4 По определению изображения находим (78.11) (78.12) (78.13) опустим),получим (,а Решение: Пусть х(1) лам (78.11)-(78.13), имеем х'(й) Ф Р. х"(1) Ф Р уо(1) ° 3 Х вЂ” 3, .Х-Р З-О, .Х-рг З-Р.О+2, . 2 1 =: —. ' р Следовательно, '()()=:(-1)" " ~В (78.16) 583 Замочанпе. Формулы (78.11) — (78.14) просто выглядят при пулевых начальных условиях: если 1(0) = О, то 1'(1) =; Р Г(р); если ДО) = = 1'(О) = О, то у" (1) Ф Рг ° Г(р), и, наконец, если 1(0) = у'(О) = ... 0(0) = О, го 1( 1(1) =; р" ° Г(Р), т. е. дифференцированию оригинала соотве1ствует умножение его изображения на Р. Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений. Лример 78.9. Найти изображение выражения Хьт(1) — 2Х" (1) — ЗХ'(1) + 2Х(1) + 2, если х(0) = 3, х'(0) = О, х" (0) = — 2.

Л" (Р) = Л. Тогда, сдгласно форму- хи(1) — 2хз(1) — Зх'(1) + 2х(1) + 2 Ф ='Рз Л вЂ” Зрг+2 — 2(12. Х вЂ” ЗР) — 'З(Р Х вЂ” 3)+2Х+ — 41 Р Дифференцирование изображения ф Если ~Я Ф Г(Р), то Г'(Р) Ф вЂ” 1 1(2), Г"(Р) =: ( — 1)'-1'. У(1), т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на ( — 1). Д Согласно теореме 78.1 существования изображения, Г(Р) является аналитической фУнкцией в полУплоскости Вер = з > зо.

Следователь- но, у нее существует производная тпсбого поряцка. Дифференцируя ин- гегрзл (78.1) по параметру Р (обоснование законности этой операции ОО ! ОО го~=((ле'"'а) = ((и)'-"1', = о о / 1(1) ° ( — Ь)е "1 111 = / ( — 1 ° 1(1))е "'1Й =; — 1 Х(1), о о ' т. е. Г'(р) =; — 1 1(1). Тогда Г" (Р) = (Г'(Р)) =: — 1( — 1. Х(1)) = 1 ' У(1) Г"'(р) =' — 1(12 1'(1)) = — г" - 1(1) и вообще Гбй(р) =; ( — 1)" 1" ° 1'(Й). ° Пример 78.10. Найти изображения функций Р' (п Е Н), екв 1", 1 ° з1по11, 1- созОЛ, 1- зЬО21, 1.

сЬО11, е" 1- з1пшз, е" 1. созо11. ;. О Реп1ение: Так как 1 =: —, то, в сину свойства дифференцирования 1 ' Р' 2 ! изображения, имеем — 1 1 Ф вЂ” — 2, т. е. 1 1 1 =' 2 ' Р '.Далее нахоцим — 1 =; ~ ) = =з, т. е. 1 =; —:,. Продолжая диффе- 1 Р' г Р Р' , ренцирование, получим Р. О+1 ' (. 3. С учетом свойстна смешения получаем и! )О-~-1 :; Согласно формуле (78.5), зш оп' =: — 2-~' — 2. Следовательно, Р +м Ф вЂ” 1зшиз, г у1т. е.

— — т — Ез — 2 —— . '-121пш1, или (Р+ш) 2 2 2 2о1Р (78.15) (Р'+ ')' Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим 2 2 2,2 2' (Р +ш) 21хг 1 ( 2 2)2' Р'+ ог' ( г 2)2 Прпуиер 7ХХ. 11. Найти изображение функции —; найти изобразш Х жение интегрального синуса уу — ' — Йт. айаг т з О Решение: Так как згпх =; -з— 1 р +1 я агсгй и 2р р Умножение изображений Если ~у(Х) =. Р~ (р), ~з(Х) = Ез(р)р то Е (р) - Е (р) Ф 1 У (т) ' Б(Х вЂ” т) Й ° о (78.17) ( 1 Можно показать, что функция / уу (т) . ЯХ вЂ” т) Йт является ориги- з налом. Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать р уур (Х) = ~Ц)(т) Йт1 = Х(Х), о р у Хьи уар-ар.р Х" (Хьро уар- и ) О о з ( е "' ЙХ / уу(т) ЯХ вЂ” т) Йт.

Интегрирование изображения о о Область Ю интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями 0 < Х < < оо, 0 < т < Х (см. рис. 309). Изменяя порядок интегрирования и ползу ая Х вЂ” т = Хм получим Рис. 309 ( уу(т) 1'з(Х вЂ” т)Йт =, '( Цт)Йт ( и "',У'з(Х вЂ” т)ЙХ= о о (У Ят)е У Йт ~ Я(ХХ)е "" ЙХг — — Р) (р) .

ууз(р). ° 585 С учетом свойства смещения и формуц (78.15) и (78.16), получаем 2уа(р — а) е"" Х з1пьуХ Ф = (( -а)'+")" ау, (р о) е" Х созщХ=;— ((р — а) э + ьу~)э Интегрирование оригинала (Е) Если Х'(Х) =; Г(Р), то уу 7(т) Йт =, '—, т. е. интегРиРованию оРиг (Ху1 о гинала от 0 до Х соответствует деление его изображения на р. ( 1 Функция р(Х) = ~ 1(т) Йт являьчся оригиналом (можно проверить).

о Пусть у(Х) =; зр(р). Тогда по свойству дифферьзншровзлия оригинала имеем Ю'(Х) Ф р. Й'(р) — т(0) =р Ф(р) (так как р(0) = 0). А.так как то г"(р) = р ° Йр(р). Отсюда Ф(р) = —" — ', т. е. / Х(т) Йт =. '— "). р р о Если Х"(Х) =' Е(р) и интеграл / Е(р)Йр сходится, то / Р(р)Йр =' Х(О Ф , т. е. интегрироваииуо изображения от р до со соответствует деление его оригинала на Х. ( Х Используя формулу (78.1) и изменяя порялюк интегрирования (об- основание законности втой операции опускаем),получаем Хрр|рррр= Х' (Х у(р> ра) рр= Х" (Х' ррр)у~р)рр= р о о р = / ~ — — е Р') )ДХ)ЙХ = / — е МЙХФ вЂ”. ° ",Х'(Х) . УР) - l ~ ~„) о о т.