Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004), страница 7

В то же время не хватает инженеров, обладающих достаточными знаниями в данной сфере. Цель этой книги— обеспечить понимание методов ЦОС и их реализации, дать читателям возможность овладеть практическими знаниями по столь важному предмету. зз 1.3, Ключевые операции ЦОС Существует несколько алгоритмов ЦОС, еще больше находится в стадии разработки или ждет своего открывателя. Однако для всех этих алгоритмов, включая самые сложные, необходимы одни и те же основные операции.

Для начала будет полезно рассмотреть некоторые из них, чтобы оценить простоту реализации ЦОС. Итак, основные операции ЦОС вЂ” это свертка, корреляция, фильтрация, преобразования и модуляция. Все этн операции собраны в табл. 1.1, а ниже дано краткое описание каждой из них. Следует заметить, что для всех основных операций ЦОС потребуется выполнение только простых арифметических действий — умножения, сложения, вычитания и операции сдвига. Также отметим сходство между многими операциями.

-: 1,3.$;.: Свертка Свертка — это одна из наиболее используемых операций в ЦОС. Например, это основная операция цифровой фильтрации. Для двух данных конечных и причинных последовательностей х(п)и Ь(п) с длиной М, и Мз соответственно их свертка определяется как СО у(п) = Ь(п) ® х(п) = ~ Ь(Ь)х(п — Ь) = Ь(Ь)х(п — /с), п = О, 1,..., (М вЂ” 1), к=о где символ ® использУетсЯ длЯ обозначениЯ свеРтки, а М = Ьгс + Ьсз — 1. Как бУ- дет видно из последующих глав, производители устройств ЦОС разработали процессоры для обработки сигналов, которые эффективно выполняют операции умножения с накоплением, задействованные в свертке. Пример линейной свертки двух последовательностей, изображенных на рис.

1.1„а и б, показан на рис. 1.1, е. В этом примере Ь(п), п = О, 1, 2,..., можно рассматривать как импульсную характеристику цифровой системы, а у(п) — как отклик системы на входную последовательность х(п). Численные значения свертки, т.е. у(п), получены путем прямой оценки уравнения (1.1). Например, у(1) получается следующим образом: у(1) = Ь(0)х(1) + Ь(1)х(0) + Ь(2)х( — 1) +... + Ь(12)х( — 11) = =Ох1+( — 0,02) х1+ОхО+...+ОхО= = — О, 02.

Значение свертки становится более очевидным, если рассматривать ее в частотных координатах и использовать тот факт, что свертка во временных координатах эквивалентна умножению в частотной области. Более подробное обсуждение свертки, включая ее свойства и графическую интерпретацию, дается в главе 5. Глава 1. Введение Тиблици 1.1.

Обзор основных операций ЦОС Оь у(п) = й(п) Ги х(п) = ~ й(й)х(п — й) = Ь=-ьь = ~ й(й)х(п — й), и =0,1,,,(М вЂ” 1), ь=о где М = Д1з + № — 1. 2. Корреляция. А. Для двух данных последовательностей х(й) и у(й) длины зу с нулевыми средними значениями оценка их взаимной корреляции равна з(гг) [г (0)г„„(0))''з' (1.2) где г „(п) — оценка взаимной коварнантности, определяемая как м- — 1 г „(п) = зф Я х(й)у((с+ и) п = 0,1,2,... ь=а иь — з ф ~ х(й — о)у(й) п = О, -1, -2, ь=.о и-1 и-з (0) = — ~ [х(й)), г„„(0) = — ~ [у(й)[ . ь=а ь=е Гь Оценка аатокорреляции р, (п) последовательности х(й) длины зУ с нулевым средним значением задается как Р (п)= * —, п=О,х1,х2,..., (1.3) г (О) ' где г ,(п) — оценка автоковариантности, определяемая как 1 Ю- -1 г (п) = — ) х(й)х(й+п), п =0,1,2, )У ь=с 3.

Фильтрация. Уравнение для фильтрации с конечной импульсной характеристикой (КИХ) имеет вид; у(и) = ) 6(й)х(п — й), (1.4) гле х(й)и у(й) соответственно — вход и выход фильтра, а й(й), й = О, 1,...,зУ вЂ” 1 — коэффициенты фильтра 4. Дискретное лреабразаеаиие Фурье. Х(п) = ) х(й)И' ", где И' = ехр( — 2я1)Х). (1.5) 1. Саертка. Для двух данных последовательностей конечной длины х(й) и 6(й) с длиной )Уз и )Уз соответственно линейная свертка равна 33 1.3. Ключевые операции ЦОС з Рис. 1.1. пример свертки двух последовательностей, у(п) — зто свертка ь(п)и е(п).

если рассматривать Ь(п) как имнульсную характеристику системы, то у(п) — зто выхол системы при входе *(и). Значения р(п) были получены непосредственно из уравнения (1.1) 2.32,; Корреляция Существует две формы корреляции: автокорреляция и взаимная корреляция. Взаимно-корреляционная функция (ВКФ) — это показатель сходства или общих свойств двух сигналов. В число областей применения ВКФ входят: взаимный спектральный анализ, детектирование (восстановление) сигналов, скрытых в шуме, например„ детектирование ответных сигналов радара, подбор по образцу и измерение задержки.

ВКФ определяется по формуле (1.2). Авлтокорреляционная функция (АКФ) подразумевает существование только одного сигнала и дает информацию о структуре сигнала или его поведении во времени. Это частный случай ВКФ, и их сферы применения сходны. Автокорреляционная функция, определяемая по формуле (1.3), особенно полезна для выявления скрытой периодичности. Примеры ВКФ и АКФ некоторых сигналов приведены на рис, 1.2 и 1.3. Стоит заметить, например, что по АКФ искаженного шумом сигнала ясно видно, что за шумом скрывается периодический сигнал (рнс. 1.2). На рис. 1,3 показано, как с помощью ВКФ измеряется задержка, которую вводит система, — ее можно узнать, измерив время от начала отсчета до большого максимума. 84 Глава 1. Введение 1500 -1500 8 Е 8 8 8 Е 8 Врс «(мс) зм рюм(мс) нюола й 5ОО,ОО о,а $ 0,4 о,ь й ОД < О в 8 В Е Е В -О,) 8 8 8 8 8 Е В 8 8 В и Вр мше змр «(с) -0,4 е 8 Ж Врм ( З«мрак ( ) Рис. 28.

Авгокорреояцня( а) псриодичсакого ангнала, б) шума; в) псриодичссюго сигнала с шумом. Обратите внимание на то, что на панели 0 периодический характер сигнала. Окрьпого за шумом, вас еше заметен; по этой причине автобюрреляцию часю используют для выявления скрытой периодичности . 1.3.3. Цифровая фильтрация Как станет очевидным при изучении последующих глав, одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, является линейная цифровая фильтрация, которая определяется как !ч — ! ! ООО 500 й 0 -500 -1 ООО й о,оо -500,00 б) -!СОО,ОО 8 8 8 2 500 2НЮ (ЯО 1 НЮ 500 0 -500 -1000 -1 500 -2 ООО -2 500 8 1 о,а Об 0.4 0,2 'О -ад -0,'4 О,б а,б -1 8 1 0,0 О,б й О,) 0 8 аз 1.3.

Ключевые операции ЦОС За звю,ао 4000,00 звю,оо вюо.оо гвю,ао й (ооо,оо о,оо -(ооо,ао нюо,оо а -(ооо,оо -2000,00 -зало,оо -4000,00 -гвю,ао -зооо,оо о (о го за )о га За Врем»(мс) б) Время (мс) а) о,в о,г О,б 0,5 » 0,4 ол и 0,2 ол о -О,( -0,2 с с з Ч ы За»»рак» (мс) в) Рис. 1.3. Взаимная корреляция случайного сигнала з(() с задержанной зашумленной версией того же сигнала у(().

Задержка между двумя сигналами равна времени от начала отсчета до времени появления максимума их взаимной корреляции на напели с где 6()с), ж = О, 1,..., 1(( — 1 — коэффициенты фильтра, а х((с) и у((с) соответственно— вход и выход фильтра. Для заданного фильтра коэффициенты, определяющие характеристики этого фильтра, однозначны.

Заметим, что фильтрация — это, по сути, свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра во временных координатах, те. 6()с). На рис.!.4, а показана блок-схема фильтра, определение которого было дано выше. В таком виде этот фильтр широко известен как трансверсальный фильтр. На рисунке через л ' обозначена задержка на один интервал дискретизации. Как правило, целью фильтрации является устранение или снижение шума в полезвом сигнале. Например, на рис.

1.4, б показана низкочастотная фильтрация некоторого биомедицинского сигнала для устранения высокочастотных искажений. Вообще в подобных сферах цифровой фильтр используется в основном для минимизации искажений внутриполосных компонентов сигнала. за Глава 1. Введение -1П х(л) д-и Сигнал после фильтрапии См гнал по фильтра мин х[О' «)о' (й) 4 3 2 ! о -! -2 -3 Время (с) Время [с) 6) Рис. 1.4. Блок-схема трансверсального филшра, здесь ь(е).

ь = О, 1,..., дг — 1 — коэффициенты фильтра, а каждый квадрат с а ' обозначает задержку на один интервал дискретизации (панель а); цнфроаая ннзизчашстнаа фильтрация биомедицинского сигнала с целью устранения шума (панель б) ').3.4. Дискретные преобразования Дискретные преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной. Для получения спектра сигнал раскладывается на частотные составляющие с помощью дискретного преобразования. Знание такого спектра неоценимо, например, при определении ширины полосы, что необходимо для передачи сигнала. Переход от временных координат к частотным необходим во многих приложениях ЦОС. Например, он позволяет более эффективно реализовывать такие алгоритмы ЦОС, как цифровая фильтрация, свертка н корреляция.

Существует много дискретных преобразований, из которых самым распространен- ным является дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое определяется следую- щим образом: Х(7?) = ~~) х(/с)И?"", где Иг = ехр( — 2лз/1)г), ь=-а о) 5 4 3 и 2 д о -? я -3 К 4 -5 -6 о 2 3 4 5 6 7 8 9 О ! 2 3 4 5 6 7 8 9 2.3. Ключевые операции ЦОС 37 О,з 0,2 0,3 а) 0 0 а !б 24 32 40 4В 5б Днакгнтнсс ерема,а 20 -ао о 0,325 0,25 0,325 Частою Рне. 5.5. Описание цифрового фильтра ао временных и часютных координатах: а) импульснан характеристика; б) спектр фильтра. Спектр фильтра был получен с помощью дискретного преобразонанин Ь(п), что иллюстрирует одно из возможных применений ДПФ Пример использования ДПФ приведен на рис.