Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996), страница 8

е. (в — в„,)— — (у — 1) = в — в„, — у + 1. Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока'. Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа в форме (2.4) для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Пример )О. Найти токи в ветвях схемы рнс. 2.9, в которой Е1 = 80 В, Ея = 64 В„ Я1 = 6 О м, Р2 = 4 Ом, йз = 3 Ом, И4 = 1 Ом. а) Рис. 2.10 (а) ~1+ Ь2= ~З Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в — в„, — (у — 1) = 3 — 0 — (2 — 1) = 2 уравнения.

Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Для контуров К1Е1К2Е2 (б) 11~1 21~2 1 + 2 Знак плюс перед!11с1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак минус перед 121г2 — потому, что направление 12 встречно обходу контура. Для контура Е21с21~31с4 12К2+!З(ЯЗ+ Я4) = — Е2 Совместное решение уравнений (а) — (в) дает!1 —— 14 А, 12 — — — 15 А, Рз — — — 1 А. Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно„в результате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказалисьтоки 12и1з, что следует понимать так: направления токов 72 и РЗ не совпадают с направлениями„принятыми для них на рис.

2.9 за положительные, т. е. в действительности токи 72 и 7з проходят в обратном направлении. Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Поддеревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев.

При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных. Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изображено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, в — четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные. Более подробно о топологии электрических схем см. $2.31 — 2.35 и А.5 — А,10.

ф 2.9. Заземление одной точки схемы. Заземление любой точки схемы свидетельствует о том, что потенциал этой точки„принят Равным нулю. При этом токораспределение в схеме не изменяется, так как никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, не образуется. Иначе будет, если заземлить две или большее число точек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае через Р е ш е н и е. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис.2.9, в =3; в„=0;у =2. Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение: Рис.

2.11 землю (любую проводящую среду) образуются дополнительные ветви, сама схема становится отличной от исходной и токораспределение в ней меняется. $2.10. Потенциальная диаграмма. Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. Г10 оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат — потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграммы по данным примера 2.

Пример 11. Построить потенциальную диаграмму для контура аЬсеа (см. рис. 2.9). Р е ш е н и е. Подсчитаем суммарное сопротивление контура: 4+ 3+ 1 = 80м. Выберем масштабы по оси абсцисс (ось х) и по оси ординат (ось у). Произвольно примем потенциал одной из точек, например точки а,«р,=0. Эту точку на диаграмме рис. 2.11, а поместим в начало координат. Потенциал точки Ь: «рь — — «р„+ 1~4 = «р„— 60 = — 60 В; ее координаты: х = 4, у = — 60. Потенциал точки с: «р, = «гь+ Е~ — — 4В; ее координаты: х = 4, у =,«4.

Потенциал точки е: «р, = «р, + 1зй4 — — 4 — 1Х1=3В; ее координаты: х = 5; у = 3. Тангенс угла а«наклона прямой а„ь к осн абсцисс пропорционален току /з«'а «и,, тангенс угла а~ наклона прямой се — току 7з', 1на = / —, где т н т — масштабы т ' по осям хну. Обратим внимание на различие в знаках, с которыми входит падение напряжения И при определении потенциала какой-либо точки схемы через потенциал исходной точки и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. При вычислении потенциала последующей точки через потенциал предыдущей !К берут со знаком минус, если перемещение по сопротивлению К совпадает по направлению с током, тогда как при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа И некоторого участка цепи берут в сумме Х1К со знаком плюс, если обход этого участка совпадает с направлением тока 7 на нем.

ф 2.11. Энергетический баланс в электрических цепях. При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания. Если направление тока 1, протекающего через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную Е1, и произведение Е1 входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком. Если же направление тока 1 встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение Е1 войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид П г=ХЕ1. Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток 1 от источника тока, а от узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна 11„,1. Напряжение У„„и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов (см.

$ 2.22). Общий вид уравнения энергетического баланса: ХРЯ =ХЕ1+ХУ„1. Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы. $2.12. Метод пропорциональных величин. Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС ветви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы.

В Результате расчета получим значение напряжения 1l „схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А. Так как найденное значение напряжения!/ „в общем случае не равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи, Рис. 2Л2 умножив их на коэффициент, равный отношению ЗДС источника к найденному значению напряжения в начале схемы. Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обособленно от других методов, применим для расчета цепей, состоя1цих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника. Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в звезду, метод наложения и т.

п.), которые рассмотрены далее. Пример 12. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.11, б методом пропорциональных величин. Сопротивления схемы даны в омах. Р е ш е н и е. Задаемся током в ветви с сопротивлением 4 Ом, равным 1 А, и подсчитываем токи в остальных ветвях (числовые значения токов обведены на рисунке кружками). Напряжение между точками т и и равно 1.4+ 3 3+ 4.3 = 25 В. Так как ЭДС Б = 100 В, всетоки следует умножить на коэффициент й = 100/25= 4. ф 2.13.

Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток, Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Таким образом, метод коктирных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа. Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений). Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис.