Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996), страница 14

Из рисунка видно, что т1 возрастает с,увеличением ~/ь а„а,а а(з 1А1= ((а~ оза ((~з 31 аза 33 Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные — нули, например: Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные — нули, называют единичной: 100 111= 010 001 Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строк1( и любого столбца равна нулю.

Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. Э (((( аю Матрица 1А1 = равна матрице (Я аы ию Щ Ьп Ь„ 1В] =, если а(( —— Ь((, а(~ — — Ь,~, а~,— — Ьап аэа — — Ь~а. Ь,, Ь„' о У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере а((аров — а(аая=Ь((Ью — Ь(аЬ~(, но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц. Операции над матрицами [их сложение, умножение) постулиро- 70 ф 2.29. Некоторые выводы по методам расчета электрических цепей.!.

Наиболее эффективными являются метод узловых потенциалов (МУП ) и метод контурных токов (МКТ). 2. Методика составления уравнений этими методами, рассмотренная в ф 2.13 и 222, проста, упорядочена и позволяет легко контролировать правильность подсчета коэффициентов левой и правой частей уравнений непосредственно по схеме. 3.

Системы уравнений МУП и МКТ решают обычно с помощью средств, всегда имеющихся под рукой (микрокалькулятора или логарифмической линейки), а относительно сложные схемы рассчитывают, используя ЭВМ. 4. Уравнения теории цепей могут быть составлены и матрично-топологическим методом, использующим некоторые топологические понятия и соответствующие им матрицы.

Рассмотрим, как это делается. Но,' сначала напомним некоторые сведения о матрицах. Э 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними. Матрица— это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки.

Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй — номеру столбца. Матрицу называют квадратной, если число строк в ией равно числу столбцов наны из соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц: С11 С12 С21 С22 [А]+[С1 = П11+С11 П12+С12 а21+С21 а22+С а„а12 П21 И22 При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) (-ю строку первой матрицы умножают на я-й столбец второй. Ум ножи м две матрицы, элементами которых являются числа 3 4 7 8 3 5+4 ° 7 3*6+4.8 ' Пример 28. Составить [А) для [А] = — 1 ап а12 а21 а22 Р е ш е н и е.

Заменив элементы на ал браич а22 — а21 рицу . После транспонирования имеем — а12 а11 ' ские дополнения, получим матс а22 — а12 . Следовательно, — а21 а11 ' а22 — а 12 а21 1! а11а22 — а12а21 Произведение [А) [А] 1=[1]. Для решения уравнения [А)[В[=[С) относительно матрицы [В) следует обе части этого уравнения умножить на [Аг:[А) 1[А][В]=[А) 1[С]и учесть, что[А) ~[А]=[1].

В результате получим [В]=[А) [С]. В матричном уравнении [А][Х)=0 можно переставлять столбцы в матрице [А) при одновременной перестановке строк в матрице [Х]. ф 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы. Положим, что в схеме имеется д узлов и в ветвей и каждая пара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между какими-то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей, то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических матриц ветви схемы (графа) нумеруют и на них ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления для отсчета тока и напряжения на каждой ветви.

Перед нумерацией ветвей графа нужно выбрать дерево. Как указывалось в ф 2.8, дерево представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют ни одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равно (у — 1). Нумерацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, используя номера с 1 по д — 1. Номера с у по в придают ветвям графа, не вошедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или хордами. В качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А) [В] чь ч~ [В) [А], т.

е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А) '. Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А]. Рис. 2.34 Ветви Узлы 1А1= 1 2 з 123 4 5 6 1 О О -1 О -1 11О О 1 О ОО1 Π— 1 Заметим, что матрица [А1 может быть представлена двумя подм атрицами: Узлы Ветви 1...(у-1): у...ь 1А1= 1 (у — 1) А, А ~ Матрицу сечений [Щ составляют для любых сечений графа, а матрицу главных сечений [9,] — для главных сечений выбранного ?2 рис. 2.34, б — соответствующий ей граф.

Схема имеет четыре узла и шесть ветвей. Узлы обозначены цифрами 1 — 4 (рис, 2.34, б). На рис. 2.33„в показано дерево, которое положено далее в основу формирования топологических матриц, Ветви дерева обозначим цифрами 1, 2, 3, остальные ветви графа (ветви связи) — цифрами 4, 5, 6. Ветви дерева рис. 2 34, г вычерчены утолщенными линиями, ветви связи — тонкими. На ветвях графа ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, в, г). Узловую матрицу [А ~ составляют для всех узлов графа, кроме одного.

В этой матрице номер 1-й строки соответствует номеру узла, а номер у-гостолбца — номеру ветви. В ячейки матрицы[А 1ставят числа 1, — 1,О. Если узел, для которого составляется строка матрицы, охватить некоторой поверхностью, след которой показать кружком, то в соответствующую ячейку матрицы [А] ставят 1, если стрелка у-ветви направлена из кружка, ставят — 1, если стрелка направлена в кружок, и О, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле 4 (рис.

2.34, б): дерева. След сечений на рисунках показывают овалами, вычерченными тонкими линиями. Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного дерева. Главные сечения нумеруют. Номер главного сечения соответствует номеру рассекаемой этим сечением ветви дерева. Для графа рис. 2.34, б главные сечения показаны на рис.

2.34, г и обозначены цифрами 1, 2, 3. Сечение 1 рассекает ветвь 1 и ветви связи 4 и 6, сечение 2 — ветвь 2 и ветви связи 4, 5, 6 (ветвь 1 целиком входит в овал 2 и не рассекается им), сечение 3 — ветвь 3 и ветви связи 5 и 6. Строки матрицы [9,.] соответствуют сечениям, а столбца — ветвям графа. В ячейках соответствующей строки матрицы Я,,] ставят 1 для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности этого сечения (след этого сечения на плоскости — овал), так же как и стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ставят — 1, когда ветвь связи не рассечена — О.

Применительно к дереву рис. 2.34, в для главных сечений (рис. 2.34, г): Ветви Сечения 1 2 3 4 5 б 1 0 0 — 1 Π— 1 0 1 Π— 1 1 — 1 0 0 — 1 0 — 1 1 [Д,1= 2 3 -у В общем случае матрица Я,,] может быть представлена в виде двух матриц: Ветви 1...(у — 1) . у...в Сечения %,1= .т Каждая строка [Щ имеет только по одному элементу 1 и находится он на главной диагонали, поэтому [~,] представляет собой единичную матрицу [! ] и [1~„]=[1:~,]. Главными контурами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контуры теми же номерами, какие присвоены ветвям связи в них.

Главные контуры 4,5,6дерева рис.2 34,в изображены на рис.235. Толстыми ~нянями показаны ветви дерева, тонкими — ветви связи. Матрицей главных контуров [К,.] называют матрицу, составленную из чисел 1, — 1, О, строки которой соответствуют номеру глав- Рис. 2.36 Рис. 2.35 ного контура, а столбцы — номеру ветви. Главные контуры при составлении матрицы [К,1 обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура.

Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку [К„1 ставят 1, если не совпадает, то — 1, если ветвь не обходится, то О. Для контуров 4, 5, б рис. 2.35: Ветви Б общем виде матрица [К,~ может быть представлена в виде двух подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов. Контуры 1-(У вЂ” 1) У-в к,: к У Так как номер строки(номер контура) в[К,Д определяется номером его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы [К,,] имеет только один элемент 1, расположенный на ее главной диагонали, т. е.

[К,,1 представляет собой единичную матрицу [1$ а [Ю='[К,:1 1. ф 2.32. Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топо- логических матриц. Совокупность уравнений по первому закону Кирхгофа может быть записана следующим образом: [А1[Ц = О, где [Ц вЂ” матрица-столбец (транспони рова иная м а три ца-строка) токов ветвей. Для графа рис. 2.33, г Контуры 1 2 3 о 5 Π— 1 б ! 1 — 1 456 1ОО О1О оо ! 00-! 0-1 — 1!0 0 ! 0 00 ! 0-! (РА~з~4Ь5Ч' = 0. где ~0,) — матрица-столбец(транспонированная матрица-строка) напряжения ветвей. Для графа рис. 2.33, г 0 !00 0 — 1 1 010 (Ю!Ц0зЦИзЮ6! = О. ! 1 — 1001 $2.33.

Обобщенная ветвь электрической цепи. В литературе, использующей матрично-топологическое направление теории цепей, вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис. 2.36). Она образована двумя параллельными ветвями. Первая состоит из сопротивления ветви Й, (проводимость д,) и источника ЭДС Е„вторая — из источника тока У„. Для принятых на рис. 2.36 положительных направлений токов ток через сопротивление Й, равен /, + У„.