Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 10

Длн эюй целе жхпользуемся п(юпнд)дгой, рапсмпцюдной в' предьпгушем раздште, а имешю брдем ывпншюировать функционал (5,32) перед вычислением вн- теерзгюв. Эигг гюдкод позволяет выбрзть хзрзктсриспгкн элеьмлтов, пяиГолее приемлемые для каждОЙ конкретной задачи. Нзчием процесс мивямиззции с преобрззовзиня фулкпионзлз (5.32). Этот шзг иескояько упрощает последующие оперении.

Введем лве ывтрнпы- (б.зз) ))- О К б саотвопгенги (5.32) может быть теперь ззпзсзно в виде Х= Н((3)г (В) (В! — В)())бр+~брбз+ т з1 +~+(йд — Вру„+<абз. (Взб) Вспоминзя. по функции от и ие являются пен)юрыеиымн зю всей облнсти, вместо иих внедем е рэссиотренне функции вгй определенные пз отдельных элементах. Интегрвны в (5Л5) должны быть рззбпгы пз ин:гегрзлы по отдельным ююмеитэм, что пнет л Х=~ Я(б"1!" (В')(б Ч)бу — ~б %~ бу+ $ г ] ° х«! +РлбыбЗ+ГЮ г!фм ь 2 и + бзбз, (535) Лл где Š— общее число элементов.,Паследнее аютлопммле зюжет быть снзшолическн знпмснно кзк х х"'+хш+ "+хгьт-яХш. (5,37) где хвз — вклэд отделыюю элементв н у. Л(пниммшвля х требует выпОлжптш ооотпошевшг д.л к д$Г=В(ф) ЕХ™-Х д(а) =6. (533) омичи «ра и х зздлч лиходеи лсяачзиз элглгшсэ тт «)5.

Частные производные дтпг/д(Ф) в (5.33) ве могут быть определены, покз знпегрзлы в (5.36) ле булут выражены через узловые знэченкя (Ф(. Учитывая ссошошение (4.1): ри'=(Л' г) (Ф!. можно вычислить величину (5ЛЗ), которая вместе с (4.1) сюжет быть иодстввленз в (536). Запишем вырзженпе для (бпг)г ди"> длсо дз "" Ж ага дьог нр аЛ' атет дг дг дв," нр ах<о а в~ г др П1ХМ (биг! = нли -~(В )г(вы|1(В )(Ф)бу ,ло. (а"'! =(вгл) (6'!. (5.40) где [В! содержит информнцию, сзязщшую с дрошжшим ф)мшш" формьь Эти величины покз пе известны, потому чго функггин формы евм ме оцределоны.

Использоввние формул (4.1) и (5АО) позволяет ззписзть мнтегрзлы по элементам в (5Лб) в ниде Х =~+(Ф! (В ) (Вьг)(В )(Ф)бр — ~()(а")(Ф)бр+ л гг 1 +~4(а цФ)бЗ+Я(Ф)т(а )г(а 1(Ф)бз— зю чю — ~ар (аьг)(Ф)аз+~ в були. (м() зш зрг Велпчнны 1'>, 4, а и й — известные коэффициенты, Они внесены под знзк ннтсгрзлз, потому что,могут изменяться виугри злементз. Дифференццровзнве велнчияы (5.41) по (Ф) представляет собой совершенно простую опернпню, если пользовзтьсн правиламн дифференццровзвия, привехпнными в приложении Б. Рэссмотрнм формулу (5.41) г (Ф) г (Вг г)г (()~ г! (Вьг) (Ф! бу гг'г тд —,(',! ~Е! )(Ф)ду-~О(Л 7( у' тга зла д )4(У(и )(Ф)45 ~4РРЖ 45 дта (бгдй) " (Ф)г ()умг)г ()уа~) (Ф! гш ( цйчгг)г ((уаг) (Ф! 55 д(Ф! ) й — ' — (' р„уу >) (Ф)дй=(»р„(»< г)гдб, д (Ф) з~ г ам д тл д(Ф! ! 3 Вклад отделыюго элеишпа дугагд(Ф) а общую сумму в дх/д(Ф) ранен М" (Р(йиУ(риг)(йиг)др !.

д (Ф) +~»(РР )г()У )45) (Ф! — 1Е!)У ) др+ зга + р, (»гьг)г 45 ~'»р„уугд)гдб (5А5) з эю Эта сонокупнасгь шпегралон машет быть нзписшш а «аыпактпай форме: ргиг (»иг) (Ф)+ !)аг! (5.44) рьз) ~(йиг)Р (Виг) )Вг г) др ! ~ Ц)раа(т ()Уиг(дб (5.45) тз г н а)),;~у+ р »ганг 45 р» (й(мг)г 55 (5 45) гга йг Оиэнчзтслы)чя система ураннсний палучаетса после пспстаноани эыраженпя (бцд) и (5.35): ФЕ ~т(!»ш) (Ф)+()и~)) (К)(Ф! =(Р), (5.47) (5.45) (й) =~' !»иг) (5.49) (р)= — я !)ш! ° \ Илшцрзлы п (545) определюот матрицу теалопрозодиостн элемента (Ггш), а лнтегралы л (555) — аскюр цапрузкн элемента ()М>). Этп цгпсгралы предстзинягот соборг основные (нзультапз мего раздела. Вычжпепке этих нптесралон абсуждщтся н глаэак, где рассматрннаются специальные области применения. Составление глобальной ыастжцы пз матриц элементоэ пллюстрирусжя п ошюыизетс» деталыю н следующей главе 5.4.

Уравнения метода конечных элементов: теория упругости Рсшемм алдан тегфии ул;рутостн зчожет быть пргмедено одним из двух метадон. С помощыа аернога метода решают дифференциальные урапнелля с заданными граничными услсеняма. Втирай мигах, занлючаетсн н мшшмизацни внтспрзльной величины, сзязанной с работой напряжений и внепшей приложенной нагрузки. Длн решения задач теории улругостп метаном конечньж злементон испальаустся последний подход.

Если задача (мшаетси н гтеремещениял и па границе задапы ах эначенпя, то нужно мшипшаиронать потенциальную энергию епстемы. Если задача решается п пацрюкшншх с заданными па гринпис уснлцяин. то пузхэо ынпимизиронать дополинтсньную работу ажэсмы. Обшепрнпятаа бюрмулцронка метода жжишык злемшпан предползшет отыскапне шшн паремещаанй п тем самым сэязанз с миннмизацнсй потенцнэльлай энергии системы цра отыскании узлаэык значений егитора псремшцений. После таге кан лсремшцеиня будут опрелслены..можно эычислать компоненты тензг)рои деформаций а паарнженнй. Граю б Поскольну далее мы будем польмэаться формулировкой метода Конечных элементов, связанной с ыивнмизепией нотенвнальиой энершги. цриведем здесь теореыу о типенпиэльвой энергии (Ц. l Иэ есек лерелющяяий, удовлетворяющих кинемотичесюок граничным услоеияМ, сищиоварное (зксгуемальное) вличение пожнииальной энергии июбщиют те перемещения.

нагорью удаелегяоряют уравнениям раенснеиш. Важное щебозаиве этой .реореыы состоит в там, что искомые перемещения должны удовлщткрять зэпаиным зкачевивм ма гранкия. Полная потенциальная энергия упрутсй системы может быю. (юзделена ма две части, одна из которых соответствует энщгмги леформавмй в теле, а другая определяется потенциальной энергией массовых сил м прнложенных поверхжнтных сил. В соответствия с этим запишем полную патенпиальную эвергшо в виде И=А+ В' (5.51) где.Л вЂ энерг деформаций, а В'р — патенцналыгая зиергня прилажаеных овл.

Рабата вкешних сил цративопслажва гю эяану нх иотвециалиной энерпги: (5.52) В'= — В'ю Из 4юрмул (5.51) и (5.52) получаем П Л вЂ” В'. (5.5ог После, разбиения обласщ иа элементы равевпво (5,53) эаписьюаеюя в внле суммы и У(Л ~ Вна) У„ (5.54) Прежде чем обсуждать нмэлвщвапяю П в обгдем случае, рассмотрим одын врастай првмер. 5.4А. Осевое нагруженне элемента канс~рукцнм / Примеиенне теоремы о минимуме потенивальнай ввергли будет проиллюсцтщюввно па примере оссвага натруженна эымента мтлструхщщ, показажюго ма фвг. 5.2.

Осевое перемещение извиняется линейно с г нуля ма эакрытлезяом жжце да величины Л=РЦАЕ ма иагруженном конце. В этой формуле Р— нагрузка. Š— ллвна, А — площадь люпсречного сечвлня двгалв конец:укцин, Š— модуль упругщчя матервала. Рюан л к кю и кдач методам шинник кммлкпя С помощью метода конечных злемектов ацредялви перемещеяие ма вагружанном конце стержня.

Решение задачи лря этом начвнаагся с выбора мелели для перемюцевня. Зтч модель вави- сит от тша выбранного зламента. 5(ы будем тюпользовать одюг лигмйный саюмцрный злевант, поэтому вг'т )У(гтбгх+ЛфУ Твк как (4г должяо Раэвятьс» пулю ва эащюллемвам конце, имшеприведенеое уравнение сводятся к следующему: уумтмцяалькая знергня оцрепеляерся формулой П=~ -,'" Ау — Р(( (5Е5) Иитегрэлыое слагаемое л)юдставляег энергию деформаций. тогда как член вида РЕк выражает работу преложеэной силы.

Компонента твнвора напряжеаий а связана с компонентой тсвзорв ягйхцгмацнй е законом Тука а„„=Ее поэтому выражение (блб) пожег быть записано в виде 1. И=А 3 —,Ее',йх-р(4. Р $ где Е[г Абд Предполагаетсв, что площадь лощречного сечении детали коиссрукииа шктоя>иш по длине. Деформации е свнзаив с псреьчещеииеы ыкжношениеы е Дпгдх, Дифференцирование выражении (5.55) дает е (5.53) Нотенциальиав энергии системы теперь выражаетси следующим образом> Ми>шмизации П по 4>ч пркеолвт к 1>раввышю ЛП АЕ = — — 4> — Р =О. ЛП,= 1.

° (ы» Решив уравнение (6.66). получаем РС 4>з= —. АЕ ' (5.61) что совпадает с чторе>невским значением. теоретическое значение в ржсмагриввемоы случае было достиш>уго благодерв выбору модели перемещении, точно соответствующий физической зедаче: перемещение имченнетсв линейно «вк в модели, так и в реальной физической задаче.

5А2. Общий случай Энергии тюформации бесконным малого объема ДР дается формулой Дд —, [е[т [о! —,(е !' [о!. (5.62) где (е) — полива ды[юрмацин, а (еа) — начальная Лифорыацик Величина ЕЛ ивзыввегсв плотностью энергии дефорь>ации, в полная энергии деформации получается иитегрцровюшем этой величины по объему тела: Л Г! — ([е[т [а) — [зэ[т [и!) >В'. (5.63) Ввд векторных столбцов (е) и (иг ззвисит от чого, канав задача решвсшя.

Нюэример. для двумерного случаи ижмкой деформации эти вектор-столбцы вмеют вид 1 [е[т=[е„„е „т н [и[у=[и с> т „!. В основе курса теории упруп>сп> [5) лежат два важных соотношения> заков Гукв, который связывает комле>шиты теиэоров напряжений и деформаций, и соотношения санки между дсфсрмациими м перемещениями. Закон Гуна в общей форме имеет вил [и! =[В! [е! — [4>[ [еэ!. (5.64) где [П) содержит упругие константы материала. Сооиюшеннв сввэи между деформацнвми н перемещениями записываютсв квк Ев Ет дв е лн и = —, Ф (5.65) ли дв т = э„+-55.

Ъ> Ее 'Ев т + —. т =+ —. э г ЭН Ег э дг ОЭ где и, о и ш — компонеаты перемен>ений и направлении координатных осей л. е и а соответс>ленво'>. Зги компоненты перемепмивй быви, выражены и гл. 3 через узловые значения аэедующим абразомч (и! = (и>! [4>[. (5.66) Здесь [йг( — матрица функций формы (324). С помощью формул (5.65) можно выразить вектор деформации (е) через узловые перемепюзия (("1. Общи» форма этих соотлошеинй такова: [а! =[В) [(>[- (5.67) Здесь [В[ — избища, ппвучеема» дифференцированием ивдлежвп>им образом матрицы [д>).