И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 8

Эту величину и естественно взять за определение силы. Учитывая, что ускорение — вектор, будем считать и силу вектором, совпадающим по направлению с вектором ускорения а, Итак, в ньютоновской механике с и л а, действующая на тело массы т, определяется как произведение та. 39 Оправданием именно такого определения силы кроме соображений наибольшей простоты и удобства послужила дальнейшая проверка всех вытекающих из него следствий.

Второй закон Ньютона. Изучая на опыте взаимодействие различных материальных точек с окружающими телами, мы обнаруживаем, что пта зависит от величии, характеризующих как состояние самой материальной точки, так и состояние окружающих тел. Это является весьма существенным физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобщений ньютоновской механики: произведение массьь материальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точки относительно окружающих тел, а иногда также и функцией ее скорости, Эту функцию обозначают Г и называют силой.

Именно в этом и состоит фактическое содержание второго закона Ньютона, который кратко формулируют обычно так: произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе, т. е. ~ та=Г. ~ (2.6) Это уравнение называют уравнением движенин материальной точки. Сразу же подчеркнем, что второй закон Ньютона и уравнение (2.6) получают конкретное содержание только после того, как установлен вид функции à — зависимость от определяющих ее величин, или, как говорят, з а ко н силы.

Установление вида этой зависимости в каждом конкретном случае является одной из основных задач физической механики. 40 Определение силы как пта, лежащее в основе уравнения (2.6), обладает тем исключительным достоинством, что законы сил при этом окзэынаются очень простыми.

Правда, переход к изучению двиткений с релятивистскими скоростями показал, что законы снл потребовалось бы модифицировать, сделав нх сложным образом зависящими от скорости материальной точки. Теория стала бы громоздкой н запутанной. Существует, однако, простой выход нз этого затруднения, если дать несколько иное определение силы, а именно: сила есть производная импульса р материальной точки по ерел~ени, т. е. ЙрЯб и ураввение (2.6) записывать з виде В ньютоновской механике зто определение силы тождественно гла, ибо р=те, а=солж и бр~ю=та.

В релятивистской же механике импульс, как мы увидим, зависит от скорости материальной точки более сложным образом. Но важно другое. Прн таком определении силы (как брйи) законы сил, оказывается, остаются теми же и в релятивистской области. Так что простое выражение данной силы через физическое окружение изменять не потребуется при переходе к релятивистской механике.

Это обстоятельство мы учтем в дальнейгпем. ;.мь' Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон — это такая сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м~сз. О сложении сил. На всякую материальную точку в данных конкретных условиях действует, строго говоря, всего только одна сила Г, модуль и направление которой определяются расположением этой точки относительно всех окружающих тел, а иногда также и ее скоростью.

И тем не менее часто бывает удобно эту силу Г представлять как суммарный результат действия отдельных тел, или сил Гь Гь,... Опыт показывает, что если тела, являющиеся источниками сил, не влияют друг на друга и поэтому не меняют своего состояния от присутствия других тел, то сила Г=Гх+Гг+ ° "з где Г; — сила, с которой действовало бы на данную материальную точку 1-е тело в отсутствие других тел. Если это так, то говорят, что силы Гь Гм ... подчиняются принципу супер позиции. Такое утверждение ладо рассматривать как обобщение опытных фактов. Третий закон Ньютона. Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела А и В и тело А сообщает ускорение телу В, обнаруживается, что и тело В сообща.

ет ускорение телу А. Отсюда мы заключаем, что действия тел друг на друга имеют характер в з а и м оде й с тви я. Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил взаимодействия — третий закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т.

е. Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются парами. Обе силы приложены к разным материальным точкам и, кроме того, являются силами одной природы. Закон (2.7) распространяется па системы из произвольного числа материальных точек. Мы исходим из представления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного взаимодействия между материальными точками. В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо ог движения точек.

Это утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгновенном распространении взаимодействий — предположению, которое носит название принципа дальнодействия ньютоновской механики. Согласно этому принципу, взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно большой скоростью. Иначе говоря, если изменить положение (состояние) одного тела, то сразу же можно обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они ни находились. В действительности это не так — существует конечная максимальная скорость распространения взаимодействий, которая равна скорости света в вакууме.

Поэтому третий закон Ньютона (а также и второй) имеет определенные пределы применимости. Однако при скоростях тел, значительно меньших скорости света, с которыми имеет дело ньютоновская механика, оба закона выполняются с очень большой точностью. Свидетельством этому являются хотя бы расчеты траекторий планет и искусственных спутников, которые проводятся с «астрономической» точностью именно с помощью законов Ньютона. Законы Ньютона являются основными законами механики.

Они позволяют, по крайней мере в принципе, решить любую механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены и все остальные законы механики. В соответствии с принципом относительности Галилея законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Это значит, в частности, что уравнение (2.б) будет иметь один и тот же вид в любой инерциальной системе отсчета. Действительно, масса т материальтой точки как таковой не зависит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета. Кроме того, для инерцнальных систем отсчета одинаковым является и ускоре- иие а точки. Сила Г тоже не зависит от выбора системы отсчета, поскольку она определяется только взаимным расположением и скоростью материальной точки относительно окружающих тел, а эти величны, согласно верелятивистской кинематике, в разных инерциальных системах отсчета одинаковы.

Таким образом, все три величины, т, а и Г, входящие в уравнение (2.6), не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к друтой, а следовательно, не меняется и само уравнение (2.6). Другими словами, уравнение та=Г инвариантно относительно преобразований Галилея. $2.3.

Силы Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто математической задаче, необходимо прежде всего — в соответствии с уравнением (2.6) — знать действующую на частицу силу, т. е. зависимость силы от определяюгцих ее величин. Каждая такая зависимость получена в конечном счете на основании обработки результатов опыта и, по существу, всегда опирается на уравнение (2.6), как на определение силы. Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, — это силы гравитационные и электрические. Приведем выражения для этих снл в самом простом виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками. В соответствии с з а коном всемирного тяготе ни я эта сила пропорциональна произведению масс точек лт1 и ть обратно пропорциональна квадрату расстояния т между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки; т1 ит (2.8) гз где у — гравитационная постоянная.

Фигурирующие в этом законе массы называют гравитационными в отличие от инертной массы, входящей во второй закон Ньютона. Из опыта, однако, установлено, что гравитационная и инертная массы любого тела строго пропорциональны друг другу. Поэтому можно считать их равнымн (т. е. выбрать один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить просто о м а с се, кото- 43 рая выступает как мера инеРтности тела нли Как мера гравитационного действия. Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами дг и дв. ю й!Ч)М гв (2.9) где г — расстояние между зарядами, й — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

Заметим, что закон Кулона (2.9) перестает выполняться точно, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие движущихся зарядов оказывается сложным образом зависящим от их движения. Одну из частей этого взаимодействия, обусловленную движением, называют магнитной силой (отсюда и другое название данного взаимодействия — электромагнитное), При малых (нерелятивнстскнх) скоростях магнитная сила составляет пренебрежимо малую часть электрического взаимодействия и оно с высокой степенью точности описывается законом (2.9). Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаимодействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопич ских, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий.

Поэтому удобно ввести другие, приближенныс, силы (которые в принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это необходимо для того, чтобы упростить математически задачу настолько, чтобы ее можно было практически решить. С этой целью вводят, например, следующие силы. Однородная сила тяжести г =ту, где пг — масса тела, я — ускорение ння ". (2.10) свободного паде- 44 ' Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р— ато сила, с которой тело действует на опору (или поднес), иеподвитниую относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом )неподвижны относительно Земли, то вес Р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р=т(я — а), где а — ускорение тела (с опорой) относительно Земли. Упругая сила — сила, пропорциональная смещению материальной точки нз положения равновесия и направленная к положению равновесия: (2.11) г' = — хг э где г — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы нз положения равновесия; х — положительный коэффициент, зависящий от «упругих» свойств той или иной конкретной силы.