И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 5

Такую ось называют м г н о в е н н о й о с ь ю в р а щ е н и я. Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со временем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания цилиндра и плоскости. Сложение угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью в' вокруг оси ОА (рис. 1.12) и затем эту ось приведем во вращение с угловой скоростью ы~ вокруг оси ОВ, неподвижной в К-системе отсчета. Найдем результирующее движение тела в К-системе. Введем вспомогательную К'-систему отсчета, жестко связанную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угловой скоростью аьь и тело вращается относительно нее с угловой скоростью в'.

За промежуток времени ЙГ тело совершит поворот йр' вокруг оси ОА в К'-системе н одновременно поворот д~рр вокруг осн ОВ вместе с К'-снстемой. Суммарный поворот, согласно (1.12), есть бр=бр~+Ар'. Поделив обе части этого равенства на Й, получим м=ы„+ ы'. (1.20) Таким образом, результирующее движение твердого тела в К-системе представляет собой чистое вращение с утловой скоростью в вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором аз н проходящей через точку О (рис. !.!2).

Эта ось перемещается относительно К-системы— она поворачивается с угловой скоростью ы~ вместе с осью ОА вокруг оси ОВ. Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости ы' н вю не меняются по модулю, тело будет обладать в К-системе угловым ускорением б, направленным, согласно (1.14), за плоскость (рис. 1.12). Вопрос об угловом ускорении твердого тела более подробно рассмотрен в задаче 1.10.

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости ы удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, е можно представить как векторную сумму составляющих на определенные направления, т. е. а=в~+аз~+..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при анализе сложного движения твердого тела. М $1.3. Преобразования скорости и ускорения при переходе к другой системе отсчета ~ ч=т,+т'. ~ (1.21) Продифференцировав (1,21) по времени, найдем форму- лу преобразования ускорения: ~ а=а,+а'. ~ (1.22) Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рамках ньютоновской механики длина масштабов и время считаются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т. е.

не зависит от движения. Это же касается н течения времени, которое также одинаково во всех системах. Постановка вопрос а. Имеются две произвольные системы отсчета К и К', движущиеся определенным образом относительно друг г г друга. Известны скорость т н ускорение а некоторой точ- 0 ки А в К-системе. Каковы Ю соответствующие значения О т' н а' этой точки в К'-систе- Рис.

1.13 ме? Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой. 1. К'-система движется поступательно по отношению к К-системе. Пусть в К-системе начало отсчета К'-системы характеризуется радиусом-вектором г,, а ее скорость и ускорение — векторами тс и ас.

Если положение точки А в К-системе определяется радиусом-вектором г, а в К'-системе — радиусом-вектором г', то г=го+г' (рис. 1.13). Пусть далее за промежуток времени б( точка А совершит в К-системе элементарное перемещение бг. Это перемещение складывается из перемещения загс вместе с К'-системой и перемещения с(г' относительно К'-системы, т. е. с(г=с(гс+дг'. Поделив данное выражение на Й, получим следующую формулу преобразования скорости: Отсюда видно, в частности, что при ае=й а=а', т.

е. при движении К'-системы без ускорения относительно К- системы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одинаковы. 2. К'-система вращается с постоянной угловой скоростью сз вокруг оси, неподвижной в К-системе. аг' ссч' Рис. !. 14 Возьмем начала отсчета К- и К'-систем в произвольной точке О на оси вращения (рис. 1.14, а). Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один н тот же: г=г'. Если точка А неподвижна в К'-системе; то это значит, что ее перемещение с[г в К-системе за время с[г' обусловлено толшсо поворотом радиуса-вектора г иа угол.с[ср (вместе с К'-системой) и равно, согласно (!.1!), векторному произведению [с[ср, г).

Если же точка А движется относительно К'-систсмы со скоростью ч', то за время с[г она совершит дополнительное перемещение ч'с[! (рис. 1.14, а) и тогда с4г=ч'бг'-[ [с[ср, г[. (1.23) Поделив это выражение на Ю, гголучим следующую формулу преобразования скоростй (1.24) ч=ч'+ [сот[, где ч и ч' — скорости точки А в К- К'-снстемах отсчета соответственно. Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (1.24) приращение с[ч вектора ч за время бг' в К-системе 26 должно складываться из суммы приращений векторов ч' и (ег), т. е.

бч=бч'+[е, дг). (1.25) Найдем бч'. Если точка А движется в К'-системе с ч'= =сонэ[, то приращение этого вектора в К-системе обусловлено только его поворотом на угол с[ф (вместе с К'- системой) и равно, как и в случае с г, векторному произведению [бег, ч'[.

В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора ч' с осью вращения (рнс. 1.!4, б). Если же точка А имеет ускорение а' в К'-системе, то за время й вектор ч' получит еще дополнительное приратценис а'Ж и тогда бч'=а'!бг+[0<,, чЪ (1. 2б) Подставим (1.26) и (1.23) в равенство (!.25) и получ иное выражение разделим на с[!.

В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения: а =а'+2 [еч')+ [е [ гЦ, (1. 27) где а и а' — ускорения точки А в К- н К'-системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы носит название кор пол псов а (илн поворотного) ускорения а„р, а третье слагаемое — осестремительного ускорения '" а,„: аее = 2 [еч'), а„= [е,[етг[[. (1.28) Таким образом, ускорение а точки относительно К- системы равно сумме трех ускорений: ускорения а' относительно К'-системы, кориолисова ускорения а„р н осестремительного ускорения а„.

Осестремительное ускорение можно представить в виде а,.= — е'р, где р — радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу (1.27) можно записать так: а = а'+ 2 [еч'[ — агр (1.х9) 3. К'-система вращается с постоянной угловой скоростью е вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью че и ускорением а, по отношению к К-системе. ! ь Осестремнтельное ускоренне не следует путать с нормаоьлмм ускореннем.

Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную 5-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения К'-системы и перемещается поступательно в К-системе. Пусть ч и тгз — скорости точки А в К- и 5-системах отсчета, тогда в соответствии с (1.21) ч =ус+уз Заменив чгз, согласно (1.24), выражением тгз= =у'+(озг], где г — радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы, получим следующую формулу преобразования скорости: 1= ч= р'+ те+ [от~. ~ Аналогичным образом, используя (1.22) и (1.29), найдем формулу преобразования ускорения; (1.30) а=а'+а,+2(щу'1 — е'Р. ~ (1.31) Задачи ° 1.1.

Радиус-вектор, характерязующнй положение частицы М относительно неподвижной точки О, меняется со временем по закону г=Аа(пю(+В сов ыб где А н  — постоянные векторы, прячем А( В; ю — положительная постоянная. Найти ускорение а частнцы н уравнение ее траектории Н(я), взяв осн к я у совпадающими по Напомним, что в последних двух формулах м, у' и а, в'— скорости и ускорения точки А соответственно в К- и К'- системах отсчета, ус и ас — скорость и ускорение оси вращения К'-снстсмы в К-системе, г — радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы,р — радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.

Рассмотрим в заключение следующий пример. Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг собственной осн, укрепленной на столе. По диску движется точ. ка А с постоянной относительно стола скоростью ч. Найдем скорость ч' н ускоренне а' точки А относительно диска в момент, когда раднус-вектор, характеризующий ее положение по отнощенню к осн врашення, равен р Скорость ч' точки Л, согласно (1.24), ч' =ч — [юр). Ускорение же а' найдем с помощью (1.29), учтя, что в данном случае а=о, нбо ч= — сопз(.

Тогда а'= — уючй' ы'р. После водстановкн в зту формулу выражения для т' голучнм а =2(зм) — югр. направлению с векторами А и В соответственно и имеющими начало в точке О. Решение. Продифференцировав г по времени дважды, волучим а = — мт (А а!и м1 + В соз а1) =- — з г, т. е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропорционален расстоянию частицы до этой точки. Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав г вз оси х и р, получим х = А а1п и/, у = В ссж ыц Исключив ы( из этих двух уравнений, найдем хз/Аа+ рз/Вт ..