И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 4

Поступательное движение. Это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др. Прн поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, т. е.

к задаче кинематики точки. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса-вектора г(1) любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00', совершило за время б1 бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором д~р, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью 00', причем 17 так, что направление поворота отвечает правилу и р а в ого винта по отношению к направлению вектора Фр (рис.

1.6). Теперь найдем элементарное перемещение любой точки А твердого тела при таком повороте. Положение точки А зададим радиусом-вектором г, проведенным из некоторой точки О на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиуса-вектора г (рис. 1.6) связано с углом поворота с[ф соотношением [дг [=к з[п Ьбчг, илн в векторном виде (1.12) бг=[бф, г). (1.11) Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота с[ф. Другими словами, тольРис.

1.6 ко бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы ". Кроме того, введенный нами вектор бф удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению. В самом деле, представим себе, что твердое тело совершает два элементарных поворота дф, и г[фз вокруг разных осей, проходягцих через неподвижную точку О. Тогда результирующее перемещение г[г произвольной точки А тела, радиус-вектор которой относительно точки О равен г, можно представить так: дг =дг, + бгз= [с[ф„ г[ + [бф„ г) = [дф, г[, где бф=бфт+с[фм * Как следует нз рис. 1.6, для конечного поворота на угол Лгр линейное перемещение точки А [Ьг[ = г з1пй 2з1п(ат/2).

Отсюда сразу видно, что перемещение Лг нельзя представить как векторное произведение векторов Л т и г. Это возможно лишь в сзучае бесконечно малого поворота дм, в пределах которого радиус-вектор г можно считать неизменным, т. е. два данных поворота (Йр, и Йр2) эквивалентны одному повороту на угол Йр=Йр1+Йр2 вокруг оси, совпадающей с вектором Йр и проходящей через точку О.

Заметим, что при рассмотрении таких величин, как радиус-вектор г, скорость ч, ускорение а, не возникал вопрос о выборе их направления: оно вытекало естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называют пол я р н ы м и. В отличие от них векторы типа Йр, направление которых связывают с направлением вращения, называют а к си аль ными. Введем векторы угловой скорости и углового ускорения.

Вектор угловой скорости а определяют как (1.13) где й — промежуток времени, за который тело совер шает поворот Йр. Вектор а совпадает по напра~иле. иию с вектором Йр и представляет собой аксиальиый вектор. Изменение вектора а со временем характеризуют вектором углового ускорения р, который определяют как р= да/й.

(1.14) Направление вектора 11 совпадает с направлением пав приращения вектора а. Вектор р, как и а, является аксиальным. Единицей угловой скорости в СИ является р ад и а н в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения— радиан на секунду в квадрате (рад/с'). Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, особенно при изучении более сложных движений твердого тела. Это дает возможность во многих случаях получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты.

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекциях на ось вращения з, положительное направление которой свяжем с положительным направлением отсчета координаты у — угла поворота— правилом правого винта (рис. 1.7). Тогда проекции а, и р, векторов е и () на ось г определяются формулами а,= <1ууй, (1.15) 9 =ба (й. (1.16) !9 точки А относительно произвольной точки 0 оси вращения (рис.

1.8). Модуль вектора (1.17) п=ыгз1пб, или п=мР~ где р — радиус окружности, по которой движется точка А. Продифференцировав (1.17) по времени, найдем полное ускорение а точки А: а=[бы!бг', г)+[и, дг/дг), П или 1= а=[[)г[+[ы(ег[[. ~ (1.19) В данном случае (ось враще- д Фг ння неподвижна) Яы, поэтому вектор [рг[ представляет собой тангенциальное ускорение а„. г Вектор же [о[юга — это нормальное ускорение а„. Модули этих ускорений равны: [а,[=рр; а„= зр. Д Отсюда модуль полного уско- Рис.

!.8 рения г л= г' из+аз =р )~ рз+(о~, Плоское движение твердого тела. Это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, йараллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости. При этом плоская фигура Ф, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Р (рис, 1.9), в процессе движения все время оста. ется в этой плоскости, например цилиндр, катящийся по плоскости без скольжения (но конус в подобном случае совершает уже более сложное движение).

Нетрудно сообразить, что положение твердого тела при плоском движении одназначно определяется положением плоской фигуры Ф в неподвижной плоскости Р. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. 21 Пусть плоская фигура Ф движется в своей плоскости Р, неподвижной в К-системе отсчета (рис. 1.10).

Положение фигуры Ф на плоскости можно определить задав радиус-вектор г, произвольной точки О' фигуры и угол между радиусом-векто. ром г', жестко связанным с к й фигурой, и некоторым фиксированным направлением в К-системе отсчета. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями: Рис. 1.9 ги=гс (Г)! 'Р='Р(Г). Если за промежуток времени Й радиус-вектор г' точки А (рис. 1.10) повернется на угол ЬР, то иа такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол сир не зависит от выбора точки О'.

А это значит, что и угловая скорость га фигуры тоже не 'к 1к' зависит от выбора точки О', и мы имеем право называть а1 угловой скоростью твердого тела как такового. Найдем скорость и произвольной точки А тела при плоском движении. Введем вспомогательную К'-систему отсчета, которая жестко связана с точкой О' тела и пере- 'а мещается поступательно относительно К-системы (рис. Рис. 1.1О 1.10). Тогда элементарное перемещение дг точки А в К-системе можно записать в виде юг=с(г„+дг', где с(ги — перемещение К'-системы (точки О'), а с)г'— перемещение точки А относительно К'-системы.

Перемещение с(г' обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в К'-системс оси, проходящей через точку О'! согласно (1.!1), дг'=(д~р, г'). Подставив это выражение в предыдущее и поделив обе части полученного равенства на Ж, найдем ч = >ге+ 1о>г'(, (1.19) т. е. скорость любой точки А твердого тела при плоском движении* складывается из скорости тз произвольной точки О' этого тела и скорости >г'=(е>г'), обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку О'. Подчеркнем еще раз, что и' — это скорость точки А относительно поступательно движущейся К'-системы отсчета, жестко связанной с точкой О'.

з Рис. 1,11 Рис. !.12 Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения — поступательного (вместе с произвольной точкой О' тела) н вращательного (вокруг оси, проходящей через точку О'). Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному. Действительно, при плоском движении скорость чз произвольной точки О' тела перпендикулярна вектору е>, а это значит, что всегда найдется такая точка М, жестко связанная с телом"", скорость которой и=О в данный момент. Из условия О=то+(гвг'и) можно найти положение точки М, т.

е. ее радиус-вектор г',,г относительно точки О' (рис. 1.11). Этот вектор перпендикулярен векторам о> и че, его направление соответствУет вектоРномУ пРоизвеДению из= †1г'и), а моДУль г мг оз(гв. / Точка М определяет н положение соответствующей оси (она совпадает по направлению с вектором о>). Движение твердого тела в данный момент времени представ- * Заметим, зто формула (1.19) окззывается справедливой и для любого сложного движения твердого тела. "* Точка М может оказаться и вне тела, ляет собой чистое вращение вокруг этой оси.