И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 3

Проинтегрировав это выражение по времени от /=0 до й найдем приращение вектора скорости за это время: Л ч= ~ аб/= ад о Но величина Лч — это еще не искомая скорость ч. Чтобы найти ч, необходимо знать скорость чо в начальньш момент времени. Тогда ч= уф =чо+Лч, нлн ч=чо+ад Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе г(/) точки. Согласно (1.1), за о '-. ментарное приращение радиРис. 1.2 уса-вектора с)г=чс(й Инте- грируя это выражение с учетом найденной зависимости ч(/), определим приращение радиуса-вектора за время от /=0 до /: Лг= ~ ч (/) Ф = чо/+ а/о/2.

о Для нахождения самого радиуса-вектора г(г/ необходи. мо знать еще положение точки го в начальный момент времени. Тогда г = го+ Лг, или г = го+ ч,/+ аго/2. Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью чо. Если считать, что камень движется с постоянным ускорением а=й', то его положение относительно точки бросания (го=0) определяется радиусом-вектором г =чу+ и/о/2, т. е. в данном случае г представляет собой сумму двух векторов, что показано на рис. 1.2.

12 Итак, для полного решения задачи о движении точки — определения ее скорости ч н положения г в зависимости от времени — недостаточно знать зависимость а(Г), но еще необходимо знать и начальные условия, т. е. скорость то и положение го точки в начальный момент времени. В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр на секунду (м/с) и метр на секунду в кв ад р а те (м/с'). Координатный способ.

В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор той нли иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение.

Ограничимся здесь" декартовой системой координат х, у, г. Запишем проекции на оси х, у, г радиуса-вектора г(1), характеризующего положение интересующей нас точки относительно начала координат О в момент г: х=х(т); у=у(1); г=г(т). Зная зависимость этих координат от времени — закон движения точки, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроектировав (1.1) и (1.2), например, на ось х, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось: и =бхг'й, где дх — проекция вектора перемещения с(г на ось х; оп Д2х а„= — = —, (1ей) л дт ага $ где с(о„— проекция вектора прирашения скорости бтт на ось х. Аналогичные соотношения получаются для у- и г-проекций соответствующих векторов.

Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени. а В прилоскении ! рассмотрено движение точки в полярных коораииатаа. 13 Таким образом, зависимости хЯ, уЯ, а® по существу полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только положение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и и а в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости $/ г+ г+ г направление же вектора и задается направляющими косинусами по формулам созп=п /и; созр=ю„/ю; сову=О 1ю, где а, 11, у — углы между вектором и и осями х, у, з соответственно.

Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения. Тг Рис. 1.3 Рис. 1.4 Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения точки и пр. Решение обратной задачи — нахождение скорости и закона движения точки по заданному ускорению — проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени), причем задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент.

иЕстественныйэ способ. Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки А определяют дуговой ко о рд и н а то й расстоянием вдоль траектории от выбранного начала от- 14 счета О (рис. 1.3). При этом произвольно устанавливают положительное направление отсчета координаты 1 (например, так, как показано стрелкой на рисунке).

Движение точки определено, если известны ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты 1 и закон движения точки, т. е, зависимость 1(1). Скорость точки. Введем единичный вектор т, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты! (рис. !.3).

Очевидно, что т — переменный вектор: он зависит от 1. Вектор скорости ч точки А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так: ~ ч=е,ч, ~ (1.5) где о,=й/й — проекция вектора ч на направление вектора т, причем и,— величина алгебраическая. Кроме того, (е,(=(ъ'(= Ускорение точ к и. Продифференцируем (1.5) по времени: ач игу ц с. а= — ° я+е й и + й (1.6) Затем преобразуем последний член этого выражения: й д; и з ат з пе — — — — — (1. У) Определим приращение вектора т на участке й (рис. 1.4).

Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке! отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус р соответствующей окружности — радиусом кривизны траектории в той же точке. Как видно из рис. 1.4, угол ба= ~й(/р=)г(т1/1, от- куда !сИ/й(=1/р, причем при 61-~-О дт/1 и Введя единичный вектор п нормали к траектории в точке 1, направленный к центру 13 «рнвнзны, запишем последнее равенство в векторном виде: дт(б( = п7р. (1 8) Подставим (1.8) в (1.7) и полученное выражение— в (1.6).

В результате найдем ~а= — „' т+ — п.~ (1.9) Здесь первое слагаемое называют т а н г е н ц и а л ь н ы м ускорением а„ второе— аг Ю нормальным а„: оо пз а= — ' а= — и. т= й,' тз я= (1.10) Таким образом, полное ускорение а точки может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений. Модуль полного ускорения точки Рис. 1.5 где д — производная модуля скорости по времени.

а„= оз/р = аз 1/р. В нашем случае е,=с, поэтому тангенцпальное ускорение оо йо с11 оо а = — = — — = — о. т лс Д1 Д1 Я1 Учитывая зависимость в от 1, получим йз а ==А)'1 = —. 2 )гТ В результате 1я а й1/р. 1й Пример. Точка А движется по дуге окружности радиусом р (рис. 1.5), Ее скорость зависит от дуговой координаты 1 по закону о=й71, где й — постоянная. Найдем угол а между векторами полного ускорения и скорости точки как функцию координаты 1. Из рис.

1.5 видно, что угол а можно определить по формуле 1я а=а,/а,. Найдем а„н а,. Нормальное ускорение ф 1.2. Кинематика твердого тела Теория движения твердого тела помимо самостоятельного значения играет важную роль еще и в другом отношении. С твердым телом, как известно, может быть связана система отсчета, служащая для пространственновременнбго описания различных движений.

Поэтому изучение характера движения твердых тел равносильно, по существу, изучению движений соответствующих систем отсчета. Результаты, которые мы получим в этом параграфе, будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение.

Первые два движения (поступательное и вращение вокруг неподвижной оси) являются основными движениями твердого тела, Остальные виды движения твердого тела, оказывается, можно свести к одному из основных движений или к их совокупности (это будет показано на примере плоского движения). В данном параграфе будут рассмотрены первые три вида движения и вопрос сложения угловых скоростей.