Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 9

В результате получим — — с — — — — — ауа — ~ . дй 2дй Ь дй и а аи)' (6) дс д Ро д(дх2 Ро У о Левая часть (6) совпадает с уравнениями (1.2.1.4), а правая учитывает пристеночную вязкость Пристеночный градиент скорости рассчитывается нз задачи о погранслое, следующей из уравнения (2): ди ди ди БТ 2 йс' (у) ди Ро Уравнение (7) описывает колебания жидкости вблизи стенок. Скорость и возрастает от нуля (при у = О) до значения й (при у ~ и, т.е. вдали от погранслоя). Известное решение задачи: (8) (10) Позволяет рассчитать градиент скорости иа стенке с аи 1 гаи ат (9) ~lйп „'дт (С-т) Градиент на стенке и а, очевидно, имеет ту же величину, но противоположный знак. Подставляя (9) в (6), придем к искомому уравнению ди 2д и Ь д и 2 /п д гди сс'т Ьс '„.~ г - О.

дс2 одх2 Родсдхз и о' ) ~~(с-т)~~2 -03 Здесь знак усреднения по сечению (черта сверху) опущен. Третий член в (10) описывает действие вязкости в объеме слоя, четвертый член учитывает наличие пограничного слоя. Заметим, что в случае круглой трубы константа а равняется ее радиусу. Для цилиндрической трубы с поперечным сечением произвольной формы а есть константа порядка ее характерного размера.

2.1.2. Показать, что при распространении звука в узкой трубе наблюдается дисперсия. Найти закон дисперсии и частотную зависимость коэффициента затухания для слабого поглощения. Записать связь скорости и давления в бегущей волне, выражение для текущего импеданса. Решение Ищем закон дисперсии для уравнения (1.10) в виде и - А ехр (ссэс — сйх) Искомая связь волнового числа Ь н частоты и имеет вид -ы е с Ь + с' — ый — ч = (1-с)ы " О. 2 2 2 ° Ь 2 /7п 3/2 (1) Ро (3) нмпеданс поршня, равный отношению действующей силы к скорости поршня, зависит только от механических свойств поршня и называется его собственным входным нмпедансом (Л = Ф /и ).

При К задаче 2.1.3 51 В случае слабого влияния вгзкости (третнй н четвертый члены в (1) малы) получим прнблнженное соотношение и[, Оы 1 [и)1 1;~1 (2) со 2с22 а Ц О О Отсюда следует, что коэффнхнент затухания (мннмая часть й) равен Ьыз 1 и Оьз „1[ди1 2соро 2соро Дополнительное затухание изза прнсутствня стенок пропорционально и , в отличие от свободного пространства, где В - ы (см,также (1.2.2.3)).

Из формулы (2), кроме того, сле- 2 дует, что ' ="['-[ Л' 1 (4) О т.е, скорость распространения из-за стенок уменьшается тем сильнее, чем ннже частота. Поля давления н скорости в среде без поглощения (й = ы/со) сгладываются из прямой н обратной волн: р = Р ехр(М-йх) + Р ехр(М+йх), росои Р ехр((е(-йх) — Р ехр((ьз(+йх). Обозначим отношение амплитуд волн, бегущих в протнвоположных направлениях, как Р /Р, = ехр(-22)), где 9-комплексное число. Тогда р = 2Р ехр((ьх-у)) сп((2-йх), р,с,и 2Р ехр((иг-12) з)з(Ф йх).

Текущий импеданс в точке с координатой х равен Л(х) = р(х)/и(х) = р, с, сЯ(4-йк). В дальнейшем индекс 0 у ро и с мы опускаем. 2.1.3. Вычислить входной (х = О) акустический нмпеданс Я О в узкую трубу постоянного сечения, заполненную поглощающей средой н нагруженную на конце (х = () на нмпеданс Л, (см. рнсунок). Решение. Пусть прн х = 0 имеется поршень, на который действует сила Ф = ф ехр(ие()..

Прн отсутствии в трубе среды где у = й +  — постоянная распространения, а н Ь находятся нз граннчных условий (1) Прн х = 0 комплексные амплитуды давления н скорости равны соответственно р = рс(а + Ь), и о о а- Ь, н, следовательно, нз (1) получаем Ф, = (2, + Зрс) а - (2, - барс) Ь. (3) Аналогично прн х = ! р рс(а е ~ + Ь е~ ), н нз (1) находам (2, — Зрс) а е я — (21 + Яре) Ь е" "- О.

(4) Из (3), (4) вычисляем величины а н Ь; 2,~5рс 2,-Яре а= — — е~Ф, Ь вЂ” — е1Ф, д о а О' с с ,!. 2 +Зрс 2 -Зрс (б') (2;Брс)е ~ (2+Яре)ес ' Подставляя а н Ь в (2), получаем давленне н скорость в про- нзвольном сечения трубы. В частности, в сеченнн х = 1 Р = (22,рс/Ь)Фо. и~ = (2орс1Ь)Фо' (6) Исключая величину внешней силы Ф нз этих соотношеннй, можно связать давленне н скорость в сечении х = 0 с давлением н и ае" -Ье" (б) налнчнн среды усилие, производимое во входном отверстнн трубы, передается вдоль трубы на ее выходное отверстие, которое в общем случае обладает некоторым сопротнвленнем 2 (выход.

ным нмпедансом) Поэтому входной нмпеданс в трубу получает прнрашенне, зависящее как от параметров трубы (площадн сеченая 5) н свойств среды (плотностн р, скорости звука с), так н от нагрузки (сопротнвлення на выходе) 2 . Найдем связь между входным нмпедансом 2, нагрузкой 2 н велнчннамн, характеризующими среду в трубе (5, р, с). Обозначнм давление н скорость в начале трубы (х = О) соответственно через р н и, а в конце (х = 1) трубы через р~, и . ' Граничные условия прн х О н х - 1 соответственно нмеют внд Ф,— г"о 2и, - г 2и,, (1) где обозначено г = р 3, р,5 г . В произвольном сечении складываются две плоские волны, бегушне в противоположных направленнях. В слабо поглощающей среде давление н скорость представнмы в виде р рс(ае с" е Ье~") е~, и (ае ""- Ьес~) е~, (2) скоростью в сечении к й ро сй(у!) Р ' Рс зй(у!) и ио = с Р + сй(у0 н,.

(7) з'п (т!1 Давлениям ро и р! соответствуют силы Е = р 5 и Р = р 5, действующие в сечениях х = О н !. Из формулы (7) находим Е = сп(у!)Р,+арсен(у!)и,, и,= (Ярс) ~г + сп(у!)и!. (7') Будем считать, что гипотетический поршень невесомый и не обладает упругимн и диссипативными свойствами. Его собственный импеданс равен нулю.

С помощью соотношений (7), используя определение Л = Р,/и для иагрузки на выходе поршня (1), получаем выражение для входного акустического импеданса ' 'РУбУ фо Р г,сну!)+Бр Ь(у!) ' 2,зБгу7)+3Рссйу7) ' (8) а в случае слабого затухания звука в трубе Я ! сов( Й ! )+ !3р сз! п(й!) Соотношение (7) аналогично уравнению четырехполюсника, широко используемому в радиотехнике и связывающему ток и напряжение на выходе и входе. 2.1.4. Найти входной импеданс в трубу, закрытую на конде жесткой перегородкой.

Рассмотреть случай непоглощающей среды. Исследовать поведение импеданса на низких частотах. Решение. Для жесткой перегородки и = О и 2 м. Следовательно, из (3.8) получаем Ео = РоАо = 5Рс с1й(у!). (1) В среде без поглощения у = й = йв/с и .~о - — !ЕРс с(К(й!), (2) т.е. импеданс чисто мнимый и имеет наименьшее значение при й! = п(гл+1/2), иг - 0,1, 2 ... При л! к 1 (низкие частоты или короткие трубы) из (2) имеем Ео = — (ЕРсй7 = -(-Е7-. 1 ° 5 с (3) Из (3) находим, что величина Яре /! = Е имеет размерность з коэффнпиеита упругости.

Отсюда следует что сопротивление закрытой трубы Ло = Е/(йв) является чисто упругим. 2.1.$. Решить задачу 2,1.4 для открытой трубы, считая, что 2 =О. Ответ. Ло Зрс 1п(у!). В непоглощающей среде Я = !Ерс 18(й!); о прн й! к 1 Х н Юрсв! = йры!. Величина ш ЯР есть масса среды в трубе. Следовательно, открытая труба представляет собой чисто инерционное сопротивление. 2.1.6, При какой нагрузке 2 на конце трубы входной инпе- данс 2 равен выходному Л,? Ответ. Из (3 8) видно, что Л = 2, если Я = Ярс.

Эта о ! величина называется характеристическим или волновым импедан- сом (сопротивлением). Нагрузку Я = 5рс можно реализовать, например, путем присоединения бесконечно длинной трубы к кон- цу данного отрезка трубы. 2.1.7. Найти коэффициент отражения по давлению У от кон- Р ца отрезка трубы. Считая, что импеданс нагрузки на конце тру- бы равен 2, = )г э (хг найти модуль и фазу коэффициента от- ражения.

Определить, когда У = О. Ответ. Из (3.2)-(3.5) для комплексного коэффициента отра- жения по давлению имеем Ье~ Я;Зрс У =Уе' (1) Принято вводить безразмерные активное и реактивное сопротив- ления на единицу площади трубы: 2, = 5ас()))+Т,), )2, = й,/Бас, У, = Х,/Яре. (2) Тогда из (1) получаем (Я;1) .У,~ (Л,.1) .У, ' Р,.У, 1 Коэффициент отражения У = О при у = О и )1 = 5рс, т.е. ког- да импеданс нагрузки равен волновому сопротивлению трубы, 2.1.8, Считая, что коэффициент отражения на конце трубы задан в виде У = У е (У = )У )), найти распределение макг Р самумов и минимумов давления в трубе без поглощения.

Найти коэффициент стоячей волны, Решение. Если коэффициент отражения У задан в виде ь зь~ Л Ярс У ~Уе' ае~ ! (1) то, согласно (3.2), (3.5), давление внутри трубы с 2+5 с Ф*,<) 4< '"'~' ~) ' . 4 = — т — ' ч, (2) Выражение (2) удобно представить как сумму бегущей прямой волны с амплитудой А(1 — У) и стоячей волны с амплитудой 2АУ: р(х() - А(1-У)е~ )+2АУей~ ы ~ )сов[а(к-1)+о/2]. (3) Максимумы стоячей волны отстоят от конца трубы иа расстоя- ниях !! ! — = а ~на+ ан=-З!, ХГ о1 (4) (6) г де л! принимает все значения (па = О, 1, 2, ...), так чтобы 0 н !! с !. Для абсолютно жесткой стенки !т = 0 и первый максимум лежит на конце трубы (т = О, !! 0).

Если Я = О, то нз (1) следует, что У - -1 и о = я. В этом случае первый максимум находится на расстоянии ?г/4 от конца трубы. Минимумы давления находятся на расстоянии !! = ай (гл+2+ У~, (5) где !н по-прежнему выбирают так, чтобы 0 ~ !! м !. 'Давление в максимумах по амплитуде равно (р ) = А (1+1'), а в минимумах (р . ( = 4(1 — У), и коэффициент стоячей волны ~! п1аа( 1эр 2.1.9. Чему равен коэффициент отражения от открытого конца трубы, если из него излучается плоская волна высокой частоты? Решение. Можно пренебречь дифракцией на конце трубы и положить выходной импеданс равным Я = Ярс, т.е.