Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 8

Какую частоту зарегистрирует приемник в следующих ситуациях: 1) источник звука движется со скоростью и вдоль оси х относительно неподвижной среды, приемник неподвижен; 2) наблюдатель (приемник) движется со скоростью о относительно среды, источник неподвижен; 3) источник и наблюдатель одновременно перемещаются вдоль оси х со скоростями и и гк 4) источник и наблюдатель со скоростями и и о движутся в произвольных направления х? Решение. 1. Если источник движется в направлении излучаемых волн, то волны "укорачиваются", их длина А = (с — и)/(, О' где с-скорость звука Неподвижный приемник на оси х регистрирует звук с частотой 7 ь )О: ) " с/Х = )О/(1-и/с).

(1) Когда источник движется в противоположном (относительно излучаемых волн) направлении, волны "удлиняются", а частота уменьшается по сравнению с (О; для этого случая в формуле (1) следует полагать и м О. 2. Если приемник движется по направлению к источнику, волны проходят мимо него со скоростью с+ о. Поэтому частота ) - 'ХЕ = ЖО- (1+с)10.

(2) Отрицательные о в формуле (2) отвечают движению приемника от источника, 3. При одновременном коллинеариом движении источника н приемника получаем результат в виде очевидной комбинации формул (1), (2): ео 1-и/с (3) О связи знаков скоростей и, в с направлениями движения говорилось выше, 4. Пусть направления движения источника и наблюдателя со. ставляют углы 8 и 6 с прямой, соединяющей источник и при. емник (см, рисунок). Тогда по-прежнему справедлива формула (3), только вместо скоростей необходимо брать их проекции на ось х; 8 л 1а(о/с)соз6 (4) К задаче !.6! ~ гтетгяая;' '.

1,3.2. Локомотив приближается к наблюдателю со скоростью 20 м/с, Какую частоту основного тона гудка услышит наблюдатель, если для машиниста она равна 300 Гц? Ответ. 320 Гц (см. формулу (1.1)), 1.5.3. Звучащий камертон приближается к стене со скоростью и = 25 см/с. Неподвижный наблюдатель, воспринимающий одновременно прямой и отраженный сигналы, слышит биения с частотой 3 Гц.

Определить частоту колебаний камертона, Решение. Биения возникают при сложении двух сигналов: от удаляющегося камертона (! = ( (1+о/с) ! и отраженного от стенки ( = ( (1-о/с) ', к которой камертон приближается. Частота биений 2еДс 2 ! О 1-от/сх отсюда находим ( м 2 кГц. о !.3.4. Поезд движется со скоростью и. Когда он подходит к туннелю в вертикальной скале, машинист дает гудок, имеющий основную частоту ( . Эхо слышит мащинкст, а также сторож, стоящий в этот момент на земле на уровне последнего вагона. Какой частоты прямой звук и зхо слышит каждый нз ннх? Какой частоты биения они услышат? Ответ. Машинист слышит гудок иа частоте 1, а эхо-на чаа стоте (, = (п(1+и/с)/(1-и/с).

Сторож слышит гудок на частоте = 1 /(1эи/с), а зхо - на частоте 1 = 1 /(1-и/с). Разность частот Ь) = 1 — 1 - ) — 1 «2(и/с)1 одинакова. Поэтому н сторож, и машинист услышат биение на частоте Ь1. 1.5.5. Самолет летит к вертикальной стене со скоростью, равной половине скорости звука (и = с/2), и излучает тональ- ный сигнал на частоте 1 = 1 кГц. Какую частоту имеет эхоо сигнал, отраженный от скалы и воспринимаемый летчиком? Ответ. ) = Ц1+и/с)/(1-и/с) = 3 кГц. 1.5.6.

Теплоход плывет параллельно берегу озера со ско- ростью о = 20 км/ч и подает гудки на частоте 1 = 200 Гц. На о какой частоте звук принимает водитель автомобиля, движущего- ся параллельно берегу со скоростью и = 80 км/ч, если звуко- вой луч образует с направлениями движения угол 8? Рассмот- реть случаи 8 = 60, 90, 120, Ответ. По формуле 1 го(1-исоз8/с)/(1-исоз8/с) находим значения частот 182, 200, 233 Гц. 1.5.7. Рассмотрим сдвиговое течение: полупространство г « « 0 (среда 2) движется с постоянной скоростью и вдоль гра- ницы -оси х.

Полупростраиство г ~ 0 (среда 1) неподвижно. Волна (см, рисунок) падает из неподвижной среды 1 на границу г - 0 с движущейся средой 2, Вывести формулы для коэффициен- тов отражения У и прохождения Ф'. Решение. Волновое уравнение для звукового давления в сре- де 1 имеет вид 8'р,/81' = с'5(г (1) Волновое уравнение в среде 2 учитывает "ветровой снос" волны: 4 5? "о Вх) Рз - ' 'Рз. (2) Звуковое давление в среде 1 есть сумма падающей н отраженной волн; р А(ехр(15 г)+ Уехр(-15, г)1 ехр(-1ы,1~15 х).

(3) Здесь йз йй + йз1 - ы~/сз, при этом условии (3) есть решение уравнения (1). Звуковое давление прошедшей и среду 2 волны представим в виде рз А(рехр(-1ы1+ й „х й,г), (4) причем из волнового уравнения (2) следует (8) Динамическое граничное условие р р при р О приводит 1 2 к соотношению (6) (1еУ) ехр(-)ы,(+й х) ()т ехр(-)ы МА х). Поскольку (6) должно выполняться тождественно при любых х и получаем ы ы ы, й =й =й, (У=1+У. (7) 1 2 ' Ы 2к х' Соотношения й, - й, и (5) перепишем в виде й,ипО й шп8, я = й,[1 — — з1п81~, (9) (4), откуда находим ууол преломления 2 й, з1по з!П62= еи 5(п81= т-ти — ус~ — п8.

«з пад йзе (8) Мы получили 0 6, т. е. благое„ е, даря увлечению волны движущейся 2 ж средой 2 волновой вектор прошед~зе шей волны составляет с границей ег ~~ 'юл меньший угол, чем вектор падаю- ~ еак шей (см. рисунок), Для расчета коэффициентов У, требуется еще одно граничное условие (кинематическое) равенство вертикальных смещений на границе з = 0 Для расчета смешений воспользуемся 1 2 уравнением движения, записанным для сред 1 и 2; д ч1 дР1 д д 2 дРг 2 род 2 дз ' ро(37 одх~ ьг Вг Подставляя в уравнения (9) акустические давления (3), приведем условие р = г, к виду й А(1-1') ~йг тАУР роыг роыг(1-( /с )згпО 1 Обозначая а = 1 — (и /с)з)пО и учитывая закон преломления 1 й /й, = а (см.

(8)), а также 8г 1ер (см. (7)), найдем а соз61-(а -з1п 6,) 1/2 2а созО, а созО +(а -з) и О ) а созО +(а~-э) п 8 ) 1/2' 1.5.8. Звук падает под углом 0 = 45 на границу атмосферного ветра, движущегося со скоростью ио 10 м/с. Вычислить коэффициенты отражения и прозрачности. Ответ. Пользуясь (7.10), найдем а м 0,94, У - "2 10, йр м 1. 1.5.9. Найти выражение для скорости распространения звука в однородном потоке, движущемся со скоростью и. Решение. В движущейся системе координат связанной с потоком, монохроматическая волна имеет обычный вид: р = А ехр(-(ыФ+йг'), ы = сй.

О О (1) В неподвижной системе координат радиус-вектор г связан с г' соотношением г' = г - цб Таким образом, фаза в формуле (1) равна йг — ((с)гчцн)0 откуда ы = сячцк. Дифференцируя это выражение, найдем скорость распространения волны ок = л-чц, аы сй (2) равную сумме двух векторов: скорости звука в неподвижной среде и скорости потока. 1.5.10.

Источник звука посылает сигнал в направлении ветра, скорость которого о. Звук отражается от стенки, удаленной на расстоянии й н принимается источником. Через какое время будет принят отраженный сигнал? Ответ. т = (/(счо) ч (/(с-и) = (21/с) (1-и /с ) При о -з с время 2 2-1 т стремится к бесконечности. 1.5.11. Низкочастотный звук распространяется вдоль оси х цилиндрической трубки с пло7цадью поперечного сечения 3 (см. рисунок).

Звуковое поле .а воздействует на колебательную систему, состоящую из поршня массой т и э пружинки с жесткостью й. ре м Трение пропорционально скорости поршня (Г тр = — ах), где х — смещение К задаче 1.БЛ! из положения равновесия. Определить, при каких условиях возможно полное поглощение волны, падающей на поршень. Решение. Вынужденные колебания поршня под действием акустического давления р(х,1) описываются уравнением х + 2дх + ыэх = — р 28 = а/т, х = О, й 5 О т 47 2, ВОЛНЫ В ТРУБАХ, ВОЛНОВОДАХ Н РЕЗОНАТОРАХ 2.1. Длинные волны а трубах 2.1.1. Вывести уравнение, описывающее распространение звука в узком слое вязкой среды, ограниченном двумя пвраллельнымн твердыми плоскостями.

Расстояние между ними много меньще длины волны. Колебательная скорость частиц среды одинакова во всем поперечном сечении, за исключением тонкого погранслоя у стенок, где она убывает до нуля. Установить вид диссипативных членов уравнения, описывающих действие вязкости в объеме слоя и вблизи границ. Решение. Воспользуемся линеаризованными уравнениями динамики вязкой сплошной среды, описывающими малые возмущения; е Я- + Ро б) ч ч = 0 (1) Ро дт+ с, ЧР' — Пйч- [~. ~) йтаб сНч ч = О. дч (2) В отличие от (1.2.1.1) и (1.2.1.2) в уравнении (2) движение не предполагается потенциальным.

Исключая приращение плотности, получим уравнение у дч х мд — — с Чйчч = Ьче д(з о Ро г а + — ду йтаб б(ч ч, (3) Е+а/3 д Ро отличающееся от волнового урав- О пения (1.2.1.3). Для упрощения уравнения (3) обратимся к ри- К задаче ад1 сунку. С учетом того, что ч = (и,ч,ее 0), запишем уравнение (3) в проекции на ось к: Усредиим полученное уравнение по сечению. Обозначим для этого среднюю скорость через 1 и )' ду (3) оо и учтем, что на стенках трубы обе компоненты и, о обращаются в нуль.