Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 75

Рассмотрим теперь еще результат численного решения для 7 = 5/3, соответствующего одиоатомному или полностью ионизированному газу. Результаты расчетов для у = — 5/3 и различных численных значений д представлены на рис. 143 †1. Левые края значений Х =- г/гв для кривых распределения соответствуют ..// =- О, поэтому эти точки можно рассматривать как внутренние границы, возникаеощие в центре симметрии в начальный момент времени. Возмущенное движение газа можно рассматривать как результат вытеснения газа особым сферическим поршнем — сферой, радиус которой г* вырастает от нуля по закону ге = йег„ где Хе (у, д, ю) = соаз1.

(6/34) г) С е д о в Л. И., 0 дииамическои взрыве равновесия. ДАН СССР, т. 112, 71е 2, 1957, стр. 211 — 212. г И к твогпи вспышкк новых ц свкгхновых звкзд ййз Функция Х* (у, д) для у = 4/3 и 5/3 при ю = 2,5 представлена на рис. 147. Прн д — ~ 0 рассматриваемое решение стремится к решению, найденному в з 14 главы 1У при отсутствии сил ньютонианского тяготения. При г/ = 0 имеем Х* ~ 0 и Хе зависит только от у; соответствующие предельные значения ге/и, = Л* (О, у) для у = 5/3 и 4/3 при оз = 2,5 даны также на рис.

147. л "г йн 77 Л=-— г г Рис. 14з. Распределение скоростей при у = 513. Найдем асимптотическое поведение решения вблизи внутренней границы. На этой границе Ф =- О, а так как г = и* — конечная величина, то из (6.9) следует, что при и -~ г* имеем ЛХ -а. О, Поэтому уравнения движения (6.10) вблизи и = ге стремятся к уравнениям (5.10) и (5.11) главы 1Ъ'. Физически это связано с тем, что силы ньютонианского тяготения вблизи внутренней границы малы и в пределе равны нулю. Для получения асимптотических формул достаточно изучить решения обыкновенных уравнений (5 10) и (5 11) главы ГЧ вблизи особой точки 1г = б = 2/(5 — оз), з = О.

В рассматриваемом $ е1 к теОРии Вспышек нОВых и сВерхнОВых 3Везд 4е5 случае от =- 2,5, поэтому 6 =- 4/5. При д =- О асимптотические формулы вблизи внутренней границы (г-ь ге) даны в з 14 главы 1Ъ' (формулы (14.17)). Р Рг РР фу РР /Р Я=— 'г Рис. 146. Масса газа как функция расстояния до центра симметрии, Рис. 147. Зависимость радиуса внутренней границы от д = а,/с' нри у = 5/З и у = 4/3, Существует только одна-единственная интегральная кривая, входящая в особую точку )г .=- 4/5, з =- О с асимптотическим за- коном з=- — ", у~ — „' — 1/) (6.35) Эта кривая соответствует решению о точечном взрыве при от = 2,5 и д .=- О, Однако зта кривая соответствует С, = О. В рассматриваемом случае д ~ О, С, + О; поэтому необходимо воспользоваться другими решениями.

Асимптотические уравнения других интегральных кривых в плоскости з, )г, входящих в особую точку /Р ~г РР Рг,Р д Р РР/ РРР 4и/ и (Гз. Рз 426 ЯРИЛО)КГ1И1Я К Г!ГОБЛВМАЫ АСТРОФИЗИКИ )г = 4/б, з = О, вблизи этой точки имеют вид зу — в з = А( — — зг) 5у — 6 где А — произвольная постоянная. Очевидно, что 6 1 (1. 6 (у — 1) Справедливость формулы (6.36) легко проверить непосредственно.

С помощью (6.36) из интегралов (6.11), (6ЛЗ) найдем (6.36) ЛХ = 10л/У( — — зг) 1 5 (6.37) Р = — = АВ— у у С помощью интеграла (6.12) и формул (6.21) и (6.22) постоянные А, С, и С, выразятся через у, д и Х*. При у — — 4/3 формулы (16.37) неверны, так как вэтом случае С, = О. Далее с помощью второго уравнения из (6.10) и (6.37) легко найдем асимптотическую формулу г — г* А — 2» 5у /4 г» Хв 12(у — 1) ~ 5 )г) . (6.38) з у+1 г* зз 2(1 — д) гз ' Р 25лу(у — 1+ 21] В Рз 6(у+1) т 12 (у + 1) — '" ) в<~ — > р 625лу(у+1) АЬ' / г» ')з рз Узч (2у — (у — 1) д) (, гз / зу — б (6.39) // луВ ( г» ~,з( 12(у — 1) г — г*)~ку-П Уз 0,1929 гз 5у г* При д = 0 асимптотическоо поведение решения изучено в 2 14 главы 1»г; там было показано, что в рассматриваемом случае при ез = 2,5 ( 3 давление яа внутренней границе равно нулю, а для плотности верна асимнтотическая формула з.зу-з,з На основании (6.9), (6.20), (6.37) и (6.38), соответствующие асимп- тотнческие формулы при у ~ 4/3 и г — э г* для размерных вели- чин имеют вид з е] к теоРии Вспышвк новых и свегхновых звезд 427 Из этой формулы вытекает, что при г- г* и у = 4/3 отношение р/р, стремится к нулю.

При у =- 1,4 отношение р/р, конечно, а при у =. 5/3 отношение р/р,стремится к бесконечности как з Из формул (6.39) следует, что при ю = 2,5, д) О и у ~ 4/3 на внутренней границе масса равна нулю, а давление конечно и отлично от нуля. Последнее связано с отличием от нуля работы сил давления на внутренней границе (работа, совершаемая сферическим поршнем). На основании полученных решений следует, что полная энергия возмущенного движения газа внутри ударной волны конечна. Так как при у ) 4/3 и ю = 2,5 начальная энергия равна отрицательной бесконечности, то в принятой идеализированной постановке задачи получается, что эти движения вызваны выделением в начальный момент времени бесконечно большой энергии в центре симметрии.

Эта энергия тратится на компенсацию начальной бесконечной отрицательной энергии и на создание возмущенного дзян~ения газа. Из соображений размерности очевидно, что энергия возмчщенного движения постоянна. Добавочная отрицательная энергия, которой обладают масгы газа, захватываемые ударной волной, компенсируется притоком энергии за счет работы сил давления на внутренней граничной сфере. Если у = — 4/3, то начальная энергия и энергия возмущенного движения конечны и не аависят от радиуса ударной волны; в этом случае давление на внутренней границе равно нулю.

Энергия выделяется только в центре мгновенно в начальный момент времени. Если ю (2,5, то согласно формуле (6.3) начальная энергия внутри любой сферы радиуса г, конечна. Исследование задачи и расчеты показывают, что при у = 5/3 и ю = — 1,4 или ю =-- 2 получаются движения, соответствующие наличию сферического поршня с давлением на пор>пне, отличным от нуля, причем работа поршня И' сравнима с начальной энергией газа Н: Н ) О при ю = 1,4 и Н (О при ю =- 2. Отношение И'/~ Н ~ растет с уменьшением д, т. е. с ростом интенсивности ударной волны.

Отношение г*/г,, где ге — радиус поршня, также растет с уменьшением д. Характерно, что давление на поршне больше, чем давление на ударноя волне р„причем отношение р*/р, растет с уменьшением д. В рамках изученных автомодельных движений можно построить модели вспышек звезд при малых у, например при у =- 7/6 или 4/3.

Малые значения у можно'иногда рассматривать как показатели политропы при непрерывном выделении тепла источниками, распределенными по объему газа. ПРИЛОЯ1ВНИЯ К ПРОБЛВЫАМ АСТРОФИЗИКИ 428 1тл. У1 др дре 2ре — + —, + — =- О, дт дг г д,лр 2 д7 — — 4пгзр = О, — = О. дг дг (6.40) Пусть в начальный момент времени имеется покоящийся газовый шар с распределением плотности р,(г) = Аг (А О, 1 х" ш ( 3). (6.41) Из уравнений (6.40) найдем равновесное распределение характе- ристик движения и1= О, М1 = — . ' г'-, р, = . ' г'2". (6.42) На ударной волне, распространяющейся по покоящемуся газу, должны выполняться следующие условия: Яе Л1 Р2 (с е2) Р1с ( р, + р, (с — вз)' = рт + р,с'.

) (6.43) Легко видеть, что система (6.40) имеет следующее точное решение, ограниченное ударной волной, на которой удовлетворяются 1) Л и д о в М. Л., К теории неустановпвшнхся движений газа с учетом снл тяготения. ПММ, т. 19, вып. 5, 1955, стр. 541 — 550. 2) Р я з а н о в Е.

В., Примеры точных решений задач О распространении взрывных вола в гравитнрушщем газе при нулевом градиенте температуры. ДАП СССР, т. 126, )Ч) 5, 1959, стр. 955 — 957. Выше мы рассмотрели автомодельные двиягения. В линеаризированпой постановке моясно рассмотреть различные неавтомодельные движения, близкие к автомодельным '). При этом для искомых характеристик, опредоляющих отличие решения от автомодельпого, также мо1пно указать конечные соотношения, аналогичные приведенным интегралам массы, адиабатичности и энергии. 3. Динамический взрыв равновесия в случае нулевого градиента температуры. Рассмотрим теперь задачу о динамическом взрыве равновесия совершенного газа для случая, когда за фронтом ударной волны предполагается наличие интенсивного теилообмена и поэтому градиент температуры в области возмущенного движения газа предполагается равным нулю' ).

Уравнения движения в возмущенной области принимают вид 1 з) к тногии вспышкк новых и сввгхновых звкзд 422 условия (6.43) и (6.42): 2 з с 1 1 ся/ 2 гз ;О = —, (6.44) „„,, „,,' — -„,„„„= .( — „'-) 162л/ ы(ы — 1) 1 с 2 (1 Зм— Р—. 2 (Зсо — 15) зы (6/45) в случае ю ( 5/2, ю ~ 2, и если 1,55, 5 12 3 — 4 ю= з (~ 3+4) 2'65 (6.46) при ю ) 5/2. Из (6.45) следует, что при ю ( 5/2 интересующие нас значения у и ю заключены в интервалах 1 ( 7(4/3, 30/13 ( ю ( 5/2. Таким образом, движение взрывного типа без выделения энергии в совершенном газе с начальным распределением плотности (6.41) возможно только при значениях ас и у, определяемых формулами (6.45) и (6.46).