Математическая логика. Шапорев С.Д, страница 14

Полкю 2 аоелиняегся контактом х с вершиной 4, т. к, фз(1, хз) = 1, и контактом хз с вершиной 3, сшзтаетатвующей функпии хз ш 1. 3 3 и 4 — вершины вюрого ранга. фз(1)=0, фз(0)=1, т е. СР„(1,Х„З,..,,Хе) И СР„(О,Х„а,...,Хл), Саслиини ПОЛЮС 3 С ВЕРШИНай С. рлаш ! Лл ебри логики !алгеарл в яаяиеания! 83 соотвегстлуюшей функции грг(1)= О, контактом х,. и с вершиной Ь, соотвстстаую|пей функшш гра(0) — "1, контактом х! ф, и1, т е тгу еершину сое,гииять контактами с какой-либо другой аершгшой нс илана Отоидестан» теперь вершины ! и 3.

4 н Ь, т. к они соответствуют реянью функциям, и удалим вершину г «месте с инцидентныьг кон~актом лт и.и.пг с=а Р .! га В результате получим конпаьтыую схеиу дтя функции Г = ххах, З т',х, Шх, Ю!, иаобраиенную в правой части рис. !.18, кгпорая аканвилснтиа схеме рис !.17, катя и не совпадает с ней Действительно ит рис. 1.18 и бюрмулы 1.!9 1 следует: У(лпх,хг)=.т! ттох)х о г)хтх! ох) гехт: гйхт ох)ха и х!(Хя о х. Уь г х,.! ! (т„г хт )о х,.тг гт и х х, х, г х! г! !', о т т, т„г х!хахт и х~ х хт и х хг(х! н х! )о х! гг(тй о Г )о ь|хг гт и ! хт н т г!т хт их!(хт х,)гх х ха и гогота'г г, 1 20.

Решение логических задач Правильно составленные логические зада ш яегко решмотся методами алгебры логики. для етого неооходимо конкретные условия галичи таписать и виде формулы алгебры логики. а затея упросил ь эту формулу путем раангюильныт преобразований. Простейший вид формулы, как правило, лает ответы иа есс вопросы. К одной формуле алшбры логики услоаии зала~и сводятся рюпыми способами, чаще всего истинные высказывания соединяются знаком ~ ош,юнкции для получении истинной формулы, упрощение ко торой и приводит к цсян. Чаем !.

Млгемешчесх лоопа Ле В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т е. на отношении, которое существует межпу при иной и следствием. Рассмотрим несколько примеров. Пример !. Четыре студентки, имена которы» начинаются иа буксы А, Е, С, Р, посещают институт по очерсли и ведут обпзий конспект лекций. Необходимо составить график посепгения на ближайшую неделю, учитывая, что.

!. Понедельник — день самостоятельной работы на курсе, и в институт не ходи г никто, а в субботу необходимо быль всем. 2. С и Р не смогут пойти на занятия во вторник всвязи с большой загруженностью е понелельннк. 3. Если С выйдет в среду или Р— в четверг,то Е согласнтс» пабы«ать на занятшж в пятницу. 4. Если А не пойдет в институт в четверг, та Е позволит себе сходить туда в среду. 5.

Если А или Р будут в институте в среду, то С сможет пойти а пятницу. 6. Бели Р в пятницу вместо института пойдет на свадьбу подруги, то А придется сходить на занятия во вторник, а С в среду. Решение. Обозначим все возможные комбинации распределения студенток по оставшимся дням недели именем с индексом дня недели, «апример, Ла, Ас, Л„, А,, и запишем все условия задачи в виде истинных формул алгебры логики. !.,4>! ив 1, Е>! м1, Сг! — 1, Рд п1, т е. Ал„мб Елл мб* С„„шо, Раж О. 2 Св —м б, Ре — = О,т.с.

Св 1, Рр и! 3 Ссора — >Ел 4. Аг >Егж! 5. Аго!', — ьСл— м 1. 6. Рп -> Ало Сч и! <люа 1. Алгебре лаглкн 1алг бра вн<лвзнввннй! Совокупность этих условий очень быстра дает зребуемый результат Высказывания 3-6 — истинны, следовательно, истинной будет и коныонкния этих высказываний (С ор„нРч )и)Л„нб<.)огдггоР< нС<)о(Р ч А оС„)н!. Раскроен скобки и упросюии повучепную фармулу '1С<.Р, об< ХЬ '<Ее~А< РсмС< ХР<»АвС„)=-1С<!'„Л„ э<Е< А„мр!АР„Е< "Е< ЕДДР<Р< з<Ф< Р! и Л; Р<АеС 'нУ!< АяС, ) Очевидно. что логи ~сексе слагаемое. солержащее адно нмл с рюнычи вндексами !днями нечелиу, равно пулю, т к стуле~зэки по условннз задачи <юдят в ньютнтут одю~ рвз в оставшиеся пять дней недели.

~~,Р„А„чР А„.ЯР„Е<~~Р<Р Л,Р<Л„С„')мС<Р„Л„А,!<Р< ч нЕ А„Л<Р< Р, мь!АР„ВгА<Р<Р< нС<-Р„А„ЛтР<-АвС„нЕ< А Л<.Р<ЛвС„м ~Ю~РЕ<А Р<А„С„мС<РА„А<Р<Р, ~М-Р„ЕгууР<Р< 'нДУлР Е<Л<Р<ЦС„нС<Р Асрг(Л„Р« 'Егр« 'Е<АвС«)м !.

Итак, имеем следу<ощую систему тш«песта: Длр„А<Р н1, А„Р, <Е<Р< чЕсдеС«н! Дяя быстрого ре~лени» этой системы составим пспомогательпую таблипу(табл !.20.!! гвв п<» !.2П! Чзсгь 1 Магомет меся ялопгяе Се =- О, Р„ м О из третьего условия. Из первого условия Сгр ЛсРг, =— ! следует, что Сг м!, Рч м1, Л,. = — 1, Р м1, т е. Сс = — О. Рч мб, Аг — = О, Рг = — О. Тогда из второго столбца таблицы очевидно, что Ег и1, но тогда Ее м Еч м Е = О, л= Далее первый столбец дает Ае и1, т.

е А, и Ал мб, анюзогична из третьего столбца получаем Ст 1, следонательно, Сл и О и, наконец, Рл =— 1. Таким образом, Ае — Е = — С и Рл м1, расписанне составлено. Второе условие системы тождеств также выполияетсл, у дизьюнкции два истинных логическик слагаемыж Ег Рл м ЕсАлСЧ = — 1 Пример 2. Однажды следоштелю пришлось одновременно лопрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. И» показания противоречили друг яру~у, и каждый из них обвинял кагонибудь во лжи 1. Клод утверждал, что 1йак лжет. 2.

уйак обвинял во лжи Дика. 3. Дик уговаривал следователя не верить ни Кзюду, ни Жаку, Ио следователь быстро вывел их на чистую воду, не запал им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду? Решение Обозначим б> квами К вЂ” Клода, Ж вЂ” Жака и Д вЂ” Дика и запишем условия задачи. (К Ж) (К Ж) =- (Ж л Д) ч (Д л Ж) м 1.

(Д л (К л Ж)) и !зг' л (К ч Ж)) = 1. Как и в предыдущей залаче, результат находится путем равносгшьных преобразований. Сначала упростим условия задачи: (ДлЖ)г~Кг,Ж)м~< К~ЖчК~КЧЖ!ЖчЖ) — 1КЧЖ~ЖчК)м ККчКЖЧК Кч'КЖ-=КЖ гКЖ=Е (Жг Д)ч(ДчЖ) м(ЖчД'РДЧД уЖ ЖДчЖ) УЖЧД'"л!2гЖ)м — ЖД гДД чЖЖ гДЖмЖДчДЖм й гллщ г Ллгэера логики )алгебра вэ ю ылалля (Д л (К л Ж)) о Д л (Ко Ж)) и Д К Ж с ДК г ДЖ Кон ыонкция этих тр 'х формул тоже будет истинна. ~КЖ и К Ж ~ККДс Д Ж )ь!! КЖ о ДК о ДЖ) и =УбЖЖДоКЖЖДоКЖДЖ гКЖДЖ~ДЮК" ДК 4Ж~м =КХДДКЖоКЖДДКЖэКЖДДКоКЖДДК оКЖДДЖ г эгКЖДДЖмКЖДм), Итак, Мак говорит правду, Клод и Дик лгут 1.21. Практическое занятие Мз 4.

Реализация булевых функций схемами и формулами. Решение логических задач 121.1. П)сть система функциональных элементов Ф состоит из элеьзслта задержки е,, реализующего х, и элемента Шеффера Оз, реализующего ь г = ху Постронгь схемы. Реализующие а) хх б) ху л) х» у; г) ! з д) 0 с) хе у . указать величину задержки. 1.21.2. Найти функции проводимости лла схем, изображенных ив рис.

! 10 Рис. 1.1Э 1 21.3 Какие нз указэ нных на рис ! 20 сослинсний являются схемамн? 1.21.4. Реализолазь релейяо.контактнымн схемами функции а) ху'гд: б) хуо щ; в) хуэ ул г хл. 12!.5. Реализовать контактными схемами слелузощие функции. а) (ух х) -ь ху, б) ху оэ ух; в) х Ю у ю Чвсм 1 Магеамшчвсяая логика Рис. 1.20 л, л л, в 1.21.6. построить л -схемы дл» формул: а) (хм ух)(хум 1), б) Дум )ьг 1)х. 1.21.7.

Найти функции, реализуемые контактными скемами, изобршкенными иа рис. 1.21. 1.21.8 Составить г.-схсмы для формул: а) л)улм у )мх!ухо ух); б) ((х-!у)л(у — ге)) — ь(х — г я)! в) штрих Лукасеьич» хо у (читав~ел вни х, ни у"), которое истинно в том и только том слу~ае, когда оба «ысказывания ложны. ! .21.9. Упростить слслуюц!нс рслейноконтактные схемы брис. 122). С„агга Г, Аегеб лешки /ал ебра вы улзыв иий/ У а У У Р ы.

З.22 1.2!.1О. С использованием метала каскадов пастршпь копгакгнуго схем> для фуггкнгги /: а) /(л')= л, В л; Юх, Ю1; б) /(лт')= т,т, о т,тз у л,л,. 1.21.11. Брауну, Джонсу и Смиту прсльявлспо обвинение в соу ~естли в ограблении банка Нолнтители ыгрылись на полжилавшсм их автомобиле. На следствии Браун покшал, что преступники бьши па синем "Бьюике", Джонс сказал, что зта быя черпьгй "Крайслер". з Смит угвервгдал, что был "Фора" и ни в каем случае не синий Стало известно, что. ягела» запутать слолствие, каждый из иил укол правильно либо тою,ко чарку машнньг, либо толька ес цвет Какого авета бьгл алтоисбиль и какой чарки'? 1.2!.12.

На вопрос, кто из трех стулситав изучал логик>, бьш полу гжг ответ. если изучал первый, то изучал н третий, но неверно, что если изучал второй, то изу*гал и третий. Кто изучал логику? 1 21.13. Опрелыгить, кто гп гьчырех студентов слал зкжмеи.

есяи шасси гл чго !) Если первый слал,то и второй слит. 2) Если второй сдал, то третий сдал илн первый пе слал 3) Если четвертый не слав, то первый слал. а третий нс сдал. 4) Если чсз вертый слал, то и первый слал Каста 1. 4)аюмагичесюя логика 121.14. Для полярной экспедиции ьц восьми претендентов Л,В,С,О, Е, К, 6 н Н надо отобрать пюсть специалистов, биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача Обязанности биоде~а могут выполнять Е и 6, гидролога Е и Е, синоптика Г и 6, радиста С' и О, механика С и П, врача г( и 2). Хотя некоторые претенденты влэдеют лвумя специальностями, в экспедиции каэкдый сможет выполнят~ тагана одну обязанность.

Кого и кем следую взить в экспедицшо, если Г не моэкет ехать без В, 2) — без Е) и без С, 6 не моэкет ехать одновренснна с 6, а А не может схап вместе с Е? 1.21.15. Виктор, Роман, Юрий и Сергей за~яви на мшсмю ичсской олимпиаде первые четыре места. Когла их спросили о распределении ьюст, онц дали три таких ответа 1) Сергей — первый, Роман — второй. 2) Сергей -- второй, Виктор -- третий. 3)!Орнй — - второй, Виктор — - четвертый Как распределились места, если в казгдом из ответов только олно утверждение истиннот 1.21.16.