Вибрационное горение Раушенбах Б.В., страница 11

Раушенбах Поскольку знаки дроби — и величины соз т ~+в 2ш 2ш всегда совпадают, а соз 1, по абсолютной величине равен единице, из первого уравнения системы (8.3) можно найти т 66 гхспгостнхнинии возмгщннии в движгщ. гхзя ~ , и ние одной из них, например и. Подставив р = т -',- иа, получим: о = А,е" (соз ют + ~ з1п ют). Стоящее в скобках выражение показывает, что велпчина и колеблется около значения и=О. Покарательная функция времени, стоящая множителем при величине А„ характеризует изменение амплитуды колебаний со временем. Если т)0, то показательная функция будет неограниченно возрастать со временем и зто будет указывать на неустойчивость процесса — амплитуды возмущений и, р и других параметров течения будут иметь тенденцию к беспредельному росту; величину т в этом случае часто называют ннкрементом возрастания колебания.

Если и(0, то показательная функция будет убывать со временем, приближаясь к нулю. Следовательно, имеет место устойчивость течения, всегда можно указать отрезок времени т„в течение которого амплитуды возмущений станут по абсолютному значению меньше любой наперед заданной как угодно малой положительной величины. В этом случае число т называют декрементом затухания колебаний. Случай у =0 является промежуточным. При т =0 амплитуды колебаний не возрастают и не убывают со временем. Это состояние — режим установившихся или нейтральных колебаний — представляет особый интерес потому, что его лшжно рассматривать как режим, соответствующий границе устойчивости.

Действительно, если устойчивость системы изменяется непрерывно при непрерывном изменении какого-либо параметра системы, то переход от устойчивости к неустойчивости или наоборот связан с переходом через режим т=О. Таким образом, в дальнейшем можно будет воспользоваться следующими признаками устойчивости: т ) 0 — течение неустойчиво, т ( 0 — течение устойчиво, т = 0 — установившиеся колебания, граница устойчивости. устоичнзость ГАЭОВОГО ткчення После етого краткого отступления вернемся к рассмотрению полученного выражения для Из (8.5) следует, что прп В=О процесс нейтрален, так как ему соответствует и=О.

Этот результат совпадает с полученньгм ранее выводом, поскольку равенство В=О означает', как зто следует из краевых условий (8.1), что не только на выходе, но и на входе находится узел давленйя р=О. Такой же результат (и=О) дает и подстановка г>Р т «-тт Рис. 1З. Эиюры воли ) и) и ) ю ! для неустойчивого (т ) О) и устойчивого (т(0) течения. В=со (подобное условие означает существование узла скорости на входе в трубу). В отличие от названных случаев при всех других В величина т принимает значения, отличные от нуля.

При В ) 0 т ) 0 и течение неустойчиво. При В ( 0 течение будет устойчивым (т ( 0). Таким образом, введение несколько более сложного краевого условия, чем использованные в предыдущих параграфах узлы скорости или давления, сразу приводит к качественно новой картине. В зависимости от числа В течение может стать как устойчивым, так и неустойчивым. При т Ф-0 зпюры амплитуд возмущений получаются отличными от тех, которые приведены в двух предыдущих параграфах.

Чтобы не перегружать текста, приведем лишь эпюры )и) я ~ ги), воспользовавшись формулами (4.12). Для каждого заданного т получатся кривые, представленные на рис. 13. Стрелки около кривых указывают направление движения волн и н вт. 68 РАспРОстРАненив ВОзмущений В дВижущ. ГАзе ~гл. и. Для неустойчивого течения (у ) 0) амплитуды ~ и ~ и ~ ю ! в направлении стрелок уменьшаются; это можно истолковать в том смысле, что вышедшие позже акустические импульсы имеют ббльшую амплитуду, т. е. система увеличивает амплитуды со временем. Для устойчивого течения (т ( 0) наблюдается обратная картина.

Следует также заметить, что эпюры на рис. 13 построены для некоторого фиксированного момента времени. Для каждого последующего момента времени эшоры для У > 0 будут соответственно увеличивать свои ординаты, для у ( 0 — уменьшать. Обычно в акустике рассматриваются системы, которые характеризуются либо колебаниями с постоянной амплитудой (Р=О), либо убывающими со временем амплитудами (т ( 0). Первый случай соответствует идеализированной схеме явления, в которой не учитываются неизбежные потери, а второй — реальным процессам, связанным с диссипацней энергии.

В рассмотренном примере при В ) 0 получено Р ) О, что является, быть может, неон;иданным для привычных акустических явлений. Здесь происходит не рассеивание акустической энергии в среде, которое неизбежно во всякой реальной системе, а как бы зарождение все новых и новых количеств акустической энергии, затрачиваемых на все бо~гее интенсивную раскачну среды. Вопрос об источнике этой энергии будет подробно рассмотрен в следующей главе.

Здесь хотелось бы только подчеркнуть выявнвшуюся принципиальную возможность самовозбуждения акустических систем рассматриваемого типа. При этом полезно обратить внимание на то, что причина самовозбуждения системы локализована в рассмотренном примере во входном сечении труб. Конечно, реальный физический процесс, который был формально выражен в виде краевого условия р = ВР, происходит в некотором объеме в области, прилегающей ко входному сечению, но важно то, что если путем надлежащей идеализации этот процесс удастся свести к некоторому соотношению, справедливому для одного сечения потока (здесь входного), то открывается путь к сравнительно простому математическому описанию явления в целом.

Это обстоятельство будет широко использовано в настоящей книге. а з1 тстончивость ГАЭОВОГО течения Пользуясь переменными и и ш, можно более наглядно истолковать результат, полученный в настоящем пара- графе. Если записать краевые условия (8.1), воспользо- вавшись формулами (4.9), при помощи переменных и и ю, то они примут следующий вид: — 1+В— и= и при $=0, и=в прн $=1.

> (8.7) Таким образом, импульс из, двинувшись от левого конца ($ = 0) к правому концу Я = 1), отразится от последнего, не изменив величины, и в виде импульса па =п1 пойдет влево. У левого конца трубы пришедший импульс пь отразится в виде импульса ип, причем ип Ф ы~~. В зависимости от величины В отраженный импульс ип будет по абсолютной величине больше или меньше пришедшего. Если В ) О, то ~ ип ( ) ) ю1 ~, а так как этот процесс отражений импульсов от обоих концов трубы будет продолжаться, то амплитуды возмущений будут иметь тенденцию к неограниченному возрастанию. При кагкдом отражении от левого конца пришедшие импульсы будут испытывать как бы дополяительный внешний толчок. В случае В ( 0 процесс отражения у левого конца трубы имеет обратный характер — импульсы уменьшают свою интенсивность. Этот вывод повторяет результаты, полученные в виде формулы (8.5).

Кроме того, проведенное рассуждение подтверждает локализацию причины возбуждения системы или гашения колебаний во входном сечении при $=0. Чтобы проиллюстрировать приведенные выше рассуждения, рассмотрим реальный случай течения, в котором краевое условие на входе приобретает вид (8,1) или (8.7). На испытательных стендах для исследования процессов горения или других целей нередко применяется следующая схема течения (рис. 14).

По трубе АВ от соответствующей воздуходувки подается воздух под нужным давлением. Участок трубы Вс предназначен для проведения различных. опытов, . например, связанных 70 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ. ГАЗЕ ~гл. П с организацией процесса горения в концевой части трубы ВС. Чтобы процесс горения, который может сопровождаться хлопками при включении системы зажигания, быть неустойчивым и т. д., не влиял на работу воздуходувки, в сечении ВВ делается сужение, причем настолько сильное, чтобы справа от ВВ образовалась небольшая область со сверхзвуковыми скоростями течения. Тогда, как известно из гидромеханики, никакие возмущения (если только они не разрушают области сверхзвукового течения) не могут передаться из участка трубы ВС вверх по течению в участок АВ.

Этим достигается то, что воздуходувка работает в заданном установившемся режиме вне зависимости от того, какие нестацно парные про- ~7 цессы имеют место на участке ВС. Таким образом, образо- Ю ванне сверхзвуковой зоны течения в окрестности сечения ВВ способствует спокойной работе воздуходувки. Поставим теперь вопрос о том, как скажется наличие подобного сужения на процессах, идущих в правой части опытной установки, в частности, как это скажется на характере акустических колебаний в ней. На конце С краевое условие можно написать сразу: р=0, так как открытый конец трубы сообщается с внешним пространством. Это приближенное краевое условие справедливо в тех случаях, когда в сечении С не возникает звуковой скорости 'течения (кризиса), связанного с болыпим теплоподводом на участке ВС.