Из учебника <Введение в оптическую электронику> Ярив А. (Из учебника «Введение в оптическую электронику» Ярив А.), страница 4

используем (1.3-17) и (1,!-12) и получим 7 = — Ке ! Е Н ~ = — Ке !! Е~ е '"'+ Е„е' ')] х 2 " 2ч — — 1е'. Г х1(Е+) еьы — !Е„) е '"~= — ' — — '. (1.3-19) 2ч 2ч — ( — ' е.е)+е —. Используя соотношения (1.3-20) р= Хе, в=е,(1+Х,), получим — ( —" е е)+е — =- — ~ — ' е е). (1.Э-Й!) Плотность электрической энергии $-..» — = — е е.

объем 2 (1.3-22) Поскольку мы положили, что в среде нет потерь, правая часть (1.3-21) — это скорость изменения плотности электрической энергии как в вакууме, так и в электрических диполях. Плотность магнитной энергии находим таким же образом из со. отношений ш=Х„,Ь и )ъ=ро(1+Х ): а и ь.и. объем 2 (1. 3-23) Первый член в правой части (1.3-!9) дает интенсивность волны, бегущей в положительном направлении (+г), тогда как второй член представляет собой интенсивность волны, распространяющейся в противоположном направлении ( — г). Знак минус здесь связан с противоположным направлением потока мощности. Важное соотношение, которое будет использоваться в ряде последующих глав, связывает интенсивность плоской волны с плотностью электромагшпной энергии.

Мы начнем с рассмотрения второго и четвертого членов правой части (!.2-11): Рассматривая в (1.3-17) только положительно направленную волну, получим из (1.3-22) и (1.3-23): алмазе+ 'ззезтр ! е 1(,+)з ! ! Р ) (й+)г Е+ г ~Е+ !г+ !з !О+!г е ! Е+!г ! И = ! е!Е+~г, ч' (!.3-24) где второе равенство основано на (1.1-!2), а третье и четвертое получены из (!.3-15). Сравнивая (!.3-24) с (1.3-19), найдем = — =с. 1 1 (1.3-25) е1оаъеи У' ие Здесь Я=Я„„„,+ей,„,„,р есть общая плотность энергии поля. Выражая инетзейсианость только через электрическое поле, получаем ее ! Е !' (1.3-25) К4.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ. ЭЛЛИПСОИД ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ До сих пор рассматривая распространение электромагнитных волн, мы предполагали, что среда изотропна. В этом случае вектор поляризации параллелен вынуждающему электрическому полю и связан с ним через скалярную величину, зависящую от направления, вдоль которого приложено поле.

В диэлектрических кристаллах среда неиэотропиа. Поскольку кристалл состоит из регулярной периодической решетки атомов или ионов, можно предполагать, что индуцнрованная поляризация зависит как по величине, так и по направлению от направления приложенного поля. Вместо простого соотношения (1.3-20), связывающего р и е, имеем Р~=ез (ХНЕз+ХззЕг+Х„Е,), Р, =ее (ХззЕз+ХззЕг+ХззЕе) (1.4-1) !'з=ез (ХззЕз+ХззЕ,'+ХззЕ:) где прописные буквы относятся к комплексным амплитудам соответствукнцих гармонически меняющихся во времени величин, Матрица размером 3 х 3 с элементами Хи называется тензором электрической восприимчивости.

Значения коэффициентов Х,. зависят конечно от выбора осей х, у и е, связанных с кристаллической структурой. Оси координат можно всегда выбрать так, что все недиагональные элементы исчезнут, тогда Р„=езхззЕе, Р =езХззЕ„, Р,=-езХззЕз. (1.4-2) 22 Эти направления называются главными диэлектрическими осями кристалла. В этой книге мы будем рассматривать только главные системы координат.

Вместо (1.4-2) для описания диэлектрических свойств кристалла можно использовать тсизор электрической . ггроииииеггости еед определяемый из уравнений (1.4-3) Из (1.4-2) и соотношения О=-е,Г+Р получим ем=в«(1+Хм) егг=е«(!+Х«) егз=ь«(!+Хгг) (1 4-4) Двойное лучепреломление. Одним из самых важных следствий диэлектрической анизотропии кристаллов является явлепие двойного лучепреломления, при котором фазовая скорость оптической волны, распространяющейся в кристалле, зависит от направления поляризации его вектора е.

Прежде чем математически описать это явление, рассмотрим его физический смысл. В изотроп ной среде поляризация среды не зависит от направления поля. Таким образом, Хг«=Х««=.Х«г и еы=егг=егг=е. Поскольку с=()ге) 'гг, фазовая скорость не зависит от направления поляризации. В а н и з от р о п н о й среде ситуация другая. Рассмотрим, например, волну, распространяющуюся вдоль оси г. Если ее электрическое поле параллельно х, оно согласно (1.4-2) будет возбуждать только составляющую поляризации Р„и, следовательно, «видеты только электрическую проницаемость его «РазоваЯ скоРость этой волны, таким обРазом, бУдет с„=()гегг)-'гг. Если, с другой стороны, волна поляризована параллельно оси у, она бУдет РаспРостРанЯтьсЯ с фазовой скоРостью с =()гегг) — ыг.

Явление двойного лучепреломления имеет интересные следствия. Рассмотрим, например, волну, распространяющуюся вдоль кристалла в направлении оси г. Пусть ее электрическое поле в некоторой плоскости, скажем г=-О, линейно поляризовано, а по осям х и у его компоненты равны. Поскольку при распространении волны по кристаллу lг„~й для х- и у-компонентов возникает разность фаз, волна становится эллиптически поляризованной. Зто явление лежит в основе электрооптической модуляции света, подробнее опо рассматривается в 3 9.2. Вернемся к случаю распространения в кристалле в направлении г плоскополяризованной волны, т.

е, предположим, как в 3 1.3, что единственные необращающиеся в ноль компоненты— это е„и й . Тогда уравнения Максвелла (1.3-5) и (1.3-4) элементарным образом приводятся к виду деи да у да« дек — '= — )г —; — = — еп — ". (1 А-5) дг дг дг дг Взяв производную от первого из уравнений (1.4-5) по г и подставив из второго уравнения дй !дг, получим дг"г дггг †,' =)гегг — ." . дг« дг« Если мы постулируем, как в (1.3-!О), решение в форме (1.4-7) то уравнение (1.4-6) превратится в алгебраическое: йхЕт=щ )ееттЕ Таким образом, постоянная распространения волны, поляризованной вдоль осп х и распространяющейся вдоль г, есть /е„= )/' ретт.

(1.4-8) Повторяя выкладки, но для волны, поляризованной вдоль оси у, получим /ту о )/ )" еаз . Эллипсоид показателя преломления. Как было показано выше, фазовая скорость волны, распространяющейся вдоль данного направления, зависит в кристаллах от сс поляризации. Мы нашли, например, что для случая распространения вдоль оси г уравнения Максвелла имеют два решения: одно с линейной поляризацией вдоль х и другое вдоль у.

Если рассмотреть волну, распространяющуюся вдоль некоторого произвольного направления в кристалле, задача станет гораздо сложнее: теперь придется определять направления поляризаций двух волн, а также их фазовые скорости. Наиболее удобно сделать это с помощью эллипсоида показателя преломления: х' у' е (1. 4-9) (ео/е,) ' (е,е/е,) (еа„'е,) Это уравнение эллипсоида с главными осями, параллельными х, у и г, длины которых 2)гггетт/ее, 2 )//еее/еа и 2 )/' еаа/ее.

Процедура нахождения направлений поляризации и соответствующих фазовых скоростей для данного направления распространения такова: находим эллипс, образованный пересечением плоскости, проходящей через прямую, вдоль которой происходит распространение волны н перпендикуляр к ней, и эллипсоида (1.4-9). Направление большой и малой осей этого эллипса есть направления двух поляризаций '). Длины этих осей составляют 2л, и 2пе, где и, и л, — показатели преломления для двух различных решений.

Две волны распространяются, таким образом, с фазовыми скоростями са/г)т и с,/л, соответственно, где сп= =(р„е,) '/' — фазовая скорость в вакууме. Формал~ ное доказательство этой процедуры дано в [2) и [3). Проиллюстрируем применение формализма эллипсоида показателя преломления на примере одноосного кристалла (кристалла, Н Это фактически напраалснин Р, а не Е. В кристаллах они разделены а общем случае маленьким углом (см.

[21 и [31). обладающего единственной осью симметрии третьего, четвертого или шестого порядка). При направлении этой оси вдоль осн з из условий симметрии имеем'> в„=е„. Определив главные показатели преломления и, и п„как пО в11/вз в22/во! 110 взз/во г— получим уравнение для эллипсоида показателя прелсймления х' уз 2' —,+ — + — =1 Л И 11 о а е (1.4-11) Это эллипсоид вращения с осью круговой симметрии, параллельной осн г. Ось г — большая ось эллипсоида длиной 2п,, длины осей х и у равны 2п,. Процедура применения эллипсоида показателя преломления проиллюстрирована на рис.

1-1. Волна распространяется вдоль 1 !ОптОООГЗОЗ1 осп в под углом 0 к оптической оси г. Ось у из-за круговой симметрии (1.4-11) относительно г можно выбрать совпадающей с проекцией з на плоскость х — у. На рисунке показан эллипс, осразованный пересечением плоскости, перпендикулярной з, с эллипсоидом.

Два разрешенных направления поляризации параллельны осям эллипса и, таким образом, соответствуют линейным з) См., например: Х уе 1. Р. Роуз!001 Ргорегнез о! Ступа!з. 10езо Уогй. !957, Рис. 1.1 Схема определения показателя преломления н разрешенной поляризаьии для данного направления распространения з. Рисунок выполнен для одноосного кристалла, ГДЕ Лх=п„=ло Рис. 102 Пересечение зллипсоида показателя преломления с плоскостью 2 — у; )ОА 1=и, 10)— показатель преломления необыкновенной волны, распространяющейся в направлении з отрезкам ОА и ОВ. Они перпендикулярны а и друг другу.