rtc_uch_05 (Методы с сайта), страница 6

Исходными данными, вводимыми в копаьютер, являются значения проводимостей ветвей, источников в зтих ветвях, а также матрица 40 Наряду с общим, 4рндаментальным методом узловых потенциалов представляют интерес и некоторые частные методики, рассчитанные на оцрепеленный вид структуры схемы. Здесь реализуется удачная "догадка", приводящая к коиаактной' и изящной записи, что немаловажно для анализа. Обратимся к методике расчета козф$ициевта передачи так называемых "лестничных" структур, часто встречающихся в реальных схемах (рис.

2.25). В качестве злемевтов могут быть У,1 или С . Джя простоты рассмотрим соединение резисторов. Ключевым моментом методики является то, что последовательные злементы задаются их сопротивлениями Кх, а параллельные - проводаюстями 6~' . При этом, переходя от сечения к сечению (сечения на рис. 2.25 обозначены пунктиром, их номера — ра~скими цифрами), удобно записывать входные сопротивления или проводимости в форме цепной (лестничной) дроби: б.=С) У ) 1 1 1 У~~ Я р 1 3 Ф вЂ” * ~~ 1 У 1 У ~— й (2.40) ~Ч Щ Рис. 2.26 Рис.

2.25 41 грузка в виде.окэвечного устройства, например акустической систе- мы. В этом случае воздействие — зто ток или напряжение на входе, а реакция — напряжение или ток через нагрузку. Под нагрузкой по- нимается линейная цепь, моделирующая свойства оконечного устрой- ства. Особенности анализа линейных цепей решением динамических уравнений состоят в следующем.

Во-первых, линейная цепь описывает- ся динамическим ураэневиеи, содержащим в левой части линейную ком- бинацию искоюй реакции как функции вреюни и ее произвопяых или интегралов, а в правой — линейную комбинацию известного воздей- ствия и его производных 1ивтегралов). Очевидно, что если в резуль- тате анализа требуется найти несколько реакций, то вместо одного динамического уравнения веобходймо составить систему их. Вторая особенность состоит в форме представления возпвйствия. Дело в том, что "классический" метод решения динамических уравне- ний позволяет представить решение, т.е.

интересуюпую вас реакцию, в виде сумы двух фуякций. Первая соответствует решению опнородно- го динамического уравнения и называется обем решением. Эта часть ве зависит от формы воздействия. Вторая функция, являпхпаяся част- ным рапением, зависит от воздействия и ио..ет быть опренелена в замкнутой форюе в тои случае, если, напра~ер, воздействие является р1 зксповентой А8, где Л и ~ иогут быть любыми, в том числе и ком- плексными числами.

Третья особенность заключается в необходимости точного зна ния "состояния" цепи в какой-либо один конкретный момент времени Е„, который принято считать началом отсчета. (Под состоянием цепи пони- мается оовокупность значений токов через инпуктивности и напряже- ний ва емкостя;с цепи в конкретный момент времени.) Очевидно, что состояйие цепи можно таюе характеризовать соответствующим коли- чеством независимых линейных комбинаций указанных токов и напряже- ний. Теперь становится ясным круг проблем, которые нужно уметь раз- решить,'чтобы научиться анализировать линейные цепи реп:ением дина- мических уравнений, а также ограничения, присущие этому методу ана- лиза . Если известно состояние цепи в некоторый момент времени Е~ , а воздействие имеет зкспоневциальную Форму, реакция может быть определена в виде функции времени для Е ) Е~, На первый взгляд, рассматриваеиый меток анализа июет очень узкую область приювения, однако это не так.

Существует большое количество'модификаций классического ютода; непосредственно из него вытекают все современные методы анализа линейных цепей, да и для целого ряда практически важных задач классичеокий метод пре- доставляет наиболее простое и нагляпное решение . 3.1. наиические аввения линейных пей М Я-~ ы (Е)= У г„' (Е7, Обычно радиоэлектронная цепь задается в вике электрической схеи~, представляющей графическое изображение взаиюсвязей злеюятов цепи. Предположим, что цепь содержит М элементов, тогда в общем случае необхопиио определить Г~~ неизвестных фуякций, - ток и напряжение в каждом элементе. Для этого надо составить систему из М везависимж уравнений, содержащих неизвестные функцяи .

Лг уравнений дают соотношения между током и напряжением в каждом элементе цепи. Недостающие Н уравнений составляются по законам Кирхгофа для токов и напряжений. Первые Х уравнений принято называть уравнениями элеювтов, вторые Х уравнений - уравнениями соединений. Носле того как составлена система динамических уравнений, одну иэ функций принимают за воздействие, другую - за реакцию.

Исключая все промежуточные переменные, систему уравнений сводят к одному динамическому уравнению. П р и м е р 3.1. В пепи, изображенной яа рис. 3.1, вхопное воздействие задает идеальный источник напряжения Е~Е) , К ~й а реакцией является ток ~,~Я С,еМ через сопротивление У . Прежде всего необходимо обозвачзть на схвие ваправлв- ф ние токов ветвей ~'„(Е), ~', ф С и 1~(Е).

Напряжения на элементах имеют согласование с токзми направления. Записываем Рис. 3.1 уравнения элементов: П р и м е р 3.3. Схема, представленная на рис. 3.3, содержит операционные усилители. Чтобы составить динамические уравнения, необходимо воспользоваться юделью ОУ. Рис. 3.3 Если привять простейшую модель идеального ОУ в активном режиме, то можно составить узловые уравнения непосредственно по схеме.

Для этого необходимо запомнить несколько простых правил: - напряжения инвертирующего и веинвертирующего входов равны; - входы операционного усилителя ве потребляют тока; - нельзя составлять уравнения для узлов, совдинепных с выходом ОУ. 1) В качестве опорного узла выберем общую шину, соединенную с землей. 2) Обозначим узловые напряжения с учетом свойств операционного усилителя.

Отметим, что если один из входов ОУ соепинен с звм- ) лей, то потенциал другого входа равен нулю, но это нв значит, что длв такого узла не надо составлять уравнение Кирхгофа. 3) Составляем узловые уравнения. Для узла, соединенного с неинвертирующим входом первого ОУ, и,Я - ~СЕ) и,Я-ъйзЯ р Р ХУ Другой узел первого ОУ дает уравнение иФ-~„Ф и,Я-УЖ ~ я У Для инвертирующего узла второго ОУ имеем о- и Р~ Ы(п- и Я) У ~Й 48 Аналогичное уравнение получится и для узла третьего ОУ: ))- иааф,, Я0- Рр) ) гй~ После преобразования получим ди44еренциальное уравнение, связывающее входное воздействие и выходную реакцию, "вход — выход": ) а'~)Я ) ))) х й~ ГУ ('х~Л ~Й ~сУ)~ (~У)~~х~У) Как видим, уравнение имеет второй порядок.

Если вернуться к рассмотренным примерам, нетрудно заметить, что порядок динамического уравнения совпадает о числом реактивных элементов (инпуктивностей и емкостей) в схеме цепи. Здесь мы подошли к важвоыу понятию "порядок цепи", который действительно всегда совпадает с порядком динамического уравнения, во может быть меньше числа реактивных элементов. Почеью'? Ор атом лучше поговорить после рассмотрения метода переменных состояния. Метод це емевных состояния дает возможность составить систему ди$$еренциальных уравнений цепи в наиболее коваактной и рациональной Форме.

Во-первых, число уравнений равно порядку цепи, во-вторых, ка*дое уравнение системы имеет первый порядок, причем производная записывается в левой части. Напомним, что первменнюа состояния в электрических цепях являются ток через индуктивность и напряжение ва емкости, поскольку мгновенные значения этих переменных полностью определяют энергию, накопленную в реактивных элементах.

Метод состоит из трех этапов. 1. Переменные состояния (ток или напряжение) в соответствии с принципом замещения изображаются ва схеме в виде источников тока или напряжения соответственно. Если в результате замены в цепи образуется контур иэ одних источников напряжения или сечение иэ источников тока, значит, реактивные элементы зависимы, и необходимо один из источников сечения или контура преобразовать обратно в исходную индуктивность или емкость.

2. В цепи, полученной в результате замещения, определяются токи через введенные источники напряжения (токи ~;(О ) и напряжения на введенных источниках тока й~ ф . В результате получают систему уравнений, в левой части которой будут токи через емкости и напряжения на индуктивностях, а в правой - взвешенные сумиы напряжений ва емкостях, токов через индуктиввости (т.е . переменные состояния Ига)) ~~ (~) ) и независимых источников.

49 Вводя обозвачвния матриц, получим Х= ЛХ~ВР, гдв Х вЂ” вектор пврвмвнвых состояния; à — вектор воздействий; А матрица параметров цепи;  — матрипа параметров воздействия. П р и м в р 3.5. Составим уравнения состояния для пепи, имвюшвй один контур, составленный из емкостей (рис.

3.5). 1; При вввдении источ! ников, описываюших переменСл ныв состояния, одну из вмс„у~ Ь костей, например ~~, заме- щать нв слвдувт. Обозначим ~4;(е е,[м) ~ О, ~ на схеме положитвльныв направления для напряжвний на емкостях 1~ и С~, а такжв Рис. ЗЛ направление тока через индуктивность. Схема эквивалвнтво преобразуется к виду, с,® ®~ ~М с,~Я изображвнному на рис. 3.6. 2.

Составлявм уравнения для токов чврвэ вввдвнныв источники напряжвния гГ ф У и ю'Г (Е), а такжв напряжения Рис. 3.6 на ис.очникв тока и ф . и~ф=иг Я-иг (~); х Ф) = — ~' Я- г' М- г я = - 1' ф — с. с . — с' ю ° иг ф1- РЯ Яи ф) с, — ~ ~ г, У У г~ Я=~ ф) ж!'„Я вЂ” 1 Я = г фР~' ~ — — д ~И~® ~г (~) ~г 3. Послв подстановки в левую часть производных пврвмвнных со- стояния и алгебраических преобразований получим систему Уравнений состояния в форме Коши: * — а Я- —,Р); а~~~ ~~) / у г ~ ~, 52 (3.7) ~,уЯ ~ ~~, р~ ~~„~р~ 1у~'г „д, 4,,~Ц г Рассмотрев метод пврвмввных состояния, можно сделать следуюший вывод: порядок цепи оцрвдвлявтся числом ввзависимых пврвмвнвых состояния, которое совпадает с числом реактивных элементов в папи эа вычетом числа вмкостных контуров и индуктивных сечений, имеющихся в цепи.

Следует отметить, что валор в качестве пврвмввных состояния напряжений вмкостных и токов индуктивных элементов вв являвтоя вдинствввно возможным. В качестве переменных состояния можвт быть использовано соотввтствуюшвв число нвзависимых линейных комбинаций указанных пврвмввных. В эаключвнив можно констатировать, что составление уравввний методом переменных состояния сложввв, чвм методом узловых напряжвний. Однако сложности эти оправданы, во-первых, твм, что описание цеди чарва пврвмвнныв состояния дает более полную картину поввдвния пепи, во-вторых, упорядочвнная йорма записи более пригодна для создания алгоритмов числвнвого модвлирования линейных пвпвй ва ЭВм; крома того,уравнвния состояния удобнее использовать при анализе общих свойств линейных цепей. 3.2.