РТЦиС Баскаков.С.И (Баскаков.С.И Радиотехнические Цепи и Сигналы), страница 9

Перведпкпсас гродюяиюпе яьюульсв. Пусть з(г) — одниочньгй импульсньй сигнал конечной длктнкьнсста дополнив еы мыалепио тскнмн не сегнслкмн, псрноднчсакп следун гдвми через юпатарый ввюрвел ерсмеян Т, получим изу- чеввую ранее псрноднчсскую последовательность з„.г(г), «оторва макет бмгь представлена в анде комплексного ряса Фурье з, (г)= )„С„с' " с козффнцвентамн Однпнщьгй свгяал (213) а пернедвч вас а в вошгедов»тель. юють С„А„ЕЬ, С „А,С Гч Казной такой ыре отвечает гармоническое «олсбанне АА)Г "+ З+АЕЧГ '+ 1=ТА.СЩ(янгт+Щ) с комплекс»ой вмплнтудой 24„сьь 2С„.

Рщсмотрям малый ннтсрввл чвщот Дп, обрюующнй ощнктнссть некоторого выбранного зцачеюю частоты )ьо В пределах этого интервала будет салгрпатьак )т = бег(В, бмудсн) отдслыпи пар пюктральнмх сосгатлюощкг,гЧастоты «старых отлнюютсе саоль угодно мало. Позпгму составляющее моэма складывать тае, «ак будню есс он» юею одну к юу зкс чосюому а хорек»ыркзунюся одниакоеыл» колнмксиым» а еынюуеел» 2 2С„= — 1 з(г)е 'Ф. Т В фювке нрнцэтп пюерать, чтв прц зтшп щзблюдаетсв ксгеревтюю слощегкм г армвпцчесннх колей»сыр В резулюатс находнм «омплексную амплитуду зквнюленгного гармонического сигнала, спобрапвннцсго вюнд всщ сгщсгр:пц,щсх сгмгзвляющвх, содерпащпюя в«угря натер.

вала Ьыг ЬА — ) з(г)е-с бг — ) е(г)е бг. 2В" б Т зс гд ф— ) з(с)е- 'бг. (2.14) Т,л йля того чтобы вернуться к алннсчному импульсному сигналу, уогрсмнм к бсскопечноспг период повторен«» 'Г При агом, очсвндюг 1. чаатапг соседюп гармоник лн, п (л+ 1)м, оквкутся сколь угол»о сказкам«, так что в формулах (213) ц П!4) днсхретяую ссрсмеиную»н, момно заменить вепрерыенцй неременнай н — текущей частотой. 2.

Амплнтудпью козффкцненты С„станут «сограенчснвымв мнчымн нз за наличка велячннм т'е знаменателе (юрмулы (2.14). Наша задача ссегонт тпюрь в нахопдсенн предельного впда формулы 1«13) прн Т и. Псватпе сппггральяев елепэмга сапюла. Вощользуемсл тем, по «озффпц«енты рыв Фурье образуют «омплексюсоа)гам»нные пары: нкпс Сс еснус е (2.16) 5(м)= 1 з(г]е л'дг носят юзва«не слеп«ральной лзоп псш снгнэлэ з (г). Формул« (2.16) осушесгвлкег лресораюнпас Фурье псиного селил« Фвзичсскпй ймыгл навет«» сэсятуэльай илатвдрю.

Интерпретацию полученных результатов улебно провести, перейдя от упюзой частоты и к цнгличссюй частоте у=п/(2«). При этом формул«П.15) п(нгзбретег вил йлл = 26(ЪВЫ. (2.11) Ее надо тр«ктошгь тэх: спектральна« плотность р(йг|) 3(п ) сеть «озр)выпит пропорцюнзлыюши между длиной мглого яагер«э«э частот 62 н отючэюшсй ему юмплексной амплитудой Ьдь гврмоннюского свгвэла с частотой Ди Коь)фнциемт 2 ознэчэет, что вюящ в эмил«тулу лают в равной мере н/положительные П отрнлэтсльнме частоты, образу«попе оя(нстности точек ж/с. Приицнпиэльво ивен~а, юо спектрытьнэл плопнюгь— «омплексисзнэчиа«фуцкпвл чэсгопг, одновременно иссушал информацию кэк об «мил«туле, тек н а фею элементарны» синусоял.

На векторной лэвгрэмме непериодического сягниле (рнс. 25) ллины эюмевтарньп векторов бесконечно малы, поэтому «мссто ломвнь)х ликий (Т «онечно) получаются гшгдкие «рнвыс (т го). если н«оси частот взять невиорую шпведозетельнссп, рэзнооюгопцих точек 0 «и, < и, ..., ю молуль ппктрэльяой плотности 15(п)) установит липейвьш ьаа«тхб вдоль крнвыхг чем бпяьше молуль спектральной шютностн в зэлмп«Ф облеспг.ч«сгот, тем раке будут рвсполегэзъся частотные точки пэ векторной анаграмме. Ь Ри. Эл. В сряэ л р мэ вым с его е (лр э «И Сясиенкэыв мссгь шсиэрсниц н ыы« ил гя спг от ннгоггц д рмюше задачу 3 Одна н тот ше снгп»л дсйушгаст даа шг»»рнпнгю рэа на»рва»ма мэтпектнчсаюе мцдедц— функцшо во временной обдаст» н фу»пмво в часпгп пой обдаст» гпаа з Ока лап«вне азпппю о да»вал днаграмма построена гня некоторого фнкснрогш»- ного мсмегпв врпсюя! с теуеннсм времен» конфнгуралва крнемк будет шмен»поэ вссьм» сложным образом, поокольау чем выло» частота, тем с большей угловой сдоростьш будут врмпатьсз соогвегшвунэпцс учасшп крвемз.

Однако фаьтвчсскв ванна ве форма крнеой, а лвшь просмею на горнзонтальную есь ес ко»счвой точки (ем. рпсукок). Обратное ерсебраюаююе Фуюо Тешем обратную зал»чу шпктралышй те»рва сага»лонг юйдсм с»гнал по сто спектральной плотношм, которую будем считать задвннай Пеложвм вновь, что непернолвческнй сигнал получасгсл .

ю перволнчсокай послековатслькосгн, югла ее период усгрпчлютса к бсоконечносп«Воаюльзовавшнсь формул»ма ! 13) ц (2.!41 зэв»шсм 1 з(г) йш 2 — 3(во«)е" с. г- Взолжаей сюл» ко )фмги ю 1/Т преп рюкю«асг Рюлосга между частот»ма Соссдцнк гармонна: 1 м, 1 — - — '- — 1 Ь, — (и — 1)м,) Т 2л 2» прп любом целом л Таким образам, 1 з(г) = )шз — 2 б(лпз)е '[лп«(п — 1)м«!. г 2п, Поеколыу а пределе часготныс юпервалы между соссдввмн гармон»аамн неогравнчснно соаращмашэ, послшшшю сумму следует югюкпш юп~ рзлом 1 *()- — ( рб" Ъг Эта вазон» формула нззмзаегск обрел!Смл крюбрежмаи»см Фурье длз се вала з(«3 О)шрмулврусм окончательно фу»ламе»гэльнмй рпультагг онг»ал з(г) н его шпатральпаа плотность $(м) взаимноодвозвачно свюаэы лрзммм н обршнмм преобразовав»»ма Фурье: 5(сз) ( г(г)с г бг, (2.19) 1 з(г)= — ) 3(м)е'"г)п.

2л Метод шнат!пль»мк рззлшксннй чрезвычайно обогащает тсорню св пасок. Вырвмер, часто матсмагкчсска» модель сппмл», предшюленяая функцией з(Г), т.с. во временной областн, сложна н недостаточно нзглацав. В то Шз ерема о»воевав етого свпмла в чеогопюй обласга паЕС»сгвгю фувкпав д(ге) может ошиатм» просту»с.

Однако горзздо Подсбисс условие значительно суиаег юшсс допусписьп сигпалов. Так, в угззаквоь)'классическом смысле вевозмоияо говорить о слектралыюй Ьлотнссти гармомнчызпго сагиака к(г) П саком, существующего яа всей бесконечной оси а)имели. Оливке в современной математике разработааы приемы, позволвющве разумным сбразрм аычпаппь спеатральаые ллгписсгэ ясяктегрируемых свпашоп Правди пря этом оказываегсц пз такие спеьтральэме плотности бутпт уие яе обычными, классическими, а обсбщспиымя фуэкцявмп. Вопрос о спектраеьиом представлеаи«вмппегрируемых сяг«алов будет распяотреи в мой главе ваздаев А тешрь ва «ояврегвмх примерак юучам шхавку вычислеива спеьтраеьвьш плотиостей импульсных пмсбаиий Ощсгральава швпвесть щзмвупиыиао агшмазмузпоь Пусть дапвый сигнал л(г) имеет «млмпуду С! ллитсльяость т„н располагасгса свммегричио отэссвтельяо качала отсчета времени Пв ссисваипи формулы (2.)б) б(м)=П ), с мщ П ): (созмг-)цппг)щ= — „г! -„гт о ь)2 2П )рсозоящ= — ип —.

2П . п 2 Спектрвльиэй плопмогь рассматриваемого сапмла ссзь всшсстееняая фуякц«а частоты. Улобио ввести безразмерную переменную ( = мт„)2 н оковчатевьва представить результат ип( Отметим, что ммчелке сдипральпой плбгяс«гя ла мулевой частом равно плошали импульса: б(0) Пт Граф«г, ог строс«им« во (юрмулс (йутй изобразим ва рьо 2А (2.2)) валике лругсег щекгральлсс представление сигналов открывает приоой путь к аивлязу прохшкдсим» опт«алов через швроапй «ласс ралпотекэмчссэвх цепей, уатрайсш и свстем.

Эти методы будут подробно изучены а гл. й и 9. Успиае сущесшемшеа пяпгувлыюй ииппмтя смваю. В математике детально ясслеловвв вопрос о том, кщамя свойстюми долпва обладать фуэкапв з(ф лля того, чтобы се прссбразоаавио фуры юй«~юпепьло сушсстэовкло. Опуская доказательство (У), приведем окоэчашльеый результатг сипмлу з(г) мавво сопоставить его шп«трельную ° паопкмть й(м) а том случае, если этот ею пал абсоамкко абсолютааи иятегикмегрэруеи, т. с. существует вятеграл Раруюгссть сигнала ) (з(гНщс о.

Г Х. ПНПВОВОЬМ ВШ ЮПШЮЗ Рн 25 Рр (п нп мро анноВ савпральаоа юо н н прею. у ю юго нлсаммауьыа пв фт пю п р астра 1 юЛ Саппральшш нлопшсп экпннсююэгксивв ющсвюующ. Раюсотрвм свпгсл, описываемый функцвеб з'(г) = = Петр( — сп)о(б прн полпкктельном аопсстаенаом значснна параметра сь Тюой сигнал, строго говорб лншь условно монна нащать импульсом нз-за ега па а прн г а.

Одивка )апанас О л б обсспечнсаст гюстатарна быстрое (щаюненриальмас) уменьшение мгновенных значенна авгнала с ростом времени. Э(4ектнэную лллтвчьность|пошбных лип)хасав в ралнотсхмнкс обычно спрелелвют ю халовым дюхтнкрагнаго уменьшеюш уровня аагвапаг ехр(-ач,) = б1, отхула т„2ЗП/О. апрсдслснне зффектнвмой длнтепьностн импуль- са С гсктрсльаВс вхОтмасгь щсмапсацпаэьлага аадсОкм- пульса 5(ю) Ц ( а х г гд О+Ф Подсшвлю пределы, югюм д решите зада щ 5 н б (2.21) Моюю ° тмстнть дсь првнцлнмальяые особенна«тк, отличающие апешральную платность экспоненанальвого колебанлв ат апсктра импульс» прмыоугоаыюн формы: 1. В ашггзещгэвн а фармулоб (221) юлнчнна 5(ю) ма обращаю ала в вВтбм на прн каком конечном значении часгпты.

2. Снешрельаах платность зкспомсншшльвага вмпулыа есть камплеканозначная фувкцма 5(О)=(5(О))ехр ш, пмсклцал молрль (амплнтудныб «пектр) ~ 5(О) ) =. И))газ + м' н арумснг (фазовый спектр) ф(О) — агпб(О/О) Саотсстстеуюшне графика предатавленм на рмс. 2.7,а,б. С р рю д „Д'Н ангнал опнаьижтаа фующнеб авд» з(г) Петр( — Ргт). Эффскпюаую длптсльвость аусаова лмпульаа определим Ю.задавав лсаьтмщвтааго уманьлнюю мгнааеанаго эвачевн» снпаша. Сюхвхюшнгю к чертову, вили», чю дэвтсльэсмть т папане хчпвлстэс(лсхь шнпзлфнщнюлвр( .р(тЛ)г) (21, 2 П Пыееыззнюс Вям ) -К-6-4-? О 2 4 6 С Откупа окончательно амеем ~)~~м. (2Д4) Рас. 2 т.

сз с гр е нмснсс с слчсальнсгс мысснмс?еьсаг р р а, ?л» ре 4) а р сресбрюу~ «О?свое «случаем 2у'-)пб( Х035 )б Спектральная плотность рассматрнваемого нмпульса У(ы)-(/ ( е-н'е-) 4?. (2.23) Преобразуем подынтегральнсс вырапенве твк, чтобы модно было воспользоватьсн таблнчным интегралом ( — -(/ю Дле стога нз показателе экспоненты в (2.23) Оыдезнм полный «аалрат) В*+ум - Рг'+/ г — */(4В+ ы'/(40) = = В/Рг+/ /Р)/бН'+ ы'/(40). Такам Образом, У(ы)трез ЫП ( р[-()/Р+Рс/(2)/Э)4?. Введем новую переменную г, = )/ф +/в/(2 (/р/, такую, по 4? 4(/)/й Это позволаег пращ?нанта несомую спскгральщчо плриюсгь в анде )/б Итак.

спектральназ плопюсть глуссова нмпульса аещсстюнаа н опнсмваетс» гауссовой бующвсй часбпьь Свнпраюеаа влатвссгь лаютвфуивппа Пусть он?вал е(г) щмдсгавлют собон корогкнй импульс, ымрслогочеввмй в тоыс г 0 в юмах)вй щпсплдь Л. Такай сплыл юиег Тюбю юпемвгвчсскую модель часта нсюпюзуют в тек случаях, пегда ЩСЛО)ЫЮЫ?й Нмвувас аблвдсат белыпой сювевью ЕГЛВДПОСПЗЕ а З- Она,нэщв вгюв «ваню с с матсмапгчсскую модель г(г) = АБ (г) Сщатрзльна» «по гпссть эгога сигнала 5(ю) = 4 ) р(-Ры) и (г) гй. Нэ гюнованка фнльтрующсго свойства дельта.фуашгнн (см.