РТЦиС Баскаков.С.И (557461), страница 11
Текст из файла (страница 11)
пампой явтегрирусмоьт», поэтому метод пресбразоааиий Фурье в обычном анде к лпм пепрвмсюпь Одмакп как указывалось, мои»о говорить о спектральных плот»остяк таках свгизлов, есая ллпусгить, что эпг юютвоспг списываются сбсбшеиаыми фуикдиями. Обебвиипаа ферыулв Раиса. Дока»ем ваппю ас»омсгатсльвое полажпю «асаюшссся впюральвых свойств сапа» лов. Пусть дз» с»гвзла и (б» с (гь в сбшем случае ксмплеппозевчяме, определены савами сбратамыя преобразованиям» д асу лорд Рзлей (1842— 1919) — круюцй. пи й»нгдгйсзггй фазюс, известный своими работают в пблжтя тес(иш ко.
лебяюЙ и волн Физ ег ! с(Г)= — ] и(сс)ег»п, =й 1 ь' й) — ] Р(ц) сю дп 2» Найдем оке»яркое произведение этих сюнвлоэ, выразив одни из них, например с(г), через его спекгрэльную плотность: (с, с) = ] к (г) ьэ (г) бг = 1 — — / я(г)[ ] 3 (ю)е з дп]бе= 2» 1 = — ] дюз'"(ю) [ с(г)е и'Ф. 2» Злшь внутре»и»в интеграл представляет собой, очпюлно, сне»трельную платность (Гре) сигнала к(Г). Поэтому В математике обобщенную форыулу Р ям» ц»зыпонц твкше равенством Парс снелл цлк теоремой Пленшереля Присны вычисления спючусю меиитсгрирусыьп сипцлов целссосбрвзно рэссмотрезк нв конкретны* примеры.
Он»трепню» юннпычь косто»плюс во ареною сопюлэ. Простейшвй неинтегрирусмый сигнал — зто посл»юная величина э (г) А соиэз. предполокиы, что с й) - прошвсль»ый вписспккньа абсолютно нвтегрвруеыый сигвел с известной у )ю собой с»сбюе»кзю Ферму»у Рзяех Легко зепаывнэющэяся трэктовтэ згой формулы тюювэ; скалярное »ролзе деми» дэух ьа н с юечяспсью до ясзЯэсцеяюя нрояарчсюсыьпо сюыярному що»ыедеякю их сяеюяр»льлык ллоююклкй. Обебццюе юювтип сискцюлылй илоткоспь Будам считвть, что сппюл «(г) иредстввля»г собой абсолютно интьтрнру- ЕМУЮ ФУииГЮО.
Тогда его преобразование Фурье 1'(ц)— обычэея влассвчссва» функци» частоты. Пусть вэрвду с зисе сигнал «(г) не удовлетворяет условюо абсолютной пнтегрируюиюпг и в обычном клессицскоы о»ысле преобрэзооэиис Фурье Л (ю) не сушсстеуег. Олиэха ма»но расширвть понятие спектрвльной плотности, дспуспю, что Н(ц) явлветгл обсбшеююй функцией е тоы сыцсле, котсрзай бзэл установлен в б 1.2. Для этого в сост»стешин с обобшенной формулой Рзле» пхтаточно полакить, что П(ю)— функшюшл, шпоры(( лсйсгвуя на изюспгую фуякнюо Рбэ)" цгет следуюший результат." (П, Р) 2»(с, т), (2ДЗ) спектральной шютшктью рйа) Раскрывал бврмулу (к433 вмсам лф Но, «ак .газка юмстять, ) а(г)бг ) «(г)с ' Ф г'(0).
Х" Отсюда гв основапнн фгшьтрукнцсга свойства дсльгаФункцнн приводам к вьаюду, что равсногво (2.43) казачонка лишь лрн уктовнд что П ба) укдб (в). Фнзяшсквй смысл полрвнпага результата нэглглщ— ванзмснный во арсмспя сягаал г«мост спщтрвльвую сасгвь лающую только нв купавой чаатат« Сшнтуазнлкш влопамть казшшкшано нкщшспаншнюно сяпвла. Пусть з (г) = глр бтвг) — комплакспмй эксшнннцяаль. ньй сигнал с зкланвой асщсствсвпой частотой в Этот сигнал нс звлнсгся вбсалктно антсграруомым, посксльху щвг г ксо Фувкцаа з(г) яо ьтрамнгаз на к какому про. долу. Прсобрвзосанлс Фурье б(в) этого свгнвла, раасматрявасмос в абобщснксм смысла, швшва удавлотво(шть оют- кощснкю Более того, п(ш -любых г шнсот моста равенство)М = 1 ) (в(') 2п 1' а(г)е г бг=укр(в) а Прн во сй Отаюда ивомвл спектральная плотшшть б (в) аыршаастсв тазам образам: 5(в) =угй(в — ва).
(ь45) Отмагвм алсщюшсс: 1. Спсвтральваа кютнопь зомплвкного зкапонаяцвзльного сигнала равна пулю всюду, крома точкн в ва, гдс оаа нмсат дсльтв-асобснвасгь. 2. Спскгр шшнога сигнала нсскмматрлчан относнтсльво точгл в=б в сщ(млоточщастев в облжтя лнбо палакнтсльяыз, лнбо атрнкатсзьны» частот. Спгктуальнвв швтюкть гнрмаявчсспнх калсбаавй. Пусть з(г) шнваг. Па ФсРмУлс ЭйлсР» з(4 [озы + с м")г2 Найлсяный выше спскгр комплсксною зкспонвщяального сагнала, а талка свойство лансйкаопг щнобразовапвя Фурьа позвалшот сразу запасам «ырансгшу спскгралыюй плот«озваг н(Ыв — 'в )+ 6(в+ псЦ.
Оаб) Гхнпт. Оикнпэю с Эсл и Читатель монет легю проверим самоспспсльво, что лля свнрхнлвльаого снгнала справеалюю соотнопемпе (впысс -/к(Ь(м — ы,) — Ь(мтм,)). 1 (2.47) Следует замстнть, что выраэмнне ~44) предстввлеет собой четную, а вырапенае (242) — нечетную фувкщпо тасюпд. С псирвльмю «катаюсь щпюэеельюга есраеднчсскеге сынам. Ранее псраодвческне сигналы всслсдюмлнсь мсгощгме теорнн рядов Фурье Тмкрь юнтао расюпрвть прелсгввлсннх об нх спектралыпгх свойствах, щппаа нернодпчссквс снпюлы с помощью лреобразованпа Фурьа Пусть 'Р)= Х Сдю" — и ри д» еюнй сс нал, зсдмпащ с он ргпюм Фур е «омплсксной форме.
Па основаннв формулы (2ДРЛ арвювиас во анпманне свойство лниынпатн преобразованнх Фурье, сразу получаем вырвленне спектральной плотнссгя тамга Сгютветстауьзщвй графах спектрслыюй плотноспг сммй ковфсгуреежй повторют обычную спсатрсльвую дааграмму псрнодпчсского снгнвла. Графю образован дельта-нмпуль- самн в частотное области, которые расюиагаюгск в точ- кю с коордвватамн 2 ам,. Спппрагюаа» платность фуаювю юиючгапа. Оычнсюпс амктральную плотююгь фуаккпн включена» ой), кагор\со Ллн простоты определим ве всех тачках, кроме точки с = О [ср.
с (Щ; ~О, г<О, Заметам предав всего, что функщи «югючеюм палучаетск путам превсльвого псрсюлл нз экмюненпнмьного апдсопмвулмв: О, с<О, гг(г) = )нпехр( — ю) г>О. Поэтому медно попытахьсл полуппь спевтрвльаую плотность фугмпан вглючснн», выполнив прелельньгй переход прв о О в формуле спсатрвльной плотности юспонснПнальнега колебааня: ! о(г) Ззю —. о «+/в ' а йш — — 1- = «6(ю). -е »*+и Дейслнпсльно, предельное эначеняе этой пробы при любык ьж О обращается в нуль, в а то жс [(имл о бы [ б (и/о) о +и / 1+(сг/К~ В зщтеразуре иио. независимо ст величины о, откуда я следует еле«аллое утверждение.
Итщ, получено взаимно олнсз««чипе соотеетспмс були ции аглючения я ее спщтральной плотлостнг и (г) «6 (в) + —. 11 /и ') Дельта-осогмннощь прн и = О сэилетелььтэует о том, что фужцна включения имеет «осто««ную состщлающую, разную 1/2. Сщжтралыищ»ипщить (щдпщмвущсж Как юэсспщ радяонылулы э,р) за,щегся а анде проще«»с«ля некоторого эидсоямпульса э, (Ф играющего (юль огнбанлцей, л нов«тсгрю руемого гармонического колебания: г„ф) э,(г) сог Оэ с+ чг ) Чтобы «айг«спсктрюьную длотвють редплпгцудьщ, бущм пои«ать «э»сот«ой функцию щ(ю) — щщпр его сгиб»налей Омэтр косинус»и«минога с«пила с прожмо)п вой «ечэльной фазой поьущегся путем эмме«гера«го обобщение формулы (2лб)г сов(в,гоне)»и[6(м — вс)еч »6(воог)с гь).
Спектр рыло«мпулмж сеть свертка 1 бз(и) — [щ(в — Ц[6(б — пе)е '+6(4»в)е лзбф 2 тсчнавмзлз«~~ф» мулы акмэ ( д рспщтс задачу 15 Прн«ав яо ««имение фпяьтрукелы аюйсгно дсльтафу«тон«, получаем заи«ый результат. 1 1 Ъ(п)= — е™~[ -ю,)+ — «-г 5,( + з,). 2 2 (2.36 Рнс. 26 инлюстрирует трансформ»ювз спектра в«лсоим. пульс» гфи ум«о»мине его иа еьжокочаьтотный гэрмо«ичосззщ снимя.
Нелосрсдспмнный пигкнщ к пределу, согласао которому п(г) 1/(/о4 енрамщлнз «ра «сез ыьтотах, «роме значения го О, «огд» нмбходяма бо:пе тщательное рессьютренае. Прежде «сего выделим в спектральной плопюстн экспо. неэциальиого слгнэл» вещественную н мнимую часпп 1 о 1» О+1' З+ВЗ ГП+П'' Можно убедатьгл «том, что Гл ОО2. Саы р вэыслгпвс а юнысв 15) Ргв. »В. пап и е эвввнм О дуля амкцальеай алан г . в у 'е-гвг т » решвте юлачу 1б В»дна, что переход от ендеаэмпульс» к ралвонмпульсу прн алеет)юльнсм подмыв означает перепас слснмра рейса. кылусьса е абшсыь еысашх чссвам — вместо с»к»отпев»ого мшыаиума спектральной плопюатн пря в = б наблюдаются даа макоачума «р» в йвы абсоюатлмс згвченн» максим)шов со»рыпаются аллое, Отметим, чю графякл вв рнг.
23 отвечают антуан»в, «огда часзота ы, значнтельпо прсэышаег эффсктненую шнрвну спектр» шгычимпульса («менна такой случай обычно в реализуется «а праатиш) Прн этом нс каблюдчстся сш)тычого еперекрьпкв спектров, отеогаюпвп палалппельюгм н атрвпатеэьным частотам. О»наш молот оказаться, что ширяев апштра э»деопмпульсв «ел»ка вааголька (прв »сушков импульсе), чта выбранное знвченвс частоты ва не устраняет эффсат епсрекрьпнвг. Как с»Октаве, щюрнлк аэеатрое энлаояыпулма н радюимпульса перытают быль падобнымв Правя 23 О Ра вн ас ь ярл уа у Ьел гвс О.
де* лроеюп яа»авнм печальную фь у вулее я н зьв ы м э аап чыкув шваль раэасемлулыв э вале зг ф) - р [г ф) — а » — г„)) сазан. 3 а р а у и д у [с ф рму у (210)), а о эа (25с) ае н» Р. Р251) На рка 23 вы»рвы Рыул а Р П " ся нпаасш ас фсрмвв ~51) дк пауз каразгсрме* сь) асв Н юрка слу ес (рэс. 2.5, ) «» ульа ба ысй. л р 1О Ыв л юво «ш Оа зааае с ле Рмг, НЫ)1 пошта во здсьд д а .чаб бс ыр Р В юра с уч*е (рнс 25,Н радвлвыулье вплгг с та О ю ласта асрпаде закс; яшея (ав, Ъф Налсюв»а с а Ов г з, которые саатэьтыеуют о»пас Ом иола 1 е )О сеьв в 'встаг, гыевапп а зарыпсраан шяымагуы«ласты егэсп атя' я ре(егеа оп»эра зод эгле РОО элыа Р с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
