1193507387 (Конспект лекций), страница 9

Элементарная теория вероятностей (~~ В данном случае п = 3, у = 0,9, д = 0,1. Пользуясь формулой Бернулли (1.32), находим: а) Рз(0) = Сзо ° 0,9в 0,1 = 0,001 — вероятность трех промахов; б) Рз(1) = Сз 0,91 0,1~ = 3 0,9 0,01 = 0,027 — вероятность одного попадания; в) Рз(2) = Сзд 0,9 -0,1 = 3. 0,81 0,1 = 0,243 — вероятность двух попаданий; г) Рз(3) = Сзз 0,9 ° 0,1 = 0,9 = 0,729 — вероятность трех попаданий. Эти результаты можно изобразить графически, отложив на оси Ох значения т, на оси Оу — значения Р„(т) (рис. 14). Рис. Ц Ломаная, соединяющая точки (О; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729), называется многоугольником уаспуеделенил веуоятностей.

Если вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид ~рз(г) = (0,3+ 0,7г)(0,2+ 0,8г)(0,1+ 0,9г) = = 0,504гз + 0,398г~ + 0,092г + 0,006. Откуда находим вероятность трех, двух, одного попаданий, промаха соответственно: Рз(3) = 0,504, Рз(2) = = 0,398, Рз(1) = 0,092, Рз(0) = 0,006. (Контролгн 0,504+ 0,398+ 0,092+ + 0,006 = 1.) Глава 1.

Случайные события 51 Упражнения 1. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет (появится): а) 4 раза; б) ни разу в) хотя бы один раз. 2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника-шахматиста: две партии из четырех или три из шести? Ничьи во внимание не принимаются. 3. В семье трое детей. Какова вероятность того, что; а) все они мальчики; б) один мальчик и две девочки. Считать вероятность рождения мальчика 0,51, а девочки — 0,49. 4.

В каждом из карманов (их 2) лежит по коробку спичек (по 10 спичек в коробке). При каждом закуривании карман выбирается наудачу. При очередном закуривании коробок оказался пустым. Найти вероятность того,что во втором коробке 6 спичек. 1.21. Предельные теоремы в схеме Бернулли Использование формулы Бернулли (1.32) при больших значениях и и т вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, при и = 200, т = 116, р = 0,72 формула Бернулли принимает вид Рзаа(116) = СЯ (0,72) ш (0,28)ы.

Подсчитать результат практически невозможно. Вычисление Р„(т) вызывает затруднения также при малых значениях р (д). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Р„(т), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; опи содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномнальной вероятности Р„(т) при п — + оо. Глава 1.

Случайные события ° 53 Пример 1.32. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито нс более 4-х бутылок (событие А). Искомая вероятность равна Ршоа(0) + Ршоо(1) + Разов(2) + Ршоо(3) + Рвов(4). Так как и = 1500, р = 0,002, то а = [пр] = 3. Вероятность события А найдем, используя формулу Пуассона (1.35); р(А) 3 е +3 е +3 е +3 е '+3 в 0315 ° О! 1! 2! ф 4! Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий. Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вьгзовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.

п.). Поток событий, обладающий свойствами стациопарности, ординарности и отсутствия последствия называется простеишим (прассоновским) потоком. Свойство стационауности означает, что вероятность появления й событий на участке времени длины т зависит только от его длины (т. е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, сувднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интвнсивнощпь Л потока, есть величина постоянная: Л(1) = Л.

Свойство оудинауности овна ~ает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими слонами, вероятность появления более одного события на малый участок времени Ь1 пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен). Свойство отсртствия последствия означает, что вероятность появления 1: событий на любом участке времени длины т не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не записи г от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет). Можно доказать, что вероятность появления т событий простейшего потока за время продолжительностью 1 определяется формулой 54 ' Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей Пуассона (Л~у е — и Р~(т) = р,„= т! (,1 Среднее число позвонивших в течение часа абонентов равно бзе в 2000. 0,003 = 6 (а = пр = Л~). Стало быть, рз = е, = 0,13. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа В тех случаях, когда число испытаний и велико, а вероятность р не близка к нулю (р ф О, р ф 1), для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра — Лапласа. Приведем только их формулировки в силу сложности доказательства. Теорема 1.6 (Локальная теорема Муавра — Лапласа). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Р,„(т) может быть вычислена по приближенной формуле х 2 Р„(т) — е т, где х = .

(1.36) тУйЯ ~/2я ,/пру Равенство (1.36) тем точнее, чем больше п. Выражение з — е 2 =р(х) ~/2я (1.37) называется функцией Гаусса, а ее график — кривой вероятностей (см. рис. 15). Равенство (1.36) можно переписать в виде 1 т — пр Р„(т) — — ~р(х), где х = уйРд ЯЯ (1.38) Пример 1.33. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. ВероП ятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003.

Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов? Глава 1. Случайные события ° 55 Рис. 1Б Для функции ~р(х) составлены таблицы значений (они находятся, как правило, в так называемая «Приложениях» книг по теории вероятностей см. приложение 1 на с. 249). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что: а) функция ~р(х) четная, т. е. р( — х) = ~р(х); б) при х ) 4 можно считать, что ~р(х) = О. Функция Гаусса (1.37) будет подробнее рассмотрена в п. 2.7. Пример 1.34. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле П для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз. (~~ Здесь и = 200, р = 0,7, 9 = 0,3, т = 160.

Применим форму- у (1.38), И: / уд = 'Ев 0,7 О,З = ч2 6,48, ц но, х = 160 — 200 0,7 20 = 3,09. Учитывая, что ~р(3,09) = 0,0034, /42 26,48 получаем Рхоа (160) — 0,0034 0,0005. 1 1 В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится не менее й~ раз, но не более Й2 раз, т. е. Р„(К~ < т < ьг) или Р,(И~., йг), используют интегральную теорему Муавра — Лапласа (является частным случаем более общей теоремы — центральной предельной теоремы). 56 Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей Х2 хл Ря(Й1 ( (гп < йг) = — / е з (Ь, где 2я. к1 — пр йз — пу /пя х,/йрс1 (1.39) Равенство (1.39) тем точнее, чем больше п. Используя функцию Гаусса (1.37), равенство (1.39) можно записать в виде Х2 Р„(1 ы йг) — ~р(х) с1х. Х2 Однако для упрощения вычислений, при использовании формулы (1.39), вводят специальную функцию х Р 22 ФО(х) = — / е З сЮ, ~/2к О (1. 40) называемую нормированной функцией Лапласа.

— х 22 Функция (1,40) нечетна (ФО( — х) = — ) е 2 с11 = [Х = — х] ~/2к О х = — — ) е 2 Ых = — ФО(х)); при х ) 5 можно считать, что ФО(х) ъ'2к О = 0,5; график функции ФО(х) приведен на рис. 16. Теорема 1.7 (Интегральная теорема Муавра — Лапласа). Если ве- роятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р„(л1 < т < йз) может быть найдена по приближенной формуле Глава 1. Случайные события ° 57 Выразим правую часть равенства (1.39) через функцию Лапласа (1.40): хг хг Г гг — / е о г!х хх — / е о Ж = !/2я ъ'2я хг хг о Г ~ е-т,й+ т/2я хг Г гг — / е 2 а!! = Фо(хг) — Фо(х!).

ту2я о Равенство (1.39) принимает вид Р (й! ~ <тп ~ <йо) = Фо(хо) — Фо(х!), Й! — пр Йо — пр где х! =, хо = . (1.41) ,/пр!! ,~ прг! Эту формулу обычно используют на практике. Наряду с нормированной функцией Лапласа (1.40) используют функцию х Г гг Ф(х) = — / е о сгг!, ъ'2я (1.42) называемую также фрнкциеб Лапласа. Для нее справедливо равенство Ф( — х) + Ф(х) = 1; она связана с функцией Фо(х) формулой (1.43) Ф(х) = 0,5+ Фо(х).

Р (И! < т < йг) = Ф(хг) — Ф(х!) = Фо(хг) — Фо(х!), "! — пр " 'Р 144 где х! =, хх = . (1.44) ,Гпро ' ,~про Пример 1.35. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята? Имеются таблицы приближенных значений функций Фо(х) и Ф(х) (интеграл не берется в элементарных функциях), которые приводятся в большинстве учебников по теории вероятностей (см. также приложение 2 на с.

250). Приближенную формулу для вычисления вероятности Р„('к! < < т < 1г) (1.39) можно записать в виде (71ю ! 58 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклоне- пА ния относительной частоты — от вероятности у в и независимых исп пытаниях. Имеет место формула Р( — — р <с~=2Фо(е Я), где е ) 0 — некоторое число. С1 Из ц — р~ < е следует: — е < — — р < е, пу — пе < пА < пр+ пе.

По формуле (1.28) получаем: ~г Р„(пр — пе < п4 < пу+ пе) = е г ггг = т/2х,l — е г гй = 2Фо (е ~/ ~ ), з/2х,/ о т.е. Р( —,„— р~ <с~=2Фо(е Пример 1.36. Вероятность попадания в цель при одном выстреле рав- на 0,6. Найти вероятность того, что при п = 1200 независимых выстре- лах отклонение «частостиэ от вероятности по модулю не превышает е = 0,05. Р„( — „" — 0,6 40,05) = 2Ф (0,05. 1200 = 2фо(3 54) = = 0,9996. 4~1 Здесь п = 200, р = 0,04 (вероятность негодного изделия), д = 0,96. Вероятность принятия всей партии, т.е.

Ргоо(0 < т < 10), можно найти по формуле (1.44); здесь ьг = О, ьг = 10. Находим, 0 — 200 0,04 10 — 200 0,04 200 О,Я 04.96 ' ' 200 Л,4ГХЯ Ргоо(0 < т < 10) = Фо(0,72) — Фо( — 2,89) = 0,26424 + 0,49807 = 0,7623. Заметим, что Ф(0,72) — Ф( — 2,89) = 0,7642 — (1 — Ф(2,89)) = = 0,7642 — (1 — 0,998074) = 0,7623. Глава 1. Случайные события ' 59 упражнения 1. На лекции по теории вероятностей присутствуют 84 студента. Какова вероятность того, что среди них есть 2 студента, у которых сегодня день рождения? 2.

Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 200 произведенных изделий не более одного бракованного. 3. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 100 раз событие А — появление герба — наступит ровно 60 раз. 4. Найти такое число т, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать, что среди 800 новорожденных более т девочек. Считать, что вероятность рождения девочки равна 0,485.