1193507387 (Конспект лекций), страница 7

Вероятность произведения событий. Независимость событий Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что Р(А В) = Р(А) Р(В~А) = Р(В) Р(А~В), (1.22) т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению ве- роятности одного из пих на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло. (,а Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А 1-й шар черный, В 2-й шар белый. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому Р(В~А) = — = —. 8 4' 2. Найдем Р(В~А) по формуле (1.20). Очевидно, что Р(А) 7 Находим Р(АВ): п = 9 8 = 72 — общее число исходов (появление двух шаров). Событию АВ благоприятствуют т = С~в Ст~ = 14 исходов. Поэтому Р(АВ) = — = †. Следовательно, Р(В~А) = —: — = †. ° 14 7 7,7 1 72 36 ' 36'9 4' Глава 1.

Случайные события 39 Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы случаев оно доказывается) умноэкенил вероятностей. Это правило обобщается на случай п событий: Р(А, Аг ... А„) = = Р(А1) 'Р(Аг~А1) Р(Аз~А~ Аг) ' ° ' Р(А ~Аг Аг . ' А — 1) (1.23) Так для 3-х событий Аы Аг, Аз получаем Р(А1 Аг Аз) = Р((Аг Аг) Аз) = Р(Аг Аг) Р(Аз~А1 Аг) = = Р(А1) Р(Аг~Аг) Р(Аз~А~ ' Аг). Пример 1.26.

В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. П Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шар будет белым, 2-й — синим, 3-й — черным? Введем следующие события: А1 — первым вытащили белый шар, Аг вторым синий, Аз — третьим — черный. Тогда интересующее нас событие А представится в виде А = А1 Аг Аз.

По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А1) Р(Аг~А1) Р(Аз~А1 Аг). Но Р(А1) = —; Р(Аг~А1) = —, так как шаров осталось 8, а число 4, = 3 благоприятных случаев для события Аг равно 3; Р(Аз А1 Аг) = —,, 2 так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение, независимы. Событие А называется независимым от событал В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е.

если выполняется равенство (1.24) Р(А~В) = Р(А). Лемма 1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Из равенства (1.22), с учетом равенства (1.24), следует Р(В~А) = Р(А~В) Р(В) Р(А) Р(В) Р(А) Р(А) Р(В~А) = Р(В), (1.25) 40 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей а это означает, что событие В не зависит от события А. Можно дать следующее (новое) определение независимости событий. Два события называются независимымп, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей (1.22) принимает вид: Р(А В) = Р(А) Р(В), (1. 26) т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (1.26) часто используют в качестве определения (еще одного!) независимости событий: события А и В называются независимыми, если Р(А В) = Р(А) Р(В). Можно показать, что если события А и В независимы, то независимы события А и В, А и В, А и В.

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей». Понятие независимости может быть распространено на случай п событий. События Аы Аз,..., А„называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события Аы А2,..., А„называются зависимыми. Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, и формула (1.23) упрощается Р(А1 ' Аэ ' Ал) = Р(А1) ' Р(Аз).....

Р(Ап). (1 27) Из попарной независимости событий Аы Аз,..., А„(любые два из них независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно). Убедимся в этом, рассмотрев следующий пример. Пример 1.27. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-белоголубого). Исследовать на независимость события: К выбранный флаг имеет красный цвет; à — имеет голубой цвет, Б имеет белый цвет.

Глава 1, СлучайныЕ события ' 41 Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому Р(К) = — = — . Ана- 2 1 4 2' логично находим, что Р(Г) = Р(Б) = — . Событию К Г вЂ” выбран флаг, 1 2' имеющий 2 цвета (красный и голубой), благоприятствует один исход. Поэтому, Р(К Г) = — . И так как Р(К Г) = — = — — = Р(К) Р(Г), то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости событий К и Б, Б и Г.

Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как Р(К Г Б) = — ф Р(К) Р(1') Р(Б) = —, то события К, 1 1 Г и Б не являются независимыми в совокупности. Упражнения 1. Бросается игральная кость. Пусть событие А появление четного числа очков, событие В появление более трех очков. Зависимы или нет события А и В? 2. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешан буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слово: а) ТИСКИ; б) КИСКА; в) КИТ; г) СТАТИСТИКА? 3.

Найти вероятность отказа схемы (рис. 10), предполагая, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером т' равна 0,2. Рис. 10 42 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 1.16. Вероятность суммы событий Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событий определяется аксиомой АЗ: Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), А В = О. Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных событий. Представим события А+ В и В в виде суммы двух несовместных событий: А+В = А+В.А, В = АВ+ВА (см. п.

1.З, пример 1.2 и упражнение 1). В справедливости этих формул можно наглядно убедиться на рис. 11. Рнс. 11 Тогда. согласно аксиоме АЗ, имеем Р(А+ В) = Р(А) + Р(В А) и Р(В) = Р(А В) +Р(В А). Отсюда следует Р(А+В) = Р(А) + Р(В)— — Р(А В). Формула (1.28) справедлива для любых событий А и В. Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для трех событий опа имеет вид Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)— — Р(А В)-Р(А С) — Р(В С)+Р(А В С). (1.2й) Справедливость равенства поясняет рис. 12.

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий Р($) = Р(А1+Ат+...+А„), используя равенство Р($)+Р($) = = 1, где $ = А1 Аз ° ... ° А„противоположно событию $. Тогда Р($) = 1 — Р($). Мы уже использовали этот прием в п. 1.12. Глава 1. Случайные события ' 43 Пример 1.28. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность П появления хотя бы одной шестерки? („) Введем события: А — появление шестерки на первой кости, В— на второй кости.

Тогда А+  — появление хотя бы одной шестерки при бросании костей. События А и В совместные. По формуле (1.28) нахо- дим Р(А+В) = — + — — — — = —. (Иначе: Р(,Я) = Р(А В) = — — = —. 6 6 6 6 36 ' ' 6 6 36 ' Следовательно, Р(Б) = 1 — — = — ) 25 11 36 36 ' Упражнения 1. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее наудачу вынимшот (без возврата) 2 шара. Какова вероятность того, что они оба будут разных цветов? 2. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

3. Надежность (т. е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,7. Для повышения надежности данного прибора он дублируется п — 1 другими такими же приборами (рис. 13). Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до 0,95? 44 ' Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей Рис. !у 1.17. Формула полной вероятности Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Напомним, что события А<, А1, ..., А„образуют полную груп- п пу, если А, А! — — Я, г ф !' и ~ А, = г<. Систему таких событий называют <=1 также разбиением. < ) Так как П< + Н! + ... + П„= г<, то в силу свойств операций над событиями (п. 1.3), А = А г< = А .

(Н< + Н! + ... + П„,) = А Н<+А Ня+...+А Нгг Из того, что П, Н = Я, следует,что(А Н,) (А Н) =Я,гф!,т.е.собь<тияА Н,иА Н также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А) = и = Р(А Н<) + Р(А Нз) +... + Р(А П„) т.е. Р(А) = !,' Р(А Н,). По теореме умножения вероятностей Р(А Н,) = Р(П,) - Р(А~Н,), откуда и следует формула (1.30). Отметим, что в формуле (1.30) события Н<, Ня, ..., Н„обы <но называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А — один из возможных исходов вто1юго этапа. Глава 1. Случайные события ' 45 Пример 1. 29.

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из 1 цеха и 60% — из П цеха. В 1 цехе производится 90% стандартных деталей, а во П вЂ” 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной. Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый — это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н! — деталь изготовлена 1 цехом, Нг— П цехом. Второй этап — взятие детали. Событие А — взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н! и Нг образуют полную группу, Р(Н!) = 0,4, Р(Нг) = 0,6. Числа 0,90 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез Н! и Нг соответственно.