Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 45

7.68. В открытом капилляре, внутренний диаметр которого )1=1мм, находится капля воды. Прн вертикальном положении капилляра капля образует столбик высотой 1), равной: а) 2см, б) 4см, в) 2,98см. Найти радиусы кривизны Р, и Лг верхнего и Нижнего менисков в каждом из этих случаев. Смачивание считать полным. Решение: Верхний мениск будет вогнут, давление Р,, вызванное «ривизной этого мениска, направлено вверх и равно 381 2и р = —.

где Я вЂ” радиус кривизны верхнего мениска '=1~ ' ! 2а При полном смачивании р, = —, где г — радиус к;- пилляра. Гидростатичсское давление столба жидкости е, направлено вниз; рз =д6. Если р, > рз, т.. результирующее давление, направленное вверх, заставля нижний мениск быть вогнутым.

При этом давление р-. вызванное кривизной нижнего мениска, направлено вниз ч 2и равно рз = —, где Рз — радиус кривизны нижнего Яз мениска. В равновесии р, = рз + рз Если р, < рз, ~о результирующее давление направлено вниз и нижни!1 2а мениск будет выпуклым. При этом давление р =— 3 будет направлено уже вверх. В этом случае р, + рз = р,, Если р~ = р,, то нижний мениск будет плоским и рз = О, Подставив числовые данные, получим: а) А, = 0.5 мм, Рз =-1,52мм; б) Л, =0,5мм, Р, =1,46мм; в) Р, =0,5мм, 1~2 7.69.

Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр которого И = 2мм, наполнен водой так, что в нем образовался столбик длиной 6=10см. Какая масса ья воды вытечет из капилляра, если его поставить вертикально? Смачивание считать полным. Указание: учесть, что предельная длина столбика волы. оставшейся в капилляре, должна соответствовать радиусу кривизны нижнего менпска, равному радиусу капилляра. Решение: При вертикальном положещеи капилляра верхний менис,: вогнут и давление, вызванное кривизной этого мениска, 382 2а 4а всегда направлено вверх и равно р, = — = — , где 0 » Ы диаметр капилляра.

Гидростатическое давление столба жидкости всегда направлено вниз и равно рз —— дЬ. :Предельная длина столбика воды, оставшейся в капилляре, должна соответствовать радиусу кривизны нижнего Мениска, равному радиусу капилляра, поэтому р, < р,, результирующее давление будет направлено вниз и нижний мениск будет выпуклым. При этом давление 4а р = — будет направлено уже вверх и р, +рз =р или с1 8а 8а — = щЬ,, откуда Ь, = — — высота столбика жидкости, а~ Р8~с1 оставшейся в капилляре пй = р%,, а се первоначальная масса лгэ = рЯт», тогда масса жидкости, которая выльется Ы т = »ло — лй = рУ(ЬΠ— Ь~), где Я = — — площадь 4 поперечного сечения капилляра, поэтому окончательно рт/( За 1 и= — ~Ь вЂ” — ~=022г.

4 ~ дф~ 7.70. В открытом вертикальном капилляре, внутренний радиус которого» = О,б мм, находится столбик спирта. Нижний мениск этого столбика нависает на нижний конец капилляра, Найти высоту Ь столбика спирта„прп которой радиус кривизны й нижнего меписка равен: а) 3»; б) 2»; в)». Смачивание считать полнь1м. Решение: По условию, нижний мениск выпуклый, тогда результирующее давление направлено вниз, следовательно (см. 2а 1гг = Рг =Рг!гг и У 2а(Р+ г1 Ь= щ~г'л 7.б9), р, +р, =р,, где задачу а /г. Я 2а 2а Тогда — + — = рдЬ, откуда г Р За а) Если Я=Зг, то Ь= — =11,5мм. б) Если 71 =2г, го Зг-%' за 4а Ь = — =12,9 мм.

в) Если Я = г, то Ь = — =17,2 мм. Рг".г' г.г' 7.71. Трубка, изображенная на рисунке, открыта с обоих концов и наполнена керосином. Внутренние радиусы трубок 1 н 2 равны г; =0,5 мм и г„=0,9 мм. При какой разности уровней Лгг мениск на конце трубки 1 будет: а) вогнутым с радиусом кривизны Я = г;; б) плоским, в) выпуклым с радиусом кривизны 71=г;; г) выпуклым с радиусом кривизны 11=г)г? Смачивангге считать полным, Решение: Высота поднятия жидкости в ка- 2а со~ О пилляре Ь = —,.

Тогда для Ж" 7 2а сод О каждой трубки Ь = и щР 2асояд гг~ = . Т. к. по условггго ,г.г1г' смачиванис полное, то во второй трубке всегда О=0. отсюда сод О =1. Тогда перепад высот в трубка 2а1 соя О 1 ЛЬ = Ь, — Ь; = — — — — . а) Мениск па конце тр> бки 1 РЯ .~ гг будет вогнутым, с гт' = г,, если О = О, отсюда созО =1— 384 2а(1 1 11 полное смачивание Л»» = — — — — = 6,8 мм. б) Мениск на »оЯ 1 2 »т О = —, отсюда 2 конце труоки 1 будет плоским, если а '» солО = 0;Л»» = — =8,5 мм.

в) Мениск на конце трубки 1 Р6~ 2 будет выпуклым, с Я = »;, если О = »г, отсюда сол О = -1 2а 2 Ь»»= — — =17мм. г) Мениск на конце трубки 1 будет Ж»'з выпуклым, с Я = г,, если О = »г, отсюда сол О = -1 — пол- 2а(1 1 ! ное несмачивание Л»» = — — + — = 23,8 мм. д,'~г1 г ! Решение: 'Если бы капилляр был достаточно длинным, то вода 2асолО поднялась бы в нем на высоту 7»'= =2,98см. Но Л!т высота капилляра над водой Ь < 6'. К мениску приложены 2а' давление р, = —, вызванное кривизной мениска и Л Направленное вверх, и гидростатическое давление 2а Р=»оф».

Для любой высоты 6 будем иметь рдЬ= —, Я 2а откуда Я= — =0,75 мм. щ1» 385 7.72. В широкий сосуд с водой опущен капилляр так, что я»ерхний его конец находится выше уровня воды в сосуде на '6= 2 см. Внутренний радиус капилляра г = 0,5 мм. Найти радиус ,'кривизны Я мениска в капилляре. Смачивание считать полным. 7.73. Ареометр плавает в воде, полностью смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки арегметра с~=9мм.

На сколько изменится глубина погружениз ареометра, если на поверхность воды налить несколько капел, спирта? Решение: На плавающий ареометр действуют сила Архимеда Гх направленная вверх, сила тяжести Р, направленная вниз. сила поверхностного натяжения Г, направленная вниз. т. к. смачивание является полным. Условие равновесия имеет вид: Р+ Р+ Г„= 0 или в скалярном виде Р+Г=РА. Имеем Р=ид; Г=2ла =Ма; Г, =рдх х(К+56), где К вЂ” объем ареометра (без трубки), Л'— площадь поперечного сечения трубки ареометра, Ь длина трубки. Тогда для воды яд+ Иа, = рд(К+ Яг ); для спирта а+Ма, =щ(К+Ят,) (считаем, что плотность воды не изменилась).

Решая совместно эти два уравнения, 4(а -а,) найдем ЛЬ= ~ -" =2,4мм. Дф 7.74. Ареометр плавает в жидкости, полностью смачнвающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра гl = 9 мм. Плотность жидкости р = 0,8 1О' кг?м'. поверхностное натяжение жидкости и = 0,03 Н/и. На сколько изменится глубина погружения ареометра, если вследстви» замаслнвания ареометр стал полностью несмачиваемым этой жидкостью? Решение: На ареометр, плавающий в жидкости, действуют: сил..

тяжести Р, направленная вниз. сила поверхностноге 386 натяжения Р = т1ст, направленная прч полном смачивании вниз, а при полном иесмачивании вверх и сила Архимеда гл = рд~!'~Я). направленная вверх, где К— объем цилиндрической части ареометра, 5 — гглощадь поперсчного сечения тр;бки арсометра и Ь вЂ” длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкосз и. Условие равновесия при полном сма гнвании Р+ Г = ТА1, а при полном несмачивании Р = Р+ Р„,, следовательно, Ра — Р = Р + Е„д или ря1'+ д 56~ — Ыа = лба + щ!'+ + рдБн.

Отсюда д,'5(6, — й,)= д,ЯМч=2т1а и, оконча2и/а 2жЬ Зо.' тельно, ЛЬ вЂ” — — —, — — -3,4мм. щЯ л1 щН Ж— 4 7.75. При растворении массы т =!Ог сахара (С„Н„Ои) в объеме Г = 0,5 л волы осмотическое давление раствора р=152кПа. При какой температуре Т находится раствор? Диссоциация молекул сахара отсутствует. Решение: Осмотическое давление раствора связано с термодинамической температурой формулой Вант-Гоффа т р=С1тТ. Молярная концентрация раствора С=- —, где Рт' тЯТ,и!:р ,и = 0,342 кг/моль, тогда р = —, откуда Т =— ,и~' !ПЛ Подсзавляя в полученное выражение числовые данные, 0,342 0,5 10 152 10з получим: Т вЂ” ' ', — 313 К.

10 831 7.76. Осмотическое давление раствора, находящегося при температуре г =87'С, р =165кПа. Какое число Лг молекзл воды приходится на одну молекулу растворенного вещества в этом растворе? Диссоциация молекул вещества отсутствует. Решение: Осмотическое давление 1см. задачу 7.75) р = СЯТ, Т.

к. по условию диссоциация молекул в растворе отсутствует, то Лг, Ц,ЯТ молярная концентрация С = — ', тогда р = — '=И,7гТ. А 71Гл ~У„лг р1' рУ откуда М, = — ", где г = — = —, тогда Ф, = — ". Н Н Н Л~, рМ„КТ рКТ Следовательно, Лг — ' — А — — — — 1007 молекул. Лг Н Р НР 7.77. Масса т=2г поваренной соли растворена в объеме Г = 0,5 л воды. Степень диссоциации молекул поваренной соли и = 0,75 . Найти осмотическое давление р раствора прп температуре г =17'С. Решение: Если масса всей растворенной в воде поваренной соли равна л~, а степень диссоциации а, то масса диссоциированной соли равна жп, а масса недиссоциированной — (1 -а)т .

Тогда молярная концен- ((1-а)н)! Н+аьяl(2Н,)+атl(2Нэ) трация раствора С— ю ю С— п — 124,5 моль/и, Следовательно, 3 2НН,НГ осмотическое давление р =СЯТ = 300 кПа. 7.78. Степень диссоциации молекул поваренной соли при растворении ее в воде а=0,4. Прн этом осмотическое дав- 388 ление раствора, находяшегося при температуре 1 = 27' С, Р=118,6кПа. Какая масса т поваренной соли растворена в объеме 1' = 1л воды? Решение: Молярная концентрация частично диссоциированного раствора поваренной соли (см. задачу 7.78) 1(2ННэ(1- )+а~-' С = — ~ - ". С другой стороны, из формулы 2НН Н11 Р Р Вант-Гоффа С = —, тогда ЛТ ЯТ 2НН,Н2р' 2НН,Н,Фр — 1,93 г.

откуда и— 7.79. Масса гн = 2,5 г поваренной соли растворена в объеме К = 1л воды. Температура раствора г =18' С. Осмотическое давление раствора р = 160 кПа. Какова степень диссоциации молекул поваренной соли в этом случае? Сколько частиц растворенного вешества находится в единице объема раствора? Решение Масса растворенной в воде частично диссоциированной соли 1скп задачу 7.78) равна: т— ~ гкуда получим 2и,и,(1 — а)+аиз = ' " или тЯТ 2Н Ня(Н)Р— нЖТ1 аи — 2а,и,и, = ' . Из последнего выраже- тВТ ния, после преобразований, найдем степснь диссоциации = 0,52. Число частиц в единице объема 1см. задачу 7.76) и = — =3,98 ! О ' и '. lгТ 389 7.80.